北京四中数学必修四平面向量应用举例提高版

平面向量应用举例

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。

【要点梳理】

要点一：向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：

（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）。

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）。

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos ||||

θ?=a b a b 。 （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。

要点诠释：

用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。

要点二：向量在解析几何中的应用

在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。

常见解析几何问题及应对方法：

（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。

（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。

（4）夹角问题：利用公式cos ||||θ?=

a b a b 。 要点三：向量在物理中的应用

（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。

（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积。

（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。

【典型例题】

类型一：向量在平面几何中的应用

例1．如下图，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P 。求证：BP ⊥CD 。

【思路点拨】将向量BP 和CD 用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成0BP CD ?=的问题。

【解析】设PD CD λ=，正三角形ABC 的边长为a ，

则1211(21)333

3PA PD DA CD BA BA BC BA BA BC λλλλ??=+=+=-+=+- ???。 又13

EA BA BC =-

，//PA EA ，∴PA k EA =。 ∴11(21)33BA BC k BA k BC λλ+-=-。 于是有1(21)313k k λλ?+=????=??，解得173

7k λ?=????=??

。 ∴17PD CD =，37

PA EA =， ∴33()77

BP BA AP BA AE BA AB BE =+=+

=++434314777737

BA BE BA BC BC =+=+?=， 23CD BA BC =-， 从而2221428110cos 60077321

721BP CD BC BA BA BC a a a ?????=+?-=--?= ? ?????，即BP CD ⊥，

故BP ⊥CD 。

【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解，如本题便是将向量BP ，CD 由基底BA ，BC 线性表示。当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知。

举一反三：

【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例3】

【变式1】平面内△ABC 及一点O 满足AO AB BO BA →→→→?=?，BO BC CO CB →→→→

?=?，则点O 是△ABC 的（ ）

A ．重心

B ．垂心

C ．内心

D ．外心

【答案】D

【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】

【变式2】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?的值为________；DE DC ?的最大值为________.

【答案】1 1

【解析】||||cos ,DE CB DE DA DE DA DE DA ?=?=???=2

||||||DA DA DA ?==1 ||||cos ,DE DC DE DC DE DC ?=???

=||||cos DE DC EDC ?∠42EDC ππ??≤∠≤

??? =||cos DE EDC ∠

=||DF （F 是E 点在DC 上的投影）

1≤

当F 与C 点重合时，上式取到等号。

例2．四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F 。

求证：AF=AE 。

【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量AE 和AF ，证明||AE =||AF 。

【证明】如下图，以点C 为坐标原点，以DC 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A （－1，1），B （0，1），若设E （x ，y ）（x ＞0），则(,1)BE x y =-，(1,1)AC =-。

因为BE ∥AC ，即//BE AC ，所以x+y ―1=0。

又因为AC=CE ，所以x 2+y 2―2=0。

由222010x y x y ?+-=?+-=?，得1313x y ?+=???-?=??，即1313,E ??+- ? ???。 又设F （x ＇，1），由(',1)CF x =和1313,2

2CE ??+-= ? ???共线，

得11'022

x --=，解得'2x =-

所以(2F --。

所以(1AF =-，31,22AE ?+=- ??

。 所以223313||13||22AE AF ????+--=+=+= ? ? ? ?。 所以AF=AE 。

【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。

举一反三：

类型二：向量在解析几何中的应用

例3．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且11022PC PQ PC PQ ?

???+?-= ? ?????

，求动点P 的轨迹方程。 【思路点拨】设动点P 的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程。

【答案】22

11612

x y += 【解析】设P (),x y ，则(8,)Q y

由11022PC PQ PC PQ ????+

?-= ? ????? 得：221||||04

PC PQ -

= 即()22212(8)04x y x -+--= 化简得22

11612

x y +=。 【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。

举一反三：

【变式1】已知△ABC 的三个顶点A （0，―4），B （4，0），C （―6，2），点D 、E 、F 分别为边BC 、CA 、AB 的中点。

（1）求直线DE 、EF 、FD 的方程；

（2）求AB 边上的高CH 所在直线的方程。

【答案】（1）x ―y+2=0 x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0

【解析】 （1）由已知得点D （―1，1），E （―3，―1），F （2，―2），

设M （x ，y ）是直线DE 上任意一点，

则//DM DE 。(1,1)DM x y =+-，(2,2)DE =--。

∴(－2)×(x+1)―(―2)(y ―1)=0，

即x ―y+2=0为直线DE 的方程。

同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为

x+5y+8=0，x+y=0。

（2）设点N （x ，y ）是CH 所在直线上任意一点，则CN AB ⊥。

∴0CN AB ?=。又(6,2)CN x y =+-，(4,4)AB =。

∴4(x+6)+4(y ―2)=0，

即x+y+4=0为所求直线CH 的方程。

【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。

（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。

类型三：向量在物理学中“功”的应用

例4．如图所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m 。问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？（g=10 m / s 2）

【答案】3 ―22

【解析】 设木块的位移为s ，

则W=F ·s=|F|·|s|cos30°=50×2035003=（J ）。 F 在竖直方向上的分力的大小为11||||sin 305025(N)2

F F =??=?

=。 则1(||)0.02(81025) 1.1f mg F μ=-=??-=（N ）。

则f ·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J ）。

即F 与f 所做的功分别是3与―22 J 。 【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。

举一反三：

【变式1】三个力F 1=i+j ，F 2=4i ―5j ，F 3作用于同一质点，使该质点从点A （20，15）平移到点B （7，0），其是i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，求该过程中，

（1）F 1，F 2分别对质点做的功；

（2）F 1，F 2的合力对质点做的功。

【答案】（1）―28，23；（2）―5

【解析】(7,0)(20,15)(13,15)AB =-=--。

（1）F 1做的功111(1

,1)(13,15)131528W F s F AB =?=?=?--=--=-， F 2做的功222(4,5)(13,15)4(13)(5)(15)755223W F s F AB =?=?=-?--=?-+-?-=-=。

（2）F=F 1+F 2=5i ―4j ，故合力F 做的功W=F ·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―

13）+（―4）×（―15）=―5。

类型四：向量在力学中的应用

例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G 。两绳受到的拉力分别

为F 1、F 2，夹角为θ。 （1）求其中一根绳子受的拉力|F 1|与G 的关系式，用数学观点分析F 1的大小与夹角θ的关系；

（2）求F 1的最小值；

（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求θ的取值范围。

【答案】（1）θ增大时，|F 1|也增大（2）||2

G （3）[0°，120°] 【解析】（1）由力的平衡得F 1+F 2+G=0，设F 1，F 2的合力为F ，

则F=―G ，由F 1+F 2=F 且|F 1|=|F 2|，|F|=|G|，解直角三角形得111

||||2cos 2||2||

F G F F θ==， ∴1||

||2cos 2G F θ

=，θ∈[0°，180°]，由于函数y=cos θ在θ∈[0°，180°]上为减函

数，∴θ逐渐增大时，cos 2θ

逐渐减小，即||

2cos 2G θ

逐渐增大，∴θ增大时，|F 1|也增大。

（2）由上述可知，当θ=0°时，|F 1|有最小值为||2

G 。 （3）由题意，

1||||||2

G F G ≤≤， ∴11122cos 2θ

≤≤，即1cos 122θ≤≤。 由于y=cos θ在[0°，180°]上为减函数，∴0602θ?≤

≤?，

∴θ∈[0°，120°]为所求。

【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释。

举一反三：

【变式1】两个大小相等的共点力12,F F ，当它们间夹角为090时，合力的大小为20N ，则当它们的夹角为0120时，合力的大小为（ ）

A 、40N

B 、102N

C 、202N

D 、10N

【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.

【解析】对于两个大小相等的共点力12,F F ，当它们间夹角为090时，合力的大小为20N

时，这二个力的大小都是102N ，对于它们的夹角为0120时，由三角形法则，可知力的合

成构成一个等边三角形，因此合力的大小为102N. 正确答案为B.

【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是110F N =，这样就会错选答案D.

类型五：向量在速度中的应用

例6．某人骑摩托车以20 km / h 的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40 km / h 时，感到风从东南方向吹来，求实际风向及风速的大小。

【答案】东北方向 202

【解析】设a 表示车的速度20 km / h ，在无风时，此人感受到风速度为―a ，实际

风速为b 时，此人所感受到的风速为b ―a ，如图，令DA a =-，2DB a =-，实际风速为b 。因为CD DA CA +=，所以CA b a =-，这就是当车的速度为20 km / h 时，

人感受到的由正南方向吹来的风速。因为CD DB CB +=，所以2CB b a =-，这就是当车的速度为40 km / h 时，人感到的风速，由题意得∠CBD=45°，CA ⊥BD ，BA=AD ，所以△BCD 为等腰三角形，CB=CD ，∠CDA=45°，∠ACD=45°，所以CD=CB=2DA=202。所以||202b =km / h ，b 的方向是东北方向。

答：实际风向是东北方向，风速的大小为202km / h 。

【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用。此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考。在本题中，人感到的风速在无风时与车速a 互为相反向量，当实际风速为b 时，此人感受到的风速是b ―a ，这一点要搞清，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法。

举一反三：

【变式1】在风速为75(62)-km / h 的西风中，飞机以150 km / h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。

【答案】1502 北偏西60°

【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为v a ，无风时飞机的速度为v b ，则如

图，v b =v a －ω，设||||a AB v =，||||BC ω=，||||b AC v =，过A 点作AD ∥BC ，过C 作CD

⊥AD 于D ，过B 作BE ⊥AD 于E ，则∠BAD=45°，||150AB =，||BC =。 所以||||||75CD BE EA ===||75DA =

从而||AC =CAD=30°。

所以没有风时飞机的航速为，航向为北偏西60°。