2019年深圳中考数学试题(解析版)

{来源}2019年深圳中考数学 {适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年深圳市中考数学试卷

考试时间：90分钟 满分：100分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，合计36分．

{题目}1．（2019年深圳第1题）5

1

-的绝对值是 A.-5 B. 51 C.5 D. 5

1-

{答案}B

{解析}本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质， 15

的绝对值是15

，因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值 } {考点:绝对值的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年深圳第2题）下列图形中，是轴对称图形的是

{答案}A

{解析}本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，判断即可得出答案．因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-13-1-1]轴对称} {考点:轴对称图形} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年深圳第3题）预计2025年，中国5G 用户将超过460 000 000户。将数据460 000 000用科学计数法表示为： A ．9

4.610?

B ．74610?

C ．8

4.610?

D ． 9

0.4610?

{答案}C

{解析}本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．因此本题选C ． {分值}3

A B C D

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}4．（2019年深圳第4题）下列哪个图形是正方体的展开图

{答案}B

{解析}本题考查正方体的展开图。选项B 属于正方体的展开图中1-4-1型，A ，C ，D 选项在折的过程中均有正方形重叠。因此本题选B

{分值}3

{章节:[1-4-1-2]点、线、面、体} {考点:几何体的展开图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}5．（2019年深圳第5题）一组数：20，21，22，23，23，这组数的中位数和众数分别是 A ．20，23

B ．21，23

C ．21，22

D ． 22，23

{答案}D

{解析}本题考查了中位数和众数，根据一组数据按照由小到大（或由大而小）的顺序排列，中间位置的数或者中间两个数据的平均数为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数，对各选项分析判断后即可得出答案．因此本题选D ． {分值}3

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数}{考点:众数} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}6．（2019年深圳第6题）下列运算正确的是

A ．2

2

4

a a a += B ．3

4

12

a a a = C ．()

4

312a

a = D ． ()2

2ab ab =

{答案}C

{解析}本题考查整式的运算，根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每一个因式的乘方的积，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题选C

A B C D

{分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}

{考点: 合并同类项}{考点:同底数幂的乘法}{考点: 幂的乘方}{考点:积的乘方 } {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7．（2019年深圳第7题）如图1，已知直线1l ∥2l ，直线3l 交直线1l 、2l 于A 、B 两点，AC 为角平分线，则下列说法错误的是 A ．∠1= ∠4 B ．∠1= ∠5 C ．∠2= ∠3 D ． ∠1= ∠3

{答案}B

{解析}本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，根据角平分线的性质，易得∠1= ∠2，根据平行线的性质，可得∠2= ∠3，∠2= ∠4，根据等量代换，可得∠1= ∠4，选项A ，C ，D 正确。同时，∠1和∠5并不是平行线所截出的同位角，因此本题选B ． {分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:平行线的性质与判定}{考点:角平分线的性质} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}8．（2019年深圳第8题）如图2，已知△ABC 中，AB =AC ,AB =5,BC =3,以A 、B 两点为圆

心，大于

1

2

AB 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，连接MN ，与AC 相交于点D ,则△BDC 的周长为

A ．8

B ．10

C ．11

D ． 13

{答案}A

{解析}本题考查了垂直平分线的作图知识判断出MN 是AB

再根据垂直平分线的性质可得BD=AD ，所以△BDC 的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=3+5=8，因此本题选A ． {分值}3

{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}

{考点:垂直平分线的性质}{考点:与垂直平分线有关的作图} {类别:常考题}

{难度

:3-中等难度}

{题目}9．（2019年深圳）已知 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，

则y ＝ax ＋bx 和c

y x

的图象为（ ）

图2

l

A.B.

C.D.

{答案}C

{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于抛物线开口向下，因此a＜0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a，b异号，所以b＞0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于正半轴，又抛物线与y轴交于下半轴，因此c＜0，所以反比例函数经过二、四象限，因此

本题选C．

{分值}3

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}

{考点:二次函数的系数与图象的关系}

{考点:反比例函数的图象}

{考点:一次函数的图象}

{难度:3-中等难度}

{类别:易错题}

{题目}10．（2019年深圳）下面命题正确的是（）

A．矩形对角线互相垂直

B．方程x2=14x的解为x=14

C．六边形内角和为540°

D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

{答案}D

{解析}本题考查了命题的真假问题，解答过程如下：

A.矩形的对角线应满足互相相等关系，故A命题错误；

B.方程x2=14x的解应是x=0或x=14，故B命题错误；

C.六边形内角和根据内角和公式应等于180°×（6-2）=720°，故C命题错误；

D.是全等判定定理中的“HL”定理，故D命题正确.

因此本题答案是D.

{分值}3

{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}

{考点:命题}{考点:矩形的性质}{考点:一元二次方程的解}{考点:多边形的内角和}

{考点:全等三角形的判定HL}

{难度:3-中等难度}

{类别:易错题}

{题目}11．（2019年深圳）定义一种新运算-ò

a

n-1

n

n

b

n x dx =a b g ，例如222-òk

h

xdx =k h ，

若

-25--2ò

m

m

x dx =，则m ＝（ ）

A.－2

B.－25

C.2

D. 2

5

{答案}B

{解析}本题考查了负指数幂参与的计算问题，先根据定义-2-115-(5)2--=-ò

m

m

x dx =m m ，

∴

1125-=-m m ，∴425=-m ，25\=-m ，因此本题答案是25

-

{分值}3

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:新定义}

{考点:负指数参与的运算} {难度:3-中等难度} {类别:新定义}

{题目}12．（2019年深圳）已知菱形ABCD ，E 、F 是动点，边长为4，BE=AF ，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个（ ）

①△BEC ≌?AFC ；

②?ECF 为等边三角形；

③∠AGE=∠AFC ； ④若AF=1,则

1

3

=GF EG

A.1

B.2

C.3

D.4

{答案} D

{解析}本题考查了菱形的性质，全等三角形判定与性质、一线三等角等有关的几何综合题. ①选项：先由菱形的性质可知，AB=BC,∠BAC=∠CAD=60°，AD//BC ，因此可得∠B=180°－∠BAD=60°，又AB=BC,∴△ABC 是等边三角形，∴ BC=AC ，又∠B=∠CAD=60°,BE=AF ，∴△BEC ≌?AFC ，故正确；

②选项：由①得EC=FC ，∠BCE=∠ACF ，∴∠ACF+∠ECG=∠BCE+∠ECG=∠BCA=60°，∴?ECF 为等边三角形，故正确； ③选项：由②得∠CEF=60°，∴∠B=∠BAC=∠CEF=60°，∴∠AGE+∠AEG=∠AEG+∠BEC=120°，证得∠AGE=∠BEC ，∴∠AGE=∠AFC ，故正确； ④选项：方法1：在△AEF 中，由角平分，线定理得:1

3

=GF AF =EG AE ,故正确； 方法2：作EM//BC 交AC 于M 点，则：

,GF AF

=EG EM

易证△AEM 是等边三角形，则EM=3，∴1

,3

=GF AF =EG EM 故正确；

方法3：过点G 分别向AE ，AF 作垂线，垂足为H ，I ，易证得△AHG ≌?AIG ，∴GH=GI ，

B

又∵BE=AF=1，∴AE=3，

1

12132

==ΔAFG ΔAEG

AF GI

S S AE GH g g ，设点A 到EF 距离为h ，则

1

12132

==ΔAFG ΔAEG FG h S S EG h g g ，即13=GF EG ，故正确. 因此本题①②③④均正确，选D. {分值}3 {章节:[1-18-2-2]菱形}

{考点:几何选择压轴}{考点:与矩形菱形有关的综合题}

{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:一线三等角} {难度:5-高难度} {类别:高度原创}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3分，合计12分．

{题目}13．（2019年深圳）分解因式：-2

ab a =____________________________. {答案}(1)(-1)+a b b

{解析}本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，得到(1)(-1)+a b b {分值}3

{章节:[1-14-3]因式分解}

{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{题目}14．（2019年深圳）现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是____________. {答案}

38

{解析}本题考查了一步事件的概率；共有8张，标有数字2的卡片总共有3张，因此本题答案是

38

. {分值}3

{章节:[1-25-1-2]概率} {考点:一步事件的概率} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{题目}15．（2019年深圳）如图，在正方形ABCD 中，BE=1，将BC 沿CE 翻折，使B 点对应点刚好落在对角线AC 上，将AD 沿AF 翻折，使点D 对应点刚好落在对角线AC 上，求EF=_______________.

B

{答案

{解析}本题考查了与正方形有关的折叠问题，先作FM⊥AB于点M，由折叠可知：EX=EB=AX=1，

AM=DF=YF=1，∴正方形的边长

1

+，

1

-,

∴===

EF

{分值}3

{章节:[1-18-2-3] 正方形}

{考点:折叠问题}{考点:正方形的性质}

{难度:4-较高难度}

{类别:高度原创}{类别:思想方法}

{题目}16．（2019年深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C（0，－3），CD=3AD，点A在反比例函数

k

y

x

图象上，且y轴平分∠ACB，求k=______________.

{答案

}

7

{解析}本题考查了反比例函数综合题，如图所示，作AE⊥x轴，由题意，可证△COD∽△AED，∵CD=3AD， C(0，－3)，∴AE=1，OD=3DE，设DE=x，则OD=3x，

∵y轴平分∠ACB，∴BO=DO=3x，

∵∠ABC=90°，AE⊥x轴，∴可证△CBO∽△BAE

，则

33

,即,解得：

17

==

BO CO x

=x

AE BE x

，

∴,1)

A

，∴=

k

7

.

{分值}3

E

F

Y

441x 2x 3-22x 2++-÷+++x x x ）（441x 2x 3-12

++-÷+x x ）（1

)2(21x 2

-+?+-x x x {章节:[1-26-1]反比例函数的图象和性质} {考点:双曲线与几何图形的综合}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {难度:5-高难度}

{类别:高度原创}{类别:思想方法}

{题型:4-解答题}三、解答题(共7小题。第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第

21题8分，第22题9分，第23题9分。共52分)

{题目}17．（2019年深圳第17题）计算：9-2cos600

+1

-81??

?

??+(π-3.14)0

{解析}本题考查了二次根式，600的余弦值，负指数幂和零指数幂． {答案}解原式=3 - 2×2

1+ 8 + 1 =3-1+8+1 =11

{分值}5

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:算术平方根} {考点:余弦}

{考点:负指数的定义} {考点:零次幂}

{题目}18．（2019年深圳第18题）先化简

4

41

x 2x 3-12++-÷+x x ）（，再将x= -1代入求值. {解析}本题考查了分式的加减、因式分解－完全平方公式、两个分式的乘除、分式的混合运算、

通分、约分、分式的值。

{答案}解：

原式=

=

= x+2

当时x= - 1时，原式=x+2= - 1+2 = 1 {分值}6

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－完全平方} {考点:通分} {考点:约分}

{考点:两个分式的加减} {考点:两个分式的乘除} {考点:分式的混合运算} {考点:分式的值}

{题目}19．（2019年深圳第19题）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图

（1）这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的x= ； （2）请补全统计图；

（3）在扇形统计图中“杨琴”所对扇形的圆心角是 度 ；

（4）若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名。

{解析}本题考查了条形统计图、扇形统计图以及由部分求总体和有总体求部分的运用． {答案}解：（1）80÷40％=200， x=30÷200×100％=15％

(2) 如上图所示：

(3)

200

20

×360=36 (4)

200

60

×3000=900 {分值}7

{章节:[1-10-1]统计调查} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:抽样调查} {考点:条形统计图} {考点:扇形统计图} {考点:统计的应用问题}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共7小题，合计52分．

{题目}20．（2019年深圳）（本小题满分8分）

如图所示，某施工队要测量隧道长度BC ，AD=600米，AD ⊥BC,施工队站在点D 处看向B ，测得仰

角为45o .再由D 走到E 处测量，DE//AC,ED=500米，测得仰角为53o ,求隧道BC 的长.(sin53o ≈5

4

,cos53o

≈53,tan53o ≈3

4)

图7

53°

45°

F C B A G

{解析}本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，会准确地选择合适的锐角三角函数求线段的长．(1)根据仰角为45o 这个已知条件可证得ΔABD 是等腰直角三角形,从而可求出AB 的长；(2)作EG ⊥AC 可得到矩形ADEG ，求出EG 长为600米，在RtΔCGE 中，利用53o 角的正切值即可求出CG 的长，从而利用线段的和差关系求得BC 的长. {答案}解：过点E 作EG ⊥AC ，交AC 于点G. 由题意可知，∠ADB= 45o ,∠CEG= 53o ∵AD ⊥BC ∴∠BAD= 90o

∴∠ABD=90o -∠ADB=90o - 45o =45o

∴∠ABD= ∠ADB=45o ∴AB=AD=600米 ∵DE//AC ∴∠ADE=180o - 90o =90o ∵EG ⊥AC ∴∠EGA= 90o ∴四边形ADEG 是矩形

∴EG=AD=600米, AG=DE=500米 ∴BG=AB -AG=600-500=100米 在RtΔCEF 中，EG

CG

=0

53tan ∴CG=tan53o EG ≈

6003

4

?=800 ∴BC=CG-BG=800-100=700米 答：隧道BC 的长为700米. {分值}8分

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:等腰直角三角形} {考点:矩形的性质} {考点:矩形的判定} {考点:正切}

{考点:三角函数的关系}

{题目}21．（2019年深圳）（本小题满分8分）

现在A 、B 两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A 发电厂比B 发电厂多发40度电，A 发电厂焚烧20

吨垃圾比B 发电厂焚烧30吨垃圾少发1800度电.(1)求焚烧一吨垃圾，A 、B 两个发电厂各发电 多少度？(2)A 、B 两个发电厂供焚烧90吨垃圾，且A 发电厂焚烧的垃圾不多于B 发电厂焚烧垃 圾的两倍，试问，当A 、B 两个发电厂总发电量最大时，A 、B 两个发电厂的发电量各为多少 度？

{解析}本题考查了二元一次方程组应用题，以及二元一次方程组的解法，一次函数应用题的 最值问题，利用一次函数的增减性求函数最大值.(1)此题的第一小题可以选择设两个未知数， 从而建立二元一次方程组的方法来求得焚烧一吨垃圾A 、B 两个发电厂各发电多少度；也可

以只设一个未知数，通过解一元一次方程来解决实际问题;(2)第二小题的难点在于怎样计算 A 、B 两个发电厂总发电量，解决这个问题的关键是设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，这样就可以用 含x 的式子表示出总发电量y 了.题中还涉及了最大值的问题，因此需要用到一次函数的增减性来确定x 的取值，从而可以分别求出A 、B 两个发电厂的发电量.

{答案}解：(1)设每焚烧一吨垃圾，A 发电厂发电a 吨，B 发电厂发电b 吨. 根据题意得： ??

?=-=-1800203040a b b a 解得 ?

??==260300

b a

答：每焚烧一吨垃圾，A 发电厂发电300吨，B 发电厂发电260吨.

(2)设A 发电厂焚烧x 吨垃圾，则B 发电厂焚烧(90-x )吨垃圾，总发电量为y 吨.

根据题意得：

y =300x +260(90-x )=40x +23400

∵ A 发电厂焚烧的垃圾不多于B 发电厂焚烧垃圾的两倍

∴x ≤ 2(90-x ) 解得x ≤ 60

∵k =40>0

∴y 随x 的增大而增大

∴当x =60时，总发电量y 取最大值，最大值y =40×60+23400=25800度 此时A 发电厂的发电量为：300×60=18000度

B 发电厂的发电量为：260×30=7800度

答：当A 、B 两个发电厂总发电量最大时，A 发电厂的发电量为18000度，

B 发电厂的发电量为7800度.

{分值}8分

{章节:[1-8-3]实际问题与二元一次方程组} {难度:4-较高难度} {类别:思想方法}

{考点:简单的列二元一次方程组应用题} {考点:其他一次函数的综合题} {考点:一次函数的性质}

{题目}22．如图抛物线经y=ax2+bx+c 过点A （一I, 0），点C(O ，3），且OB=OC. （1）或抛物线的解析式及其对称轴：

（2）点D 、E 在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值.

（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，求点P 的坐标．

{解析}本题考查了二次函数与轴对称，三角形面积的相关知识，比如给与坐标轴的三个点求二次函数的解析式；通过作轴对称求两条线段的距离之和最短，从而求四边形的最短周长；通过把三角形面积之比转化为相关线段（底和高）之比，求得线段长度及点的坐标。整体综合性强，难度适中。 （1）由OB=OC ，求得点B 的坐标，由待定系数法求抛物线解析式；（2）四边形ACDE 已有两条边AC 、DE 的长度是固定不变的，要想周长最短，只需要CD+AE 之和最短即可，CD 、AE 在抛物线的对称轴x=1的同侧，所以可以通过轴对称，和构造平行四边形，根据“两点之间，线段最短”，将两条线段的和转化为一条线段的长度；

（3）存在性问题，可根据△ACP 和△BCP 的面积之比为3∶5或5∶3，分两种情况讨论，每种情况下都可以用底和高表示三角形的面积，由此得到直线CP 的解析式，然后与抛物线解析式联立，即可求出点P 坐标.

{答案}解： （1）∵OB=OC ，C （0，3） ∴B （3，0）

把A(-1，0)，B （3，0），C （0,3）代入y a x 2

b x

c 中，得

c 3a b c 09a 3b c 0 解得： a 1

b 2

c 3

∴二次函数的解析式为y

x

2

2x 3

（2）如图22-1，把点C 沿y 轴向下平移1个单位长度，得到点C ，

0 2

∵DE=1且DE ∥C C

，

∴四边形C C ，

E D 为平行四边形，CD C ，

E

∵直线x=1为抛物线的对称轴，点A 、B 关于直线x=1对称 连接C

，

B 交直线x=1于点E ，

∴BE=AE ，此时AE CD BE C ，E B C

，

，根据两点之间，线段最短，得B C

，

为

AE+CD 之和的最小值，B C

，

22

32

13，

又∵AC 1 32

10，DE=1

图22-1

，C

∴四边形CAED的周长的最小值为1310+1.

（3）设直线CP与x轴的交点为点Q,点P的坐标为（x，y）过点P作PH⊥x轴于点H,

∴S

△A C P S

△A C Q

S

△A P Q

1

2

A Q O C1

2

A Q P H

1

2

A Q3y

∴S

△B C P S

△B C Q

S

△B P Q

1

2

B Q O C1

2

B Q P H

1

2

B Q3y

∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，下面分两种情况谈论：

①当S△ S△ 时，即

1

2

A Q3 y

1 2 B Q3 y

3

5

得A Q

B Q

3

5

∵AB =4，∴AQ=3

2∴Q1

2

，0

设直线CQ的解析式为y kx b

得1

2

k b0

b3

解得

k6

b3

∴直线CQ的解析式为y

又∵点P为直线CQ与抛物线的交点

联立

y6x3

y x22x3

解得

x8

y45

或

x0

y3

∴点P的坐标为（8,-45）

②当S△ S△ 时，即

1

2

A Q3 y

1 2 B Q3 y

5

3

得A Q

B Q

5

3

∵AB =4，∴AQ=5

2∴Q3

2

，0

设直线CQ的解析式为y kx b

得3

2

k b0

b3

解得

k2

b3

∴直线CQ的解析式为y2x3

又∵点P为直线CQ与抛物线的交点

联立

y2x3

y x22x3

解得

x4

y5

或

x0

y3

（舍）

∴点P的坐标为（4,-5）

综上所述，点P的坐标为（8，-45）或（4，-5）. {分值}9

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {难度: 4-较高难度}

{类别:高度原创}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:线段公理}

{考点:三角形的面积}

{考点:最短路线问题}

{考点:平移的性质}

{题目}23．如图，在平面直角坐示系中，点(3,0)A 、(3,0)B -、(3,8)C -,以线段BC 为直

径作圆，圆心为点E ,线段AC 交⊙E 于点D ,连接OD . (1)求证：直线OD 是⊙E 的切线；

（2）点F 为x 轴上的一个动点，连接CF 交⊙E 于点G ，连接BG . ① 当1

tan 7

ACF ∠=时，直接写出所有符合条件的点F 的坐标 ② 试求BG

CF 的最大值；

{解析}本题考查了圆、三角函数、相似、勾股定理的相关知识。所涉及的方法有：数形结合、分类讨论、方程思想。

（1）连接DE 、DB,证∠EDB=∠EBD, ∠ODB=∠OBD,从而得到∠EDO=∠EBO=90

°,即可证明切线。 （2）问题①分两种情况：点F 位于AB 上；点F 位于BA 的延长线上求解。本题的关键是求AF 的长度，将角度的正切值转化为线段比去对应求解，故应把∠ACF 放在直角三角形中，过点F 1作F 1N ⊥AC,利用三角函数及相似求出AF 长度即可。

问题②最值问题最好是利用相似比例问题去转化，会减少计算量；此题如果用代数解法，则对同学们的计算能力要求高些，或利用高中的相关公式（倍角公式或基本不等式）进行秒杀也是可以的。

{答案}

（1）证明：连接DE 、DB ，则： ∵BC 为直径 ∴∠BDC=90° ∴∠BDA=90° ∵OA=OB ∴OD=OB=OA

∴∠OBD=∠ODB ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB ∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB

即: ∠EBO=∠EDO

∵CB⊥x轴

∴∠EBO=90°

∴∠EDO=90°

∵D点在OE上

∴直线OD是⊙E的切线

（2）如图1，当F位于AB上时：作F1N⊥AC于点N，

∵△ANF1∽△ABC

∴

11

NF AF AN

AB BC AC

==

∴设AN=3x,则N F1=4x, AF1=5x ∴CN=CA-AN=10-3x

∴

1

41 tan

1037

F N x

ACF

CN x ∠===

-

解得：

10

31 x=

∴1

50 5

31

AF x

==

1

5043 3

3131

OF=-=

即1

43 (,0) 31

F

如图2，当F位于BA的延长线上时：∵△AMF2∽△ABC

∴设AM=3x,则MF2=4x, AF2=5x

∴CM=CA+AM=10+3x

∴

2

41 tan

1037

F M x

ACF

CM x ∠===

+

解得：

2

5 x=

∴AF2=5x=2 OF2=3+2=5

即 F2 (5,0)

(3)方法1：

△CBG∽△CFB

∴BG BC CG BF CF BC

==

2

BC CG CF

=?

x

2

BC CF CG =

222CG BG BC += 222BG BC CG =-

22222

42

22(64)64BG BC CG CG CG BC CF CG --?==

BG CF =

令

22

(64)y CG CG =- 4264y CG CG =-+

42(64)y CG CG =-- 222[(32)32]y CG =---

222(32)32y CG =--+

当

232

CG =时，

2max 32y =

此时CG =max 321(

)642BG CF ==

方法2：

如图，作GM ⊥BC 于点M,

∵∠MBG+∠BCG=∠CFB+∠BCG ∴∠MBG=∠CFB ∴△MBG ∽△BFC

∴

8BG MG MG

CF BC == (相似三角形对应边上的高的比等于相似比) ∵MG ≤半径=4

∴41

882BG MG CF =≤= ∴BG CF 的最大值为12

方法3： ∵BC 为直径

∴∠CGB=∠CBF=90°

∴∠CBG=∠CFB(记为a,其中0°

则：

cos11

sin cos sin2

22 sin

BG BC a

a a a

BC

CF

a

?

==?=≤

∴BG

CF的最大值为

1

2

{分值}9

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:5-高难度}

{类别:高度原创}

{考点:切线的判定}

{考点:直角三角形斜边上的中线}

{考点:等边对等角}

{考点:等角对等边}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质}

{考点:勾股定理}

{考点:正切}

{考点:三角函数的关系}

{考点:求二次函数的函数值}