立体几何专题练习题.
立体几何专题练习题
东里中学备课组
1、在正四面体P -ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立...的是( C )
(A )BC //平面PDF (B )DF ⊥平面PAE (C )平面PDF ⊥平面ABC (D )平面PAE ⊥平面ABC
2、已知,m l 是异面直线,给出下列四个命题:① 必存在平面α,过m 且与l 平行;② 必
存在平面β,过m 且与l 垂直;③ 必存在平面γ,与,m l 都垂直;④ 必存在平面ω,与,m l 的距离相等.其中正确的结论是( )C
A .①③
B .②③
C .①④
D .②④
3、如图1,在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中, P 、Q 是对 角线A C 1上的点,若
a
PQ =
2
,则三棱锥P BDQ -的体积为 ( )A
A .a 33
B .a 33
C .a 33
D .不确定 4、长方体的长、宽、高分别为2,2,3cm cm cm ,若该长方体的各顶点都在球O 的表面上,则
球O 的表面积为( C )
A. 27cm π
B. 214cm π
C. 217cm π
D. 256cm π
5、如图,正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都2,E ,F 分别是11,AB A C 的中点,则EF 的长是 ( C )
(A)2 (B)3 (C)
5 (D)7
解析:如图所示,取AC 的中点G ,连EG ,FG ,则易得EG =2,EG =1,故EF =5,选C
6、设EF 是两条异面线段AB 、CD 的公垂线,当线段AB 绕着直线EF 在空间旋转并与EF 保持垂直时,下列三个命题正确的个数是:( B ) ①直线AB 与直线CD 所成角的大小不变.
②直线AB 与直线CD 的距离不变. ③以A 、B 、C 、D 为顶点的四面体的体积不变.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ,2h ,h ,则12::h h h =(B ) A.3:1:1
B.3:2:2
C.3:2:2
D.3:2:3
8、右图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( A )
A .
3
33a π+ B .
3
127a π C .
3
12
163a +π D .33
7a π
A B
D
C 1 C 1
B 1
P Q
图1
A 1
B 1
C 1
G
F
E
A
B
C
9、矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D , 则四面体ABCD 的外接球的体积为( )D
A .
π12125 B .π9125 C .π3125 D .π6
125
10、正三棱锥底面边长为a ,侧棱与底面成60°角,过底面一边作截面,使其与底面成
30°角,则截面在底面的射影面积为( )。D A . 3a 2 B . 2a 2 C .
43a 2 D . 16
33a 2
11、已知平面βα,和直线,给出条件:①α//m ;②α⊥m ;③α?m ;④βα⊥;⑤βα//. (i )当满足条件 时,有β//m ;(ii )当满足条件 时,有β⊥m 。(填所选条件的序号)
答案:③⑤;②⑤
[解析]:由线面平行关系知:αα,?m ∥β可得m ∥β; 由线面垂直关系得:αα,⊥m ∥
ββ⊥m 可得,
12、已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示:
在原三棱锥中给出下列命题: ①BC ⊥平面SAC ; ②平面SBC ⊥平面SAB ; ③SB ⊥AC .
其中所有正确命题的代号是 ① .
13、由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示,则该几何体中正方体木块的个数是
.
5
B S
S
A (
B ) C
C S (A )
B
主视图
左视图 俯视图
C
主视图 左视图
俯视图
14、在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶
点,这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体;
④每个面都是等腰三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
显然①可能,②不可能,③④⑤如右图知都有可能。
文科解答题:
1、如图,在长方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中,
a
AD
AA=
=
1
,a
AB2
=,E、F分别为
11
C D、
1
1
D
A的中点.
(Ⅰ)求证:⊥
DE平面BCE;
(Ⅱ)求证://
AF平面BDE
(Ⅰ)证明:⊥
BC
侧面
1
1
C
CDD,
?
DE侧面
1
1
C
CDD,BC
DE⊥
∴,
在CDE
?中,a
DE
CE
a
CD2
,
2=
=
=,
则有2
2
2DE
CE
CD+
=,
?
=
∠
∴90
DEC,EC
DE⊥
∴,又
C
EC
BC=
⊥
∴DE平面BDE.
(Ⅱ)证明:连EF、1
1
C
A,连AC交BD于O,
1
1
2
1
//C
A
EF
,
1
1
2
1
//C
A
AO,∴四边形AOEF是平行四边形,OE
AF//
∴
又?
OE
平面BDE,?
AF平面BDE,//
AF
∴平面BDE.
2、如图,矩形ABCD中,ABE
AD平面
⊥,2
=
=
=BC
EB
AE,F为CE上的点,且
ACE
BF平面
⊥。
(Ⅰ)求证:BCE
AE平面
⊥;(Ⅱ)求证;BFD
AE平面
//;
(Ⅲ)求三棱锥BGF
C-的体积。
(Ⅰ)证明: ABE
AD平面
⊥,BC
AD//
∴ABE
BC平面
⊥,则BC
AE⊥
A B
D
C
1
A
1
B
1
C
1
D E
F
A B
D
C
1
A
1
B
1
C
1
D E
F
O
B
C
C
B
A
S
C
B A
S
又 ACE BF 平面⊥,则BF AE ⊥ ∴
AE 平面⊥
(Ⅱ)证明:依题意可知:G 是AC 中点
ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥,而BE BC =
∴F 是EC 中点
在AEC ?中,AE FG //
∴BFD AE 平面// (Ⅲ)解: BFD AE 平面//
∴FG AE //,而BCE AE 平面⊥ ∴FG 平面⊥ ∴ G 是AC 中点 ∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且12
1
==AE FG ACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥ ∴BCE Rt ?中,22
1
===CE CF BF ∴1222
1
=??=
?CFB S ∴3
131=??==?--FG S V V CFB BCF G BFG C 3、在三棱锥 S ABC -中,
90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=,1,AC BC SB ===. (1)求三棱锥S ABC -的体积;(2)证明:BC SC ⊥;
(3)求二面角C-SA-B 的大小;(4)求异面直线SB 和AC 所成角的余弦值。 (1)解:∵90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ∴,,SA AB SA AC ⊥⊥且AB AC A =, ∴SA ⊥平面ABC
在Rt ACB ?中, 2AB =
=,
Rt SAB ?中,2SA ===
∵11122ABC S AC BC ?=
?=?=∴1123323
S ABC ABC V S SA -?=
?=??= (2)证法1:由(1)知SA=2, 在Rt SAC ?中,SC ==---6分
∵2
2
2
358BC SC SB +=+==,∴BC SC ⊥
〔证法2:由(1)知SA ⊥平面ABC ,∵BC ?面ABC ,∴BC SA ⊥ ∵BC AC ⊥,AC
AS A =,∴BC ⊥面SAC 又∵SC ?面SAC ,∴BC SC ⊥〕
B
C
F
E D
C
B
A
S
(3) ∵,,SA AB SA AC ⊥⊥ ∴BAC ∠为二面角C-SA-B 的平面角
在Rt BCA ?
中,∵1,AC BC == ∴60BAC ∠=, ∴即所求二面角C-SA-B 为60
(4) 解法1:分别取AB 、SA 、 BC 的中点D 、E 、F , 连结ED 、DF 、EF 、AF ,则//,//DE BS DF AC ,
∴EDF ∠(或其邻补角)就是异面直线SB 和AC 所成的角
∵111,222
DE SB DF AC =
=== 在Rt ACF ?
中,1,22
FC BC =
=
∴AF ===在Rt EAF ?
中,2
EF === 在△DEF
中,由余弦定理得2
2
2
111
244cos 1222
DE DF EF EDF DE DF +-
+-∠==
?
4=- ∴异面直线SB 和AC
所成的角的余弦值为
4
4、如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形EFGH 为截面,且AB AD a ==,BF DH b ==。
(Ⅰ)证明:截面四边形EFGH 是菱形;(Ⅱ)求三棱锥F ABH -的体积。 解:(Ⅰ)证明:因为平面ABEF ∥平面CDHG ,且平面EFGH 分别交平面ABFE 、
平面CDHG 于直线EF 、GH ,所以EF ∥GH .
同理,FG ∥EH .
因此,四边形EFGH 为平行四边形.
(1)
因为BD AC ⊥,而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影,所以
EG BD ⊥.
E
D B
Q M
N
P
C
A
D B
Q
M
N
P
C
A
因为BF DH =,所以FH ∥BD .因此,FH EG ⊥. ……(2) 由(1)、(2)可知:四边形EFGH 是菱形;
(Ⅱ)因为DA ⊥平面ABFE ,HD ∥AE ,所以H 到平面ABF 的距离为DA a =.于是,由等体积法得所求体积:211113326
F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --?==??=??=. 5、如图(1)是一正方体的表面展开图,MN 和PB 是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN 和PB 画出来,并就这个正方体解决下面问题。 (Ⅰ)求证:MN ∥平面PBD ; (Ⅱ)求证:AQ ⊥平面PBD ;
(Ⅲ)求PB 和平面NMB 所成的角的大小。 解:MN 和PB 的位置如右图示:(正确标出给1分) (Ⅰ)∵ND∥MB 且ND =MB ∴四边形NDBM 为平行四边形 ∴MN∥DB
∵NM ?平面PDB,DB ?平面PDB ∴MN ∥平面PBD
(Ⅱ)∵QC ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,∴BD QC ⊥
又∵BD AC ⊥ ∴BD ⊥平面AQC ,
AQ ?面AQC ∴AQ BD ⊥,同理可得AQ PB ⊥,∵BD
PB B =
∴AQ ⊥面PDB
(Ⅲ)连结PQ 交MN 于点E,
∵,PE MN ⊥PE MB ⊥,MB
MN M =
∴PE ⊥平面NMB
连结BE,则PBE ∠为PB 和平面NMB 所成的角
在直角三角形PEB 中 ∵1
2
PE PB = ∴PBE ∠=30°
即PB 和平面NMB 所成的角为30°.
6、如图,四棱锥P -ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA =2,∠PDA=45°,点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.
(1)求证:AF ∥平面PCE ; (2)求证:平面PCE ⊥平面PCD ;
(3)求三棱锥C -BEP 的体积. 证明: (1)取PC 的中点G ,连结FG 、EG
∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 2
1//
CD ∵四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点 ∴AB 2
1
//
CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG
又EG ?平面PCE ,AF ?平面PCE ∴AF ∥平面PCE
(2)∵ PA ⊥底面ABCD
∴PA ⊥AD ,PA ⊥CD ,又AD ⊥CD ,PA AD=A ∴CD ⊥平面ADP
又AF ?平面ADP ∴CD ⊥AF 直角三角形PAD 中,∠PDA=45°
∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA =AD=2 ∵F 是PD 的中点 ∴AF ⊥PD ,又CD PD=D ∴AF ⊥平面PCD ∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD 又EG ?平面PCE
平面PCE ⊥平面PCD (3)解法一:CB 是三棱锥C -BEP 的高,
11
12122BEP S BE PA ?=??=??=
V C -BEP =112
12333
BEP S CB ??=??=
解法二:三棱锥C -BEP 即为三棱锥P -BCE PA 是三棱锥P -BCE 的高, Rt △BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥C -BEP 的体积:V C -BEP =V P -BCE =111112122332323
BCE S PA BE BC PA ??=
????=????= 理科解答题:
1、在如图所示的四面体ABCD 中,CD BC AB 、、两两互相垂直,且1==CD BC . (Ⅰ)求证:平面ACD ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角D AB C --的大小;
(Ⅲ)若直线BD 与平面ACD 所成的角为?30,求线段AB 的长度.
解法一:(Ⅰ)证明:
,CD AB CD BC ⊥⊥,⊥∴CD 平面ABC .
又 ?CD 平面ACD ,∴平面ACD ⊥平面ABC .
(Ⅱ)CD
AB BC AB ⊥⊥, ,⊥
∴AB 平面
BCD BD AB ⊥∴.
∴CBD ∠是二面角D AB C --的平面角.…………6分
A
H
B
A 1
C 1
A
B 1
C
在BCD Rt ?中,BC CD =,?=∠∴45CBD . ∴二面角D AB C --的大小为?45.
(Ⅲ)过点B 作AC BH ⊥,垂足为H ,连结DH .
平面ACD ⊥平面ABC ,⊥∴BH 平面ACD , ∴BDH ∠为BD 与平面ACD 所成的角.
∴?=∠30BDH .在Rt BHD ?中,2BD =,∴2
2
=
BH .又 在Rt BHC ?中,1BC =,?=∠∴45BCH ,
∴在ABC Rt ?中,1=AB . 解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设a AB =,建立如图所示的空间直角坐标系
则)0,0,0(B ,),,0,0(a A )0,1,0(C ,)0,1,1(D ,)0,1,1(=BD ,),0,0(a BA = , 平面ABC 的法向量)0,0,1(=CD .
设平面ABD 的一个法向量为n (,,)x y z =,
BD ? n 0x y =+=,BA ? n 0az ==,z =0,
取1=y ,则1-=x ,∴ n (1,1,0)=-.
cos ,CD ∴< n n 2|n|
CD CD ?>=
=-
?, ∴二面角D AB C --的大小为?45
(Ⅲ)),1,0(a AC -=,)0,0,1(=CD ,)0,1,1(=BD .
设平面ACD 的一个法向量是m (',',')x y z =,则AC ?m ''0y az =-=,CD ?m '0x ==
令''1,z y a ==,则m (0,,1)a =, 直线BD 与平面ACD 所成角为?30,
cos ,BD ∴ cos 60.|| 12 BD m BD m a ?>= = =?+?,∴a AB ==1. 2、如图,三棱柱111A B C ABC -中,平面1A AB ⊥平面ABC ,平面1A AC ⊥平面ABC , 90BAC ∠= ,12,3AB AC AA === (1)求证:1A A ⊥平面ABC ; (2)求异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值; (3)求点1B 到平面1ABC 的距离. z x B A 1 C 1 A B 1 C (1)证明: 平面1A AB ⊥平面ABC ,平面1A AB ?平面ABC=AB CA AB ⊥ CA ∴⊥平面1A AB ∴1A A CA ⊥ 同理 1AA BA ⊥ 又 CA BA A ?= ABC ⊥1AA 平面 (2)解:由(1)知1,,AB AC AA 两两互相垂直, 因此可以A 为坐标原点,线段1,,AB AC AA 所在直线为x y z 轴,轴,轴, 建立空间直角坐标系A xyz - . 则 7分 ()() 1112,0,3,2,2,3AB BC AC AB ==-=- 8 11 1111cos ,449409221AB BC AB BC AB BC ?∴===++?++ ∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是 5221 221 (3)设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z = ,则 ()()10,2,3,2,0,0AC AB == 1 230 20 AC n y z AB n x ??=+=?∴??==?? 令3y =- ,则2z = ()0,3,2n ∴=- 12分 1613 13 13 AB n n ?∴ = = ∴点1B 到平面1ABC 的距离是 613 3、如图,正三角形ABC 的边长为3,过其中心G 作BC 边的平行线,分别交AB ,AC 于 11,B C .将11AB C ?沿11B C 折起到111A B C ?的位置,使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M .求 (Ⅰ)二面角111A B C M --的大小; (Ⅱ)异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值大小 解:(Ⅰ)连接AM ,1A G ∵G是正三角形ABC 的中心.且M为BC 的中点, ∴A,G,M三点共线,AM ⊥BC . ∵11B C ∥BC , ∴11B C ⊥AM 于G,即GM ⊥11B C ,1GA ⊥11B C , A 1 A B C D 1 B F 1 C 1 D E ∴1A GM ∠是二面角111A B C M --的平面角. ∵点1A 在平面11BB C C 上的射影为M, ∴1A M MG ⊥,190A MG ∠=?. 在Rt 1A MG ?中,由12A G AG GM ==得1 60AGM ∠=?,即二面角111A B C M --的大小是60?. (Ⅱ)过1B 作1C C 的平行线交BC 于P,则11A B P ∠等于异面直线11A B 与1C C 所成的角. 由11PB C C 是平行四边形得111B P C C BP ===,PM=BM -BP = 12 ,1112A B AB ==. ∵1A M ⊥面11BB C C 于M, ∴1A M ⊥BC ,190A MP ∠=?. 在1Rt A GM ? 中,113sin 602 2 A M A G =??= = 在1Rt A MP ?中,222 2211315()()222 A P A M PM =+=+= 在11A B P ?中,由余弦定理得222 2 2 11 11111115 2152cos 22218 A B B P A P A B P A B B P +-+-∠= = =???? ∴异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值大小 58 4、如图,已知长方体1111,ABCD A B C D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面 11AA B B 所成的角为30?,AE 垂直BD 于E ,F 为11A B 的中点. (I )求异面直线AE 与BF 所成的余弦值; (II )求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角余弦值; (III )求点A 到平面BDF 的距离. 解法一:在长方体1111ABCD A B C D -中,以AB 所在的直线为 x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ,(1,0,1)F 又AD ⊥平面11AA B B ,从而BD 与平面11AA B B 所成的角为30DBA ∠=?,又 2AB =,AE BD ⊥ ,1,AE AD == 从而易得1,,0,223E D ???? ? ? ? ????? (I )因为 ()13,,0,1,0,122AE BF ??==- ? ??? 所 以 () cos ,AE BF AE BF AE BF ?= =1 4- =- 易知异面直线AE BF 、所成的角的余弦值为 4 (II )易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法 向量,(BD =-由00n BF n BF n BD n BD ??⊥ ?=?????⊥?=??? ?02 03x z x y -+=????-=?? x z y =???= 即() 1,3,1n = ∴15 cos ,5 m n m n m n ?= = 即平面BDF 与平面1AA B (III )点A 到平面BDF 的距离,即AB 在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值, ∴距离cos ,d AB AB n =?= 25 AB n n ?= 所以点A 到平面BDF 解法二:(I)连结B 1D 1,过F 作B 1D 1的垂线,垂足为K ∵BB 1与两底面ABCD ,A 1B 1C 1D 1都垂直 ∴ 111111111FK BB FK B D FK BDD B B D BB B ⊥? ? ⊥?⊥??=?平面 又 1111AE BB AE BD AE BDD B BB BD B ⊥? ? ⊥?⊥??=? 平面 因此FK ∥AE ∴∠BFK 为异面直线BF 与AE 所成的角 A 1 A D 1 B F 1 D H S 连结BK ,由FK ⊥面BDD 1B 1得FK ⊥BK 从而△BKF 为Rt△ 在Rt△B 1KF 和Rt△B 1D 11a 中,由 11 111 A D FK B F B D =得 11111 11 122AD AB A D B F FK B D BD ? ?= = == 又 ∴cos ∠ BFK= FK GF = ∴异面直线AE BF 、 所成的角余弦值为 4 (II)由于DA ⊥面AA 1B ,由A 作BF 的垂线AG ,垂足为G ,连结DG ,由三垂线定理知BG ⊥DG ∴∠AGD 即为平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角。且∠DAG=90° 在平面AA 1B 中,延长BF 与AA 1交于点S ∵F 为A 1B 1的中点,A 1F 1 2 //AB = ∴A 1、F 分别为SA 、SB 的中点,即SA=2A 1A=2=AB ∴Rt△BAS 为等腰三角形,垂足G 点实为斜边SB 的中点F ,即G 、F 重合。 易得AG=AF= 1 2 在Rt△BAS 中, AD= 3 tan 3AD AGD AG ∠===即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角余弦值 5 。 (III)由(II)知平面AFD 是平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角所成的平面。 ∴面AFD ⊥平面BDF 在Rt△ADF 中,由A 作AH ⊥DF 于H ,则AH 即为点A 到平面BDF 的距离 由AH ·DF=AD ·α得 AH=222 3225 35 2 ( 3)(2)3 AD AF AH DF ? ?= == + 所以点A 到平面BDF 的距离为 25 5 5、在直角梯形ABCD 中,∠D=∠BAD=90?,AD=DC=2 1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC 折起, 使D 到D '.记面AC D '为α,面ABC 为β.面BC D '为γ. (1)若二面角α-AC -β为直二面角(如图二),求二面角β-BC -γ的大小; (2)若二面角α-AC -β为60?(如图三),求三棱锥D '-ABC 的体积. 解:(1)在直角梯形ABCD 中, 由已知?DAC 为等腰直角三角形, ∴ 45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ,由AB=2a , 可推得 AC=BC=.2a ∴ AC ⊥BC .取 AC 的中点E ,连结E D ', 则 E D '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角, ∴ E D '⊥β 又 ∵ ?BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ,而a C D ?', ∴ BC ⊥C D ' ∴ CA D '∠为二面角γβ--BC 的平面角. 由于 45='∠CA D , ∴二面角γβ--BC 为 45. (2)取AC 的中点E ,连结E D ',再过D '作β⊥'O D ,垂足为O ,连结OE . ∵ AC ⊥E D ', ∴ AC ⊥OE ∴ EO D '∠为二面角β--AC a 的平面角, ∴ EO D '∠ 60=. 在OE D Rt '?中,a AC E D 2 22 1= =', ∴O D S V ABC ABC D '?=?-'3 1O D BC AC '???=2 131a a a 462261???=.12 63a = 6、如图,1l 、2l 是互相垂直的异面直线,MN 是它 们的公垂线段。点A 、B 在1l 上,C 在2l 上, AM MB MN ==。 (Ⅰ)证明AB ⊥NB ; (Ⅱ)若60O ACB ∠=,求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。 解法一: (Ⅰ)由已知l 2⊥MN, l 2⊥l 1 , MN ∩l 1 =M, 可得l 2 ⊥平面ABN.由已知MN ⊥l 1 , AM=MB=MN,可知AN=NB 且AN ⊥NB. 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影. ∴AC ⊥NB (Ⅱ)∵Rt △CAN ≌Rt △CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC 为正三角形. ∵Rt △ANB ≌Rt △CNB, ∴NC=NA=NB,因此N 在平面ABC 内 的射影H 是正三角形ABC 的中心,连结BH,∠NBH 为NB 与平 面ABC 所成的角. 在Rt △NHB 中,cos ∠NBH= HB NB = 3 3AB 2 2AB = 6 3 . 解法二: 如图,建立空间直角坐标系M -xyz.令MN=1, 则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0), (Ⅰ)∵MN 是 l 1、l 2的公垂线, l 1⊥l 2, ∴l 2⊥平面ABN. l 2平行于z 轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC →=(1,1,m), NB → =(1,-1,0). ∴AC →·NB → =1+(-1)+0=0 ∴AC ⊥NB. (Ⅱ)∵AC → =(1,1,m), BC →=(-1,1,m), ∴|AC →|=|BC → |, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC 为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt △CNB 中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2). 连结MC,作NH ⊥MC 于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ∴HN → =(0,1-λ,-2λ), MC →=(0,1, 2). HN →·MC → = 1-λ-2λ=0, ∴λ= 13 , ∴H(0, 13, 23), 可得HN →=(0,23, - 23), 连结BH,则BH → =(-1,13, 23), ∵HN →·BH →=0+29 - 29 =0, ∴HN →⊥BH → , 又MC ∩BH=H,∴HN ⊥平面ABC, ∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.又BN → =(-1,1,0), ∴cos ∠NBH= BH →·BN → |BH →|·|BN → | = 4 323 ×2 = 6 3 A B M N C l 2 l 1 H l 7、如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2AD AA AB ===,点E 在棱AB 上移动。 (Ⅰ)证明:11D E A D ⊥; (Ⅱ)当E 为AB 的中点时,求点E 到面1ACD 的距离; (Ⅲ)AE 等于何值时,二面角1D EC D --的大小为4π 。 A A 1 解:以D 为坐标原点,直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE x =,则()()()()()111,0,1,0,0,1,1,,0,1,0,0,0,2,0A D E x A C 。 (Ⅰ)因为 ()()111,0,11,,10 DA D E x ?=?-=,所以11DA D E ⊥。 (Ⅱ)因为E 为AB 中点,则 () 1,1,0E ,从而()() 11,1,1,1,2,0D E AC =-=-, ()11,0,1AD =-,设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c =,则100n AC n AD ??=???=??,也即200a b a c -+=?? -+=?,得2a b a c =?? =?,从而()2,1,2n =, 所以点E 到平面1AD C 的距离为12121 33 D E n h n ?+-= = = (Ⅲ)设平面1D EC 的法向量为() ,,n a b c =, ∵ ()()() 111,2,0,0,2,1,0,0,1CE x D C DD =-=-= 由100n D C n CE ??=???=??,有()20 20b c a b x -=???+-=? ?,令1b =,从而2,2c a x ==- ∴ () 2,1,2n x =- 由题意, 11 2cos 4 n DD n DD π?= = ?,即 () 2 225 x =-+。 ∴123x =+(不合题意,舍去),223x =-。 ∴当23AE =-时,二面角1D EC D --的大小为4π。 8、如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABC D中,∠ABC=600,PA=AC=a ,PB=PD=a 2,点E 在PD 上,且PE:ED=2:1. (I )证明PA ⊥平面ABCD ; (II )求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小; (Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F ,使BF//平面AEC ?证明你的结论. (Ⅰ)证明 因为底面ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以AB=AD=AC=a , 在△PAB 中, 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理,PA ⊥AD ,所以PA ⊥平面ABCD. (Ⅱ)解 作EG//PA 交AD 于G , 由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ,连结EH , 则EH ⊥AC ,∠EHG 即为二面角θ的平面角. 又PE : ED=2 : 1,所以.3 360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =?=== 从而 ,3 3 tan == GH EG θ .30?=θ (Ⅲ)解法一 以A 为坐标原点,直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴,过A 点垂直平面 PAD 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为 ).0,2 1,23(),0,21,23( ),0,0,0(a a C a a B A - ).3 1 ,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D 所以 ).0,2 1 ,23( ),31,32,0(a a AC a a AE == ).,2 1 ,23(),,0,0(a a a PC a AP -== ).,2 1 ,23(a a a BP -= 设点F 是棱PC 上的点,,10),,2 1 ,23(<<-==λλλλλ其中a a a PC PF 则 ),2 1 ,23(),21,23(λλλa a a a a a PF BP BF -+-=+= )).1(),1(21 ),1(23(λλλ-+-=a a a 令 AE AC BF 21λλ+= 得 ?? ? ? ? ? ??? =-+=+=-?? ?? ??? ??=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(2 1 ,23 )1(2 32211221 1λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a 解得 .23,21,21 21=-==λλλ 即 2 1 = λ时,.2321AE AC BF +-= 亦即,F 是PC 的中点时,BF 、AC 、AE 共面. 又 BF ?平面AEC ,所以当F 是棱PC 的中点时,BF//平面AEC. 解法二 当F 是棱PC 的中点时,BF//平面AEC ,证明如下, 证法一 取PE 的中点M ,连结FM ,则FM//CE. ① 由 ,2 1 ED PE EM == 知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD ,设BD ?AC=O ,则O 为BD 的中点. 所以 BM//OE. ② 由①、②知,平面BFM//平面AEC. 又 BF ?平面BFM ,所以BF//平面AEC. 证法二 因为 )(21 21DP CD AD CP BC BF ++=+= .2 123) (2 3 )(212321AC AE AD AE AC AD AD DE CD AD -=-+-+=++= 所以 BF 、AE 、AC 共面. 又 BF ?平面ABC ,从而BF//平面AEC. 【方法归纳】点F 是线PC 上的点,一般可设PC PF λ=,求出λ值,P 点是已知的, 即可求出F 点 9、如图,已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2,D 是侧棱1CC 的中点,直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45. (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长; (Ⅱ) 求二面角C BD A --的大小的正切值; (Ⅲ)求点C 到平面ABD 的距离. 解:(Ⅰ)设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x .取BC 中点E ,连AE . ABC ? 是正三角形,AE BC ∴⊥. 又底面ABC ⊥侧面11BB C C ,且交线为BC . AE ∴⊥侧面11BB C C . A B D 1 A 1 B 1 C E F G H I 连ED ,则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=. 在AED Rt ? 中,tan 45AE ED = = ,解得x =. ∴此正三棱柱的侧棱长为. 注:也可用向量法求侧棱长. (Ⅱ)解法1:过E 作EF BD ⊥于F ,连AF , ⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥. AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角. 在BEF Rt ?中,sin EF BE EBF =∠,又 1,sin 3CD BE EBF BD =∠= ==, ∴3EF =. 又AE = ∴在AEF Rt ?中,tan 3AE AFE EF ∠= =. 故二面角C BD A --的正切值3. 解法2:(向量法,见后) (Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知,⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ,且交线为AF , ∴过E 作EG AF ⊥于G ,则EG ⊥平面ABD . 在AEF Rt ? 中,10 AE EF EG AF ?= == . E 为BC 中点,∴点C 到平面 ABD 的距离为2EG = . 解法2:(思路)取AB 中点H ,连CH 和DH ,由,CA CB =DA DB =,易得平面ABD ⊥平面CHD ,且交线为DH .过点C 作CI DH ⊥于I ,则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离. 解法3:(思路)等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求. 解法4:(向量法,见后) 题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法: (Ⅱ)解法2:如图,建立空间直角坐标系 则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设 1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量. 由?????=?=?0 ,021AD n n 得0 y y ?=? -=取1(6,n =- 又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n = ∴10 10 1)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-??--=?>= 结合图形可知,二面角C BD A --的正切值为3. (Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2,1(6,n =-(0,CA =- ∴点C 到平面ABD 的距离d =2 221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---?-== 10 30 2. 1