(完整版)将军饮马问题的九种变形与习题
关于将军饮马问题的九种变形【探索 1】如图，在 l 上找一点 P，使 PA＋PB 最小。
【探索 2】如图，在 l 上找一点 P，使 PA＋PB 最小。
【探索 3】如图，在 l 上找一点 P，使|PA－PB|最大。
【探索 4】如图，在 l 上找一点 P，使|PA－PB|最大。
【探索 5】如图，在 l 上找一点 P，使|PA－PB|最小。
【探索 6】如图，点 P 在锐角∠AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 D，在 OA 边上求作一点 C，使△ PCD 的周长最小。
【探索 7】如图，点 P 在锐角∠AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 D，在 OA 边上求作一点 C，使 PD＋CD 最小。
【探索 8】如图，点 C、D 在锐角∠AOB 的内部，在 OB 边上求作一点 F，在 OA 边上求作一点 E，使四边形 CEFD 周长最小。
【探索 9】A、B 与直线 l 的位置关系如图，在直线 l 上找到 M、N 两点，且 MN＝10，M 在 N 的左边，使四边形 ABMN 的周长最短。
习题练习
1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，丐AE = 2，
求EM+EC 的最小值
2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，M、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB 上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值
4、如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，丐DM＝2，N 是AC 上的一动点，DN＋MN 的最小值为_________。即在直线AC 上求一点N，使DN+MN 最小
5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为
6、在边长为2 ㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
7、如图，四边形ABCD 是正方形，AB = 10cm，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；
模拟检测
1．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边
BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AE PQ的周长取最小值时，四边形AEPQ
的面积是
2.如图，在矩形OABC 中，已知A ，C 两点的坐标分别为A （4，0），C （0，2），D 为OA 的中点．设点P 是∠AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，求P 的坐标；
（3）已知E （1，﹣1），当点P 运动到何处时，△PDE 的周长最小？求出此
时点P 的坐标和△PDE 的周长．
8.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交
x 轴,y 轴于A ，B 两点，点C 为0B 的中点,点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形.动点P 从点C 出发,沿线段CD 向终点D 运动，过点P 作PH 丄OA ，垂足为H.点Q 是点B 关于点A 的对称点，求BP+PH+HQ 的最小值.
9.如图,在五边形ABCDE 中, οο90,120=∠=∠=∠E B BAE ,AB=BC,AE=DE,在BC, DE 上分别找一点M,N,使得△AMN 的周长最小时，求ANM AMN ∠+∠的度数.
43
4+=x y
10.如图，点A （a,1）,B （-1，b ）都在双曲线 上，点P ，Q 分别是x 轴，y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，求PQ 所在直线的表达式.
11.如图,四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD(不含B 点）上任意—点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN, 连接EN,AM,CM.当AM+BM+CM 的最小值为13+时，求正方形ABCD 的边长.
2．已知点A （3，4），点B 为直线x=-1上的动点，设B （-1，y ）．
（1）如图1，若点C （x ，0）且-1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B 的坐标为（-1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF=1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，
四边形ABEF 的周长最
小？求出此时点E 的坐
标．
)0(3
<-=x x
y