人教版中考数学压轴题 易错题检测试题
一、中考数学压轴题
1.将一个直角三角形纸片ABO ,放置在平面直角坐标系中,点0(3)A ,,点()0, 3B ,点(0,0)O
(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ,O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ,沿着DE 折叠该纸片,点B 落在射线BO 上的点F 处. ①如图,当D 为OB 中点时,求E 点的坐标; ②连接AF ,当AEF ?为直角三角形时,求E 点坐标:
(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合),将AOP ?沿OP 所在的直线折叠,得到
'A OP ?,连接'BA ,当'BA 取得最小值时,求P 点坐标(直接写出结果即可).
2.如图1,在
O 中,弦AB ⊥弦CD ,垂足为点E ,连接AD 、BC 、AO ,
AD AB =.
(1)求证:2CAO CDB ∠=∠
(2)如图2,过点O 作OH AD ⊥,垂足为点H ,求证:2OH CE DE +=
(3)如图3,在(2)的条件下,延长DB 、AC 交于点F ,过点D 作DM AC ⊥,垂足为M ,交AB 于N ,若12BC =,3AF BF =,求MN 的长.
3.注意:为了使同学们更好地解答本题的第(Ⅱ)问,我们提供了一种分析问题的方法,你可以依照这个方法按要求完成本题的解答,也可以选用其他方法,按照解答题的一般要求进行解答即可.
如图,将一个矩形纸片ABCD ,放置在平面直角坐标系中,()0,0A ,()4,0B ,
()0,3D ,M 是边CD 上一点,将ADM 沿直线AM 折叠,得到ANM .
(Ⅰ)当AN 平分MAB ∠时,求DAM ∠的度数和点M 的坐标; (Ⅱ)连接BN ,当1DM =时,求
ABN 的面积;
(Ⅲ)当射线BN 交线段CD 于点F 时,求DF 的最大值.(直接写出答案) 在研究第(Ⅱ)问时,师生有如下对话:
师:我们可以尝试通过加辅助线,构造出直角三角形,寻找方程的思路来解决问题. 小明:我是这样想的,延长MN 与x 轴交于P 点,于是出现了Rt NAP △. 小雨:我和你想的不一样,我过点N 作y 轴的平行线,出现了两个Rt NAP △.
4.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且m=2n -+2n -+4,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标;
(2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、
Q ∠的数量关系并说明理由;
(3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线于,若设ADO α∠=,F β∠=,试求2αβ+的值.
5.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线239
334
y x x =
--x 轴交于A
B 、两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点
C .
(1)过点C 的直线5
334
y x =
-x 轴于点H ,若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,且在对称轴的右侧,过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ,作//PN x 轴交对称轴
于点N ,以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ,当矩形PQMN 的周长最大时,在y 轴上有一动点K ,x 轴上有一动点T ,一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ,再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动,求动点G 运动时间的最小值:
(2)如图2, 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置, 点A C 、的对应点分别为A C ''、,且点C '恰好落在抛物线的对称轴上,连接AC '.点E 是y 轴上的一个动点,连
接AE C E '、, 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?'', 是否存在点E , 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
6.在平面直角坐标系中,抛物线2
4y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B
在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且
:3:4??=ABC BCE S S .
(1)求点A ,点B 的坐标;
(2)将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后,点B 与点A 重合,点O 恰好落在y 轴上, ①求直线CE 的解析式; ②求抛物线的解析式.
7.已知,在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,∠ACB=∠EDF=90°,∠A=30°,∠E=45°,AB =EF =6,如图1,D 是斜边AB 的中点,将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE ,AC 相交于点M ,直线DF ,BC 相交于点N . (1)如图1,当α=60°时,求证:DM =BN ; (2)在上述旋转过程中,
DN
DM
的值是一个定值吗?请在图2中画出图形并加以证明; (3)如图3,在上述旋转过程中,当点C 落在斜边EF 上时,求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积.
8.如图,在平面直角坐标中,点O 为坐标原点,ABC ?的三个顶点坐标分别为
()A O m ,,(),B m O -,(),C n O ,5AC =且OBA OAB ∠=∠,其中m ,n 满足7
25m n m n +=??
-=?
.
(1)求点A ,C 的坐标;
(2)点P 从点A 出发,以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动,设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ,用含有t 的式子表示BPC ?的面积为S (直接写出t 的取值范围);
(3)在(2)的条件下,是否存在t 的值,使得ΔΔ3
2
PAB POC S S =
,若存在,请求出t 的值,并直接写出BP 中点Q 的坐标;若不存,请说明理由. 9.问题提出
(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.
问题探究
(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且
2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.
问题解决
(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.
10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A (﹣3,0)、B (2,0)两点,与y 轴交于点C (0,3). (1)求抛物线的解析式;
(2)点E (m ,2)是直线AC 上方的抛物线上一点,连接EA 、EB 、EC ,EB 与y 轴交于D .
①点F 是x 轴上一动点,连接EF ,当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时,求出线段EF 的长;
②点G 为y 轴左侧抛物线上一点,过点G 作直线CE 的垂线,垂足为H ,若∠GCH =∠EBA ,请直接写出点H 的坐标.
11.平面直角坐标系中,点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上,AO =BO ,△ABO 的面积为8.
(1)求点A 的坐标;
(2)点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上(D 在B 点上方),AB ⊥CD 于E ,设点D 纵坐标为t ,△BCE 的面积为S ,求S 与t 的函数关系;
(3)在(2)的条件下,点F 为BE 中点,连接OF 交BC 于G ,当∠FOB +∠DAE =45°时,求点E 坐标.
12.如图1,已知抛物线218
33
y x x c =-
-+与x 轴相交于A 、B 两点(B 点在A 点的左侧),与y 轴相交于C 点,且10AB =.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图2,D 点在x 轴上,且在A 点的右侧,E 点为抛物线上第二象限内的点,连接
ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ,点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为
3:1,已知4
tan 3
BDE ∠=,求点E 的坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,点G 由B 出发,沿x 轴负方向运动,连接EG ,点H 在
线段EG 上,连接DH ,EDH
EGB ∠=∠,过点E 作EK DH ⊥,与抛物线相交于点
K ,若EK EG =,求点K 的坐标.
13.如图,射线AM 上有一点B ,AB =6.点C 是射线AM 上异于B 的一点,过C 作CD ⊥AM ,且CD =
4
3
AC .过D 点作DE ⊥AD ,交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ,使得CF =CB ,连接AF 并延长,交DE 于点G .设AC =3x .
(1) 当C 在B 点右侧时,求AD 、DF 的长.(用关于x 的代数式表示) (2)当x 为何值时,△AFD 是等腰三角形.
(3)若将△DFG 沿FG 翻折,恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上,连接'FD ,'GD .此时x 的值为 (直接写出答案)
14.在平面直角坐标系xOy 中,点A 为x 轴上的动点,点B 为x 轴上方的动点,连接
OA ,OB ,AB .
(1)如图1,当点B 在y 轴上,且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点
P ,请直接写出P ∠的度数;
(2)如图2,当点B 在y 轴上,OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ,点C 在BP 的延长线上,且满足45AOC ∠=?,求
OAB
OCB
∠∠;
(3)如图3,当点B 在第一象限内,点P 是AOB ?内一点,点M ,N 分别是线段OA ,
OB 上一点,满足:1902
APB AOB ∠=?+∠,PM PN =,180ONP OMP ∠+∠=?.
以下结论:①OM ON =;②AP 平分OAB ∠;③BP 平分OBA ∠;④AM BN AB +=.
正确的是:________.(请填写正确结论序号,并选择一个正确的结论证明,简写证明过
程).
15.如图,在⊙O 中,直径AB =10,tanA =33
. (1)求弦AC 的长;
(2)D 是AB 延长线上一点,且AB =kBD ,连接CD ,若CD 与⊙O 相切,求k 的值; (3)若动点P 以3cm/s 的速度从A 点出发,沿AB 方向运动,同时动点Q 以3
2
cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为t (0<t <10
3
),连结PQ .当t 为何值时,△BPQ 为Rt △?
16.如图,直角梯形ABCD 中,
1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ??∠∠====的圆心1O 从点A 开始沿折线
——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动,2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以
3/cm s 的速度向点A 运动,1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ,若12,O O 分别从点
A 、点
B 同时出发,运动的时间为ts
(1)请求出2O 与腰CD 相切时t 的值; (2)在03s t s ≤<范围内,当t 为何值时,
1O 与2O 外切?
17.如图1,Rt △ABC 中,点D ,E 分别为直角边AC ,BC 上的点,若满足AD 2+BE 2=DE 2,则称DE 为R △ABC 的“完美分割线”.显然,当DE 为△ABC 的中位线时,DE 是△ABC 的一条完美分割线.
(1)如图1,AB =10,cos A =
4
5
,AD =3,若DE 为完美分割线,则BE 的长是 . (2)如图2,对AC 边上的点D ,在Rt △ABC 中的斜边AB 上取点P ,使得DP =DA ,过点P 画PE ⊥PD 交BC 于点E ,连结DE ,求证:DE 是直角△ABC 的完美分割线.
(3)如图3,在Rt △ABC 中,AC =10,BC =5,DE 是其完美分割线,点P 是斜边AB 的中点,连结PD 、PE ,求cos ∠PDE 的值.
18.如图1,在ABC 中,BD 平分ABC ∠,CD 平分ACB ∠. (1)若80A ∠=?,则BDC ∠的度数为______; (2)若A α∠=,直线MN 经过点D .
①如图2,若//MN AB ,求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示); ②如图3,若MN 绕点D 旋转,分别交线段,BC AC 于点,M N ,试问在旋转过程中
NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变,求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示),若改变,请说明理由:
③如图4,继续旋转直线MN ,与线段AC 交于点N ,与CB 的延长线交于点M ,请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示).
19.问题提出
(1)如图1,已知三角形ABC ,请在BC 边上确定一点D ,使得AD 的值最小. 问题探究
(2)如图2,在等腰ABC 中,AB AC =,点P 是AC 边上一动点,分别过点A ,点
C 作线段BP 所在直线的垂线,垂足为点,
D
E ,若5,6AB BC ==,求线段BP 的取值范围,并求AD CE +的最大值.
问题解决
(3)如图3,正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地,边长为3千米,四个顶点处都建有一个蔬菜采购点,根据运输需要,经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点
P 建设一条向外运输的快速通道,其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨
道,分别为BB '、CC '、DD '.若你是此次项目设计的负责人,要使三条运输轨道的距离之和(
)
BB CC DD '''
++最小,你能不能按照要求进行规划,请通过计算说明.
20.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,矩形OACB的顶点A、B分别在x轴和y轴上,已知OA=5,OB=3,点D的坐标是(0,1),点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA的方向运动,当点P与点A重合时,运动停止,设运动的时间为t秒.
(1)点P运动到与点C重合时,求直线DP的函数解析式;
(2)求△OPD的面积S关于t的函数解析式,并写出对应t的取值范围;
(3)点P在运动过程中,是否存在某些位置使△ADP是不以DP为底边的等腰三角形,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
21.发现来源于探究.小亮进行数学探究活动,作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG(a>b),开始时,点E在AB上,如图1.将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转.
(1)如图2,小亮将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转,连接BE、DG,当点G恰好落在线段BE上时,小亮发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.当a=3,b=2时,请你帮他求此时DG的长.
(2)如图3,小亮旋转正方形AEFG,点E在DA的延长线上,连接BF、DF.当FG平分∠BFD时,请你帮他求a:b及∠FBG的度数.
(3)如图4,BE的延长线与直线DG相交于点P,a=2b.当正方形AEFG绕点A从图1开
始,逆时针方向旋转一周时,请你帮小亮求点P 运动的路线长(用含b 的代数式表示). 22.如图,二次函数2
3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ,另一个交点为
A ,且与y 轴相交于C 点
(1)则m =_________;C 点坐标为___________;
(2)在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ,使得它与B ,C 两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M 点坐标;若不存在,请简要说明理由. (3)P 为抛物线上一点,它关于直线BC 的对称点为Q ①当四边形PBQC 为菱形时,求点P 的坐标;
②点P 的横坐标为(04)t t <<,当t =________时,四边形PBQC 的面积最大. 23.问题一:如图①,已知AC =160km ,甲,乙两人分别从相距30km 的A ,B 两地同时出发到C 地.若甲的速度为80km /h ,乙的速度为60km /h ,设乙行驶时间为x (h ),两车之间距离为y (km ).
(1)当甲追上乙时,x = . (2)请用x 的代数式表示y .
问题二:如图②,若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分,线段AB 正好对应钟表上的弧AB (1小时的间隔),易知∠AOB =30°.
(3)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ,时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °;
(4)若从2:00起计时,求几分钟后分针与时针第一次重合?
24.综合与探究:
如图1,抛物线24832
999
y x x =-
++与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),顶点为D ,P 为对称轴右侧抛物线的一个动点,直线AD 与y 轴于点C ,过点P 作
//PF AD ,交x 轴于点F .
(1)求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标;
(2)如图2,当//PC x 轴时,将AOC ?以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向平移,当点C 与点P 重合时停止平移.设平移t 秒时,在平移过程中AOC ?与四边形AFPC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; (3)如图3,过点P 作x 轴的平行线,交直线AD 于点E ,直线DF 与PE 交于点M ,设点P 的横坐标为m .
①当3DM MF =时,求m 的值;
②试探究点P 在运动过程中,是否存在值m ,使四边形AFPE 是菱形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
25.如图,矩形ABCD 中,AD >AB ,连接AC ,将线段AC 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ,平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应,点E 与点F 对应),连接BF ,分别交直线AD ,AC 于点G ,M ,连接EF .
(1) 依题意补全图形; (2) 求证:EG ⊥AD ;
(3) 连接EC ,交BF 于点N ,若AB =2,BC =4,设MB =a ,NF =b ,试比较
()()11a b ++与
9+62
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一、中考数学压轴题 1.E
解析:(I )①33,2?? ?
???;②E 点坐标为3,2?? ? ???或23,1??
? ???;(II )333333,22??
-- ? ???
【解析】 【分析】
(I )①过点E 做EH ⊥OA ,交OA 于点H ,由D 为OB 中点结合DE ∥OA ,可得出DE 为△BOA 的中位线,再根据点A 、B 的坐标即可得出点E 的坐标;
②根据折叠的性质结合角的计算可得出∠AEF=60°≠90°,分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况考虑,利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出点E 的坐标;
(II )根据三角形的三边关系,找出当点A′在y 轴上时,BA′取最小值,根据折叠的性质可得出直线OP 的解析式,再根据点A 、B 的坐标利用待定系数法求出直线AB 的解析式,联立两直线解析式成方程组,解之即可得出点P 的坐标. 【详解】
(I )过点E 做EH ⊥OA ,交OA 于点H ,
①∵DE OB ⊥,OA OB ⊥ , ∴//DE OA . ∵D 为OB 中点, ∴D 点的坐标为30,2?
? ???
, ∴DE 为OA ?B 的中位线, ∴点E 为线段AB 的中点, 又∵EH BO ∥, ∴EH 为OA ?B 的中位线, ∴点H 为线段OA 的中点, ∴点H 的坐标为3?
????
, ∴点E 的坐标为33,22??
? ???
.
②∵点(3)A ,,点()0, 3B ,
∴3OA =,OB=3 ∴3tan =
3
B , ∴∠B=30°,
由折叠可知: BDE FDE ??≌. ∴ 30EFD ABO ∠=∠=?,DF BD = ∴6090AEF
ABO DPE ∠=∠+∠=?≠?.
∵AEF ?是直角三角形, ∴90AFE ∠=?或90EAF ∠=? (i )当90AFE ∠=?时,如图1所示
18060AFO AFE EFD ∠=?-∠-∠=?.
在Rt AOF ?中,60AFO ∠=?,3OA =∴30FAO ∠=?,2AF OF =, 22AF OF AO -=,
∴1OF =,2AF =.
在Rt DEF ?中,30DFE ∠=? , 2
OB OF
DF BD -==. ∴2EF DE =,
221EF DE DF -==, ∴3
DE =
23DF =. ∵2OD OF DF =+=.
∴点E 的坐标为32?
????
;
(ii)当90EAF ∠=?时,如图2所示.
∵90AOB ∠=?,30ABO ∠=? ∴60BAO ∠=?,
∴30FAO EAF BAO ∠=∠-∠=?. 在Rt AOF ?中,30FAO ∠=? ,3AO =, ∴2AF OF =, ∵
22AF OF AO -=,
∴1OF =,2AF =.
在Rt DEF ?中,30DFE ∠=? , 22
OB OF
DF +==, ∴2EF DE =, ∵22EF DE DF -=, ∴23
DE =
, ∵1OD DF OF =-=,
∴点E 的坐标为23,13??
? ???
.
综上所述:当AEF ?为直角三角形时,E 点坐标为3,2?? ? ???或23,1??
? ??
?. (II )由折叠可知:'AOP A OP ??≌, ∴'3OA OA ==,'AOP A OP ∠=∠, 又∵3OB =,
∴当点'A 在y 轴上时,'BA 取最小值,如图3所示.
∵ 90AOB ∠=?
∴ 45AOP ∠=?
∴直线OP 的解析式为y x = 设直线AB 的解析式为 y kx b =+,
将A 、()0,3B 代入 y kx b =+中,
03
b b +==??
,解得:3k b ?=??=??, ∴直线AB
的解忻式为3y =+. 联立直线OP 、AB 的解析式成方程组,
3y x y =???
=+??
,解得:x y ?=??
??=??
, ∴.当'BA 取得最小值时,P
点坐标为??
.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线、待定系数法求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、勾股定理以及折叠的性质,解题的关键是:(I )①找出DE 为△BOA 的中位线;②分∠AFE=90°和∠EAF=90°两种情况求点E 的坐标;(II )根据三角形三边关系找出BA′取得最小值点A′的位置.
2.B
解析:(1)见解析;(2)见解析;(3
)MN = 【解析】 【分析】
(1)连接OB ,OD ,利用圆周角定理结合三角形内角和定理可得结果;
(2)过O 作OT ⊥BC 于T ,连接OB ,OC ,在ED 上找点G ,使得CE=EG ,连接BG ,证明
AOH OBT ??≌,得到OH=BT ,设∠BDC=α,利用垂直平分线的性质得到BC=BG ,结合
三角形外角的性质得到BC=BG=GD ,从而可得结果;
(3)在AF 上作点Q ,使得AQ=BQ ,连接BQ ,OQ ,过B 作BW ⊥AF 于点W ,设BF=x ,则AF=3x ,推出△QBF 为直角三角形,利用勾股定理得出AQ 、BQ 、BW 、FW 、AW 的表达式,从而得到4tan 3BW F FW ∠=
=,1
tan 3
BW CAB AW ∠==,设BE=n ,则DE=3n ,EG=3n-12,在△BEG 中,利用勾股定理求出n 的值,得到BE 、DE 、EG 、EC 的值,利用三角函数
算出NE 的长,再证明△CBE ∽△ADE ,得到
1
3
CE BC BF AE AD AF ===,算出AE ,从而得到AN ,最后在△AMN 利用勾股定理求出MN 的长. 【详解】
解:(1)连接OB ,OD , ∵AD=AB , ∴弧AC=弧AD , ∴∠AOB=∠AOD ,
∴∠OAB=∠OBA ,∠OAD=∠ODA , ∴BAO DAO ∠=∠, ∵CAB CDB ∠=∠, ∴2CAO CDB ∠=∠;
(2)过O 作OT ⊥BC 于T ,连接OB ,OC ,在ED 上找点G ,使得CE=EG ,连接BG , ∵∠COB=2∠CAB ,∠CAB=∠CDB ,∠AOB=∠AOD ,2CAO CDB ∠=∠, ∴2∠OAH=2∠BAO=∠COB , ∵OC=OB ,OT ⊥BC , ∴∠OAH=∠BOT ,
又∵∠OTB=∠OHA=90°,OB=OA , ∴AOH OBT ??≌, ∴OH=BT , ∵BC=2BT , ∴2OH=BC , 设∠BDC=α, ∴∠BCD=∠BAD=2α, ∵CE=GE ,AB ⊥CD ,
∴BC=BG ,则∠BGC=∠BCG=2α, ∵∠BDC=α, ∴∠GBD=α, ∴BC=BG=GD ,
∴DE=EG+GD=CE+BC=CE+2OH , 即2OH CE DE +=;
(3)在AF 上作点Q ,使得AQ=BQ ,连接BQ ,OQ ,过B 作BW ⊥AF 于点W , ∵AQ=BQ ,OA=OB , ∴OQ 垂直平分AB , ∴∠QAB=∠QBA ,
∵AF=3BF ,设BF=x ,则AF=3x , ∵AB ⊥CD , ∴∠ACD+∠CAB=90°, ∵∠ACD=∠ABD , ∴∠ABD+∠ABQ=90°, ∴△QBF 为直角三角形,
设AQ=QB=a ,则FQ=3x-a ,在△QBF 中,
()2
223x a a x -=+,解得:4
3
a x =
, 即AQ=BQ=4
3x ,QF=53
x ,
∴BW=BF×BQ÷QF=
4
5
x , ∴22
35
BF BW x -=,
∴AW=AF-FW=12
5x , ∴4tan 3BW F FW ∠=
=,1
tan 3
BW CAB AW ∠==, 由(2)知:BC=BG=DG=12,CE=EG ,
∴BE=ED·
tan ∠BDC , 设BE=n ,则DE=3n ,EG=3n-12,
在△BEG 中,()2
2231212n n +-=, 解得:n=36
5
或0(舍), ∴BE=
365,DE=1085,EG=EC=485
,
在△DMC 和△BDE 中, ∠MCD=∠EBD ,∠DMC=∠DEB , ∴∠MDC=∠EDB ,
∴tan ∠MDC=tan ∠EDB=tan ∠CAB=13
, ∴NE=DE×
13
=365, ∵∠BCE=∠BAD ,∠CBE=∠ADE , ∴△CBE ∽△ADE ,
∴
13
CE BC BF AE AD AF ===, ∴AE=3CE=144
5
,
∴AN=AE-NE=
108
5
, ∴设MN=m ,则AM=3m ,在△AMN 中,
()2
2
2
10835m m ??+= ???
,
解得:m=
5410或5410
-(舍) ∴5410
25
MN =
.
【点睛】
本题属于圆的综合题,考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆周角定理,难度较大,要会综合题中的条件作出适当辅助线帮助解决问题.
3.A
解析:(I )30DAM ∠=?,)
3,3M ;(II )
24
5
;(III )DF 的最大值为47. 【解析】
【分析】
(Ⅰ)由折叠的性质得:△ANM ≌△ADM ,由角平分线结合得:
∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°,由特殊角的三角函数可求DM 的长,写出M 的坐标; (Ⅱ)如图2,作辅助线,构建直角三角形,设NQ=x ,则AQ=MQ=1+x ,在Rt △ANQ 中,由勾股定理列等式可得关于x 的方程:(x+1)2=32+x 2,求出x ,得出AB 是AQ 的4
5
,即可得出△NAQ 和△NAB 的关系,得出结论;
(III )如图3,过A 作AH ⊥BF 于H ,证明△ABH ∽△BFC ,得
BH CF
AH BC
=,Rt △AHN 中,AH ≤AN=3,AB=4,可知:当点N 、H 重合(即AH=AN )时,AH 最大,BH 最小,CF 最小,DF 最大,此时点M 、F 重合,B 、N 、M 三点共线,如图4所示,求此时DF 的长即可. 【详解】 (I )如图
()0,0A ,()4,0B ,()0,3D , 3AD ∴=,4AB =, 由折叠得:ANM ADM ≌△△, MAN DAM ∴∠=∠, AN 平分MAB ∠, MAN NAB ∴∠=∠,
BAM MAN NAB ∴∠=∠=∠, 四边形ABCD 是矩形, 90DAB ∴∠=?, 30DAM ∴∠=?,
3
tan 3tan 3033DM AD DAM ∴=?∠=??==, 30DAM ∴∠=?,)
3,3M
;
(II )延长MN 交AB 的延长线于点Q ,
人教版中考数学压轴题 易错题自检题学能测试试卷
一、中考数学压轴题 1.已知:在平面直角坐标系中,抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ,B (点B 在 点A 的右侧),点C 为抛物线的顶点,点C 的纵坐标为-2. (1)如图1,求此抛物线的解析式; (2)如图2,点P 是第一象限抛物线上一点,连接AP ,过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ,设点P 的横坐标为t ,CD 的长为m ,求m 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围); (3)如图3,在(2)的条件下,点E 在DP 上,且ED AD =,点F 的横坐标大于3,连接EF ,BF ,PF ,且EP EF BF ==,过点C 作//CG PF 交DP 于点G ,若 72 8 CG AG = ,求点P 的坐标. 2.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”. (1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”: ①个位上的数字是千位上的数字的两倍; ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数; (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置,同时,将百位上与千位上的数字交换位置,称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”. 例如:1423于4132为“相关和平数” 求证:任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数. 3.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”. (概念感知) (1)如图1,在ABC 中,12AC =,10BC =,30ACB ∠=?,试判断ABC 是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
安徽省中考数学易错题分类汇编
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
中考数学—分式的易错题汇编含解析
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 一、中考数学压轴题 1.如图,在等边△ABC 中,AB =BC =AC =6cm ,点P 从点B 出发,沿B →C 方向以1.5cm/s 的速度运动到点C 停止,同时点Q 从点A 出发,沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动,当点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动,连接PQ ,过点P 作BC 的垂线,过点Q 作BC 的平行线,两直线相交于点M .设点P 的运动时间为x (s ),△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y (cm 2)(规定:线段是面积为0的图形). (1)当x = (s )时,PQ ⊥BC ; (2)当点M 落在AC 边上时,x = (s ); (3)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围. 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且2n -2n -,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标; (2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由; (3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 一、中考数学压轴题 1.AB 是O 直径,,C D 分别是上下半圆上一点,且弧BC =弧BD ,连接,AC BC , 连接CD 交AB 于E , (1)如图(1)求证:90AEC ∠=?; (2)如图(2)F 是弧AD 一点,点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点,连接FD ,连接 MN 分别交AC ,FD 于,P Q 两点,求证:MPC NQD ∠=∠ (3)如图(3)在(2)问条件下,MN 交AB 于G ,交BF 于L ,过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ,连接BH ,若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8,求线段MN 的长度 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系,两条数轴称为斜坐标系的坐标轴,公共原点称为斜坐标系的原点,如图1,经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ,分别交x 轴和y 轴于点M ,N .点 M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标,有序实数对(x,y)称为点P的斜坐标,记为P(x,y) (1)如图2,ω=45°,矩形OABC中的一边OA在x轴上,BC与y轴交于点D, OA=2,OC=1. ①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A,B,C. ②设点P(x,y)在经过O、B两点的直线上,则y与x之间满足的关系为. ③设点Q(x,y)在经过A、D两点的直线上,则y与x之间满足的关系为. (2)若ω=120°,O为坐标原点. ①如图3,圆M与y轴相切原点O,被x轴截得的弦长OA=23,求圆M的半径及圆心M的斜坐标. ②如图4,圆M的圆心斜坐标为M(23,23),若圆上恰有两个点到y轴的距离为1,则圆M的半径r的取值范围是. 4.在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题. (1)(课本习题)如图①,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.求证:DB=DE (2)(尝试变式)如图②,△ABC是等边三角形,D是AC边上任意一点,延长BC至E,使CE=AD. 求证:DB=DE. (3)(拓展延伸)如图③,△ABC是等边三角形,D是AC延长线上任意一点,延长BC至E,使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论.人教版中考数学压轴题 易错题难题专题强化试卷学能测试
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