一元二次方程的认识及解法

知识点

A 要求

B 要求

Ｃ要求

一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义

能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所

含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据

能选择恰当的方法解一元二次方程；

会用方程的根的判别式判别方程根的情况

能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次

方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的

变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题

一、一元二次方程的定义

一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项． ⑴ 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

① 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ② 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．

③ 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．

⑵ 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．

要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．

⑶ 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数． 2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．

二、一元二次方程的解法

１．一元二次方程的解法：

⑴直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程． ⑵配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程， 知识点睛

中考要求

一元二次方程的认识及解法

②常数项右移．

③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．

④化成2

()x m n +=的形式．

⑤若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解． ⑶公式法：

设一元二次方程为()200ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-，12,x x 是方程的两根，则：

⑴ 0?>?方程()2

00ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x ．

⑵ 0?=?方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b

x x a

==-．

⑶ 0?

00ax bx c a ++=≠没有实数根．

若a 、b 、c 为有理数，且?为完全平方式，则方程的解为有理根；

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式 ②确定a 、b 、c 的值． ③计算24b ac -的值．

④若240b ac -≥，则代入公式求方程的根． ⑤若240b ac -<，则方程无解．

⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．

2．一元二次方程解法的灵活运用

直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法． ⑴ 因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．

⑵ 公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．

⑶ 直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()2

0x a b b +=≥或

()

2

ax b +=()2

cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．

⑷ 配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为：

2

ax bx c ++2

2222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ????-??=+++-=++

? ? ???????． 所以方程2

0ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为2

2424b ac b a x a a -?

?++

??

?的形式， 即2

22424b b ac x a a -?

?+= ??

?，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．

三、可化为一元二次方程的特殊方程

解方程的基本思想：

化分式方程为整式方程

化高次方程为一次或二次方程 化多元为一元

化无理方程为有理方程

总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程． 解方程的基本方法：

解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式

解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法．

一、一元二次方程的定义

【例1】 m 为何值时，关于x 的方程2

(2)(3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．

【例2】 已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．

【例3】 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．

【例4】 已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．

【例5】 若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．

【例6】 已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．

【例7】 若一元二次方程

222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．

二、一元二次方程的解法

1．直接开平方法

【例8】 解关于x 的方程：()()22

2332x x +=+

【例9】 解关于x 的方程： ()()22

425931x x -=-

【例10】 解关于x 的方程：224(2)(31)0x x ---=

【例11】 解关于x 的方程：251250x -=

【例12】 解关于x 的方程：2

2(31)85

x +=

【例13】 解关于x 的方程： 2269(52)x x x -+=- 例题精讲

2．配方法

【例15】 用配方法解方程：2640x x --=

【例16】 用配方法解方程：22310x x ++=

【例17】 用配方法解方程:2420x x +-=

【例18】 用配方法解方程:22810x x +-=

【例19】 用配方法解方程：2420x x ++=

【例20】 用配方法解方程：211

063

x x +-=

【例21】 用配方法解方程： 231y +=

【例22】 用配方法解方程：2250x x +-=

【例23】 用配方法解方程：2510y y ++=

【例24】 用配方法解方程： 2243y y -=-

【例25】 用配方法解方程2420x x +-=

【例26】 用配方法解方程：20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）

【例27】 配方法解方程：20x mx n ++=

【例28】 用配方法解关于x 的方程20x px q ++=（p q ，为已知常数）

3．公式法

【例29】 解方程210x x --=

【例30】 用公式法解方程：25720x x -+=

【例32】 用公式法解方程：2362x x =-

【例33】 用公式法解方程：23p +=

【例34】 用公式法解方程： 2952n n =-

【例35】 解方程235(21)0x x ++=

【例36】 解方程(5)(7)1x x --=

【例37】 解方程1

(61)432(2)2

x x x x ++-=+

【例38】 解方程：210x x --=

【例39】 解方程：(5)(7)1x x --=

【例40】 解方程：1

(61)432(2)2

x x x x ++-=+

【例41】 解方程：2320x -=

4．因式分解法

【例42】 用因式分解法解方程：()()2

3430x x x -+-=

【例43】 用因式分解法解方程：222320x mx m mn n -+--= （m 、n 为常数）

【例44】 用因式分解法解方程：21

904

x -=

【例45】 用因式分解法解方程：281030x x +-=

【例46】 因式分解法解方程： 26x -=

【例47】 解方程：2(21)60x x --=．

【例48】 若代数式2425x x --与221x +的值互为相反数，则x 的值为多少？

【例49】 解方程23440x x --=

【例50】 解方程：23(5)2(5)x x -=-

【例51】 解方程：2(21)36x x -=-

【例52】 解方程22

5603

x x -+-=．

【例53】 解方程2670x x --=

【例54】 解方程3(5)14(5)x x x -=-

【例55】 解方程：2(42)(21)x x x +=+

【例56】

229(2)16(1)0x x --+=

【例57】 解关于x 的方程22220x mx m n -+-=

【例58】 解关于x 的方程223421x a ax a +=-+

【例59】 解关于x 的方程：()

()()2220x p q x pq p q p q -+++-=

【例60】 解方程2(21)36x x -=-

【例61】 解方程229(2)16(1)0x x --+=

【例62】 解方程：23440x x --=

【例63】 解方程2(42)(21)x x x +=+

【例64】 解方程23(5)2(5)x x -=-

【例65】 解方程2(21)36x x -=-

【例66】 解方程6(2)(2)(3)x x x x -=-+

【例67】 解方程： 23(32)(31)

323

y y y y y +--=+

【例68】 解方程：22(34)(23)x x -=+

【例69】 解方程：2(2)24x x +=+

5．换元法

【例70】 解方程2(5)(5)4x x -=-+

三、含字母系数的一元二次方程的解法

【例71】 解方程：22(32)60mx m x m -++=

【例72】 解方程22(32)60mx m x m -++=

【例73】 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=．

【例74】 解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-

四、含绝对值的一元二次方程的解法

【例75】 解方程:2560x x --=．

【例76】 解方程：320x x x -+=

【例77】 绝对值方程(2)(3)41x x x -+=+-的不同实数解共有 个．

【例78】 已知关于x 的方程222x x m -+=恰有三个实数根，求m 的值．

【例79】 方程34x

x x x

-=的实根的个数为 ．

【例80】 设方程22140x x ---=．求满足该方程的所有根之和．

【例81】 请阅读下列材料：

问题：已知方程230x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y ，则2y x =．所以2

y

x =

把2y x =代入已知方程，得2

3022y y ??

+-= ???

化简，得22120y y +-=．故所求方程为22120y y +-=．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所有方程化为一般形式）：

⑴ 已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为： ；

⑵ 已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；

⑶ 已知关于x 的方程20x mx n -+=有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的平方．

【例82】 解方程42650x x -+=，这是一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：

设2x y =，那么42x y =，于是原方程可化为2650y y -+= ①，解这个方程得11y =，25y =．

当1y =时，21x =，1x =±；当5y =时，2x =

故原方程有四个根：11x =，21x =-，3x =4x =

⑴ 填空：由原方程得到①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想； ⑵ 解方程()()2

224120x x x x ----=．

【例83】 解方程：222(3)2(3)80x x x x +-+-=

【例84】 解方程222(32)3(32)2x x x x x =+-++--．

【例85】 解方程：()()()()1234120x x x x ++++=．

【例86】 方程32322(32)(47)615180x x x x x x x x -+-?--++-+=全部相异实根是 ．

【例87】 解方程432635623560x x x x -+-+=．

【例88】 解方程4322316320x x x x +-++=

【例89】 方程：()

3

211x x x ++-=的所有整数解的个数是（ ）． A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【例90】 解方程：()2211x x x +--=．

【例91】 解方程2429x x ++=．

【例92】 无理方程221518x x --的解是___________．

【例93】 解方程：21830x x ++=

【例94=

【例95】 解4-

=

【例96】 解2=

【例97】 解=

【例98】 解1-=

【例99】 无理方程221518x x --的解是___________．

【例100】 解方程2429x x ++=．

【例101】 (1)0x -=的解是1x ≤

【例102】 求满足下列等式的实数x 1。

【例103】 x ．

【例104】 7x ,则x =______．

【例105】 2=，求x ．

22

----+的值等于_______．34662008

x xy y x y