2019年浙江台州中考数学试卷(含解析)

2019年浙江省台州市初中学业水平考试

数 学

(满分150分,考试时间120分钟)

一、选择题:本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对

得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分

1．(2019浙江台州,1题,4分)计算2a －3a,结果正确的是( ) A.－1 B.1 C.－a D.a 【答案】C

【解析】合并同类项,相同的字母不变,系数相加减,2a －3a ＝－a,故选C. 【知识点】整式的加减运算

2．(2019浙江台州,2题,4分)如图是某几何体的三视图,则该几何体是( ) A.长方体 B.正方体 C.圆柱 D.球

第2题图

【答案】C 【解析】圆柱从正面看是长方形,从左面看底面是圆形,从上面看是长方形,符合图示的三视图 【知识点】几何体三视图

3．(2019浙江台州,3题,4分)2019年台州市计划安排重点项目344个,总投资595 200 000 000元.用科学记数法可

将595 200 000 000表示为( ) A.5.952×1011 B.59.52×1010 C.5.952×1012 D.5952×109 【答案】A

【解析】595 200 000 000＝5.952×1011,故选A. 【知识点】科学记数法

4．(2019浙江台州,4题,4分)下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )

A.3,4,8

B.5,6,10

C.5,5,11

D.5,6,11 【答案】B

【解析】组成三角形的三边符合任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,只有B 符合. 【知识点】三角形三边关系

5．(2019浙江台州,5题,4分)方差是刻画数据波动程度的量,对于一组数据x 1,x 2,x 3,…,x n ,可用如下算式计算方差：

()()()()2222

212315555n s x x x x n ??=-+-+-+???+-?

?其中"5"是这组数据的( )

A.最小值

B.平均数

C.中位数

D.众数 【答案】B

【解析】方差反应的是一组数据的离散程度,故选B. 【知识点】方差

6．(2019浙江台州,6题,4分)一道来自课本的习题：

小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数x,y已经列出一个方程

54

3460

x y

+=,则另一个方程正确的是( )

A.

42

4360

x y

+= B.

42

5460

x y

+= C.

42

4560

x y

+= D.

42

3460

x y

+=

【答案】B

【解析】从方程

54

3460

x y

+=可以得到上坡的路程为xkm,平路的路程为ykm,且返程上坡成为了下坡,故方程为42

5460

x y

+=,故选B.

【知识点】二元一次方程组

7．(2019浙江台州,7题,4分)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )

A.23

B.3

C.4

D.43

-

第7题图

【答案】A

【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,

又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO＝3OA,

又∵在Rt△AOB中,2243

AO AB OB

=-=,∴OD＝23,故选A.

第7题答图

【知识点】切线的性质,角平分线的判定,三角函数,勾股定理

8．(2019浙江台州,8题,4分)如图,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB＝EF＝2cm,BC＝FG＝8cm,把纸片ABCD 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下

坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min,甲地到乙地全程是多少？

交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形时,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角α最小时,tanα等于( )

A.1

4

B.

1

2

C.

8

17

D.

8

15

【答案】D

【解析】当点B与点E重合时,重叠部分为平行四边形且α最小,

∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM＝x,∴EM＝MD＝8－x,EF＝2,

在Rt△EFM中,EF2+FM2＝EM2,即22+x2＝(8－x)2,解之得:x＝15

4

,∴tanα＝

EF

FM

＝

8

15

,故选D.

【知识点】矩形,菱形,勾股定理,三角函数

9．(2019浙江台州,9题,4分)已知某函数的图象C与函数

3

y

x

=的图象关于直线y＝2对称.下列命题:①图象C与

函数

3

y

x

=的图象交于点(

3

2

,2);②点(

1

2

,－2)在图象C上;③图象C上的点的纵坐标都小于4;④A(x1,y1),B(x2,y2)是

图象C上任意两点,若x1>x2,则y1>y2.其中真命题是( )

A.①②

B.①③④

C.②③④

D.①②③④【答案】A

【解析】令y＝2,得x＝3

2

,这个点在直线y＝2上,∴也在图象C上,故①正确;令x＝

1

2

,得y＝6,点(

1

2

,6)关于直线y

＝2的对称点为(1

2

,－2),∴点(

1

2

,－2)在图象C上,②正确;经过对称变换,图象C也是类似双曲线的形状,没有最大

值和最小值,故③错误;在同一支上,满足x1>x2,则y1>y2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.

【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性

10．(2019浙江台州,10题,4分)如图是用8块A性瓷砖(白色四边形)和8块B型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼接而成的一个正方形图案,图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为( )

A.2:1 B3:2 C.3:1 D.2:2

第10题图

【答案】A

【思路分析】分割图形,选取一部分进行研究,利用正方形和等腰直角三角形的性质,分别计算白色和黑色部分的面积,进行计算即可.

【解析】如图,是原图的1

8

,过点E作EK⊥AC,作EF⊥BC,∴易证△AEK,△BEF为等腰直角三角形

,设AK为x,则EK＝CF＝DF＝x,AE＝BD＝2x,∴KC＝EF＝()2+1x,∴()()2

11

=212=2+1

22

S EF DC x x x

?=?+?

阴影

,

()()()2

1111

=21222=2+2

2222

S EF BD AC EK x x x x x

?+?=?+?+?+?

空白

,∴

()

()

2

2

2+2

=2

21

x

S

S x

=

+

空白

阴影

故选A.

【知识点】正方形,等腰直角三角形

二、填空题:本大题共6小题,满分30分,只填写最后结果,每小题填对得5分.

11．(2019浙江台州,11题,5分)分解因式：ax2－ay2＝________.

【答案】a(x+y)(x－y)

【解析】因式分解的方法有提公因式法,公式法,ax2－ay2＝a(x2－y2)再用平方差公式继续进行因式分解ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a(x－y)(x+y).

【知识点】因式分解

12．(2019浙江台州,12题,5分)若一个数的平方等于5,则这个数等于________.

【答案】5

±

【解析】∵正数的平方根有两个,且互为相反数,故5的平方是5

±.

【知识点】平方根

13．(2019浙江台州,13题,5分)一个不透明的布袋中仅有2个红球,1个黑球,这些球除颜色外无其它差别,先随机摸出一个小球,记下颜色后放回搅匀,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球颜色不同的概率是________.

【答案】

4

9

【解析】

红1 红2 黑

红1 (红1,红1) (红1,红2) (红1,黑)

红2 (红2,红1) (红2,红2) (红2,黑)

黑(黑,红1) (黑,红2) (黑,黑)

第一次

第二次

共有9种等可能的结果,其中两次摸出小球颜色不同的可能结果有4种,∴P(两次摸出小球颜色不同)＝4 9.

【知识点】概率

14．(2019浙江台州,14题,5分)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC 上,连接AE,若∠ABC＝64°,则∠BAE的度数为________.

第14题图

【答案】52°

【解析】∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D＝180°,∵∠B＝64°,∴∠D＝116°,又∵点D关于AC的对称点是点E,∴∠D＝∠AEC＝116°,又∵∠AEC＝∠B+∠BAE,∴∠BAE＝52°.

【知识点】圆内接四边形,三角形外角定理,对称性

15．(2019浙江台州,14题,5分)砸"金蛋"游戏：把210个"金蛋"连续编号为1,2,3,…,接着把编号是3的整数倍的"

金蛋"全部砸碎……按照这样的方法操作,直到无编号是3的整数倍的"金蛋"为止,操作过程中砸碎编号是"66"

的"金蛋"共________个.

【答案】3

【解析】210÷3＝70∴第一轮后剩下210－70＝140个金蛋;(第一轮有1个)140÷3＝46……3,∴第二轮剩下140－46＝94个金蛋;(第二轮里有一个)94÷3＝31……1,∴第三轮剩下94－31＝63个金蛋;(第三轮里有一个)∵63＜66,∴第四轮没有,∴一共有3个.

【知识点】找规律

16．(2019浙江台州,15题,5分)如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交

直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且

2

3

m

n

=,则m+n的

最大值为________.

第16题图

【答案】25 3

【思路分析】作垂线,构造相似,得到比例式,把m+n用x表示, 通过求二次函数的最值求得m+n的最值.

【解题过程】过点B作BE⊥l1于点E,作BF⊥l3于点F,过点A作AN⊥l2于点N,过点C作CM⊥l2于点M,设AE ＝x,CF＝y,则BN＝x,BM＝y,∵BD＝4,∴DM＝y－4,DN＝4－x,∵∠ABC＝90°,且∠AEB＝∠BFC＝90°,∠CMD

＝∠AND＝90°,易得△AEB∽△BFC,△CMD∽△AND,∴AE BE

BF CF

=,即

x m

n y

=,mn＝xy,∴

AN DN

CM DM

=,即

42=43m x n y -=-,∴y ＝10－32x ,∵2=3m n ,∴n ＝32m,m+n ＝52m,∵mn ＝xy ＝x(10－32x )＝－32x 2+10x ＝32

m 2,当x ＝103时,mn 取得最大值为503,∴32m 2＝503,∴m 最大＝103,∴m+n ＝52m ＝253

.

第16题答图

【知识点】相似三角形,二次函数最值

三、解答题:本大题共8小题,满分90分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(2019浙江台州,17题,8分)计算：()12+131---. 【思路分析】根据二次根式和绝对值的定义进行计算 【解题过程】=23+31+1=33-原式. 【知识点】二次根式,绝对值

18．(2019浙江台州,18题,8分)先化简,再求值：22332121x x x x x -

-+-+,其中x ＝1

2

. 【思路分析】先做减法,后约分,然后代入求值即可.

【解题过程】原式＝

()()22

313332111x x x x x x --==-+--,当x ＝时,原式＝31

x -＝－6. 【知识点】分式计算,因式分解

19．(2019浙江台州,19题,8分)图1是一辆在平地上滑行的滑板车,图2是其示意图,已知车杆AB 长92cm,车杆与脚踏所成的角∠ABC ＝70°,前后轮子的半径均为6cm,求把手A 离地面的高度(结果保留小数点后一位;参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)

第19题图

【思路分析】①以点C 为位似中心,延长AC,BC 至A 1,B 1,使A 1C ＝2AC,B 1C ＝2BC;②过点C 作AC,BC 的垂线,截取A 2C ＝AC,B 2C ＝BC,连接A 2B 2;③点B 的路径为圆弧,半径为BC 的长,圆心角为90°,根据弧长公式可求.

【解题过程】过点A 作AD ⊥BC 于点D,在Rt △ABD 中,AB ＝92,∠B ＝70°,∴AD ＝ABsinB ＝86.48,∴A 离地面高度为86.48+6≈92.5(cm),答：求把手A 离地面的高度92.5cm.

第19题答图

【知识点】三角函数的应用

20．(2019浙江台州,20题,8分)如图1,某商场在一楼到二楼之间设有上,下行自动扶梯和步行楼梯.甲,乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系

h＝－

3

10

x+6,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图2所示.

(1)求y关于x的函数关系式;

(2)请通过计算说明甲,乙两人谁先到达一楼地面.

【思路分析】(1)用待定系数法得到解析式;(2)令函数值为零,求出两人到达一层的时间,比较可得结论.

【解题过程】(1)设y＝kx+b,将(0,6),(15,3)代入

6

315

b

k b

=

?

?

=+

?

,k＝

1

5

-,b＝6,∴y＝

1

5

-x+6.

(2)对于甲:令h＝0,解得,z＝20,对于乙:令y＝0,解得,x＝30,∵20<30,∴甲比乙先到达一楼地面.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式,解一元一次方程

21．(2019浙江台州,21题,10分)安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害,为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动.在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民,就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查,将手机的数据制成如下统计图表.

活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表

类别人数

A 68

B 245

C 510

D 177

合计1000

第21题图

(1)宣传活动前,在抽取的市民中哪一类别的人数最多?占抽取人数的百分之几?

(2)该市约有30万人使用电瓶车,请估计活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数;

(3)小明认为,宣传活动后骑电瓶车"都不戴"安全帽的人数为178,比活动前增加了1人,因此交警部门开展的宣传活动没有效果.小明分析数据的方法是否合理?请结合统计图表,对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法.

【思路分析】(1)比较大小可得C 类最多,进而求出所占百分比;(2)根据样本百分比估计总体中"都不戴"的人数;(3)作出结论应该比较占比大小,不能单纯比较数量得到结论.

【解题过程】(1)由表格数据可知,C 类偶尔戴的市民人数最多,占比为:510

1000

＝51%. (2)

177

300000=531001000

?(人),答:活动前全市骑电瓶车"都不戴"安全帽的总人数为53100人. (3)不合理.∵活动开始前后调查的总人数不同,要比较所占百分比大小才能得到正确结论.活动开展前,"都不戴"占比为

177100%=17.7%1000?,活动开展后,"都不戴"占比为178

100%=8.9%896+702+224178

?+, ∵17.7%>8.9%,所占百分比下降,"每次戴"的比例有6.8%大幅度上升到44.8%,说明活动有效果. 【知识点】统计图,统计表,百分比及应用,样本估计总体

22．(2019浙江台州,22题,12分)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.

(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.

①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;

②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由; (2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假") 如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.

①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( ) ②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;( )

【思路分析】(1)根据定义,利用全等,得到五个内角相等,则可证明其为正五边形;(2)根据已知条件,设法证明6个内奸相等,无法证明,故两个命题均为假命题.

【解题过程】(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,

A:每次戴 B:经常戴 C:偶尔戴 D:都不戴

同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB, ∴五边形ABCDE 是正五边形;

②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y, ∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形; (2)①假命题;②假命题;

【知识点】三角形全等,等边对等角,正多边形

23．(2019浙江台州,23题,12分)已知函数y ＝x 2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(－2,4) (1)求b,c 满足的关系式;

(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b 的值变化时,求n 关于m 的函数解析式;

(3)若该函数的图象不经过第三象限,当－5≤x ≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b 的值.

【思路分析】(1)将点的坐标代入化简可得;(2)将(1)中所得关系代入,可得n 和m 的关系式;(3)根据对称轴进行分类讨论,得到关于b 的方程,解方程,进行取舍后得到b 的值.

【解题过程】(1)将点(－2,4)代入y ＝x 2+bx+c,得4＝(－2)2－2b+c,∴c ＝2b,∴b,c 满足的关系式是c ＝2b. (2)把c ＝2b 代入y ＝x 2+bx+c,得y ＝x 2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),n ＝m 2+bm+2b,且m ＝－2

b

,即b ＝－2m, ∴n ＝－m 2－4m.∴n 关于m 的函数解析式为n ＝－m 2－4m.

(3)由(2)的结论,画出函数y ＝x 2+bx+c 和函数y ＝－x 2－4x 的图象. ∵函数y ＝x 2+bx+c 的图象不经过第三象限,∴－4≤－2

b

≤0. ①当－4≤－

2b ≤－2,即4≤b ≤8时,如图1所示,x ＝1时,函数取到最大值y ＝1+3b,x ＝－2

b

时,函数取到最小值y ＝284b b -,∴(1+3b)－2

84

b b -＝16,即b 2+4b －60＝0,∴b 1＝6,b 2＝－10(舍去);

②当－2<－2b ≤0,即＝≤b<4时,如图2所示,x ＝－5时,函数取到最大值y ＝25－3b,x ＝－2b

时,函数取到最小值y

＝2

84

b b -,

∴(25－3b)－2

84

b b -＝16,即b 2－20b+36＝0,∴b 1＝2,b 2＝18(舍去);综上所述,b 的值为2或6.

第23题答图

【知识点】二次函数的图象和性质,一元二次方程 24．(2019浙江台州,24题,14分)如图,正方形ABCD 的边长为2,E 为AB 的中点,P 是BA 延长线上的一点,连接PC 交AD 于点F,AP ＝FD.

(1)

求

AF

AP

的值; (2)如图1,连接EC,在线段EC 上取一点M,使EM ＝EB,连接MF,求证:MF ＝PF;

(3)如图2,过点E 作EN ⊥CD 于点N,在线段EN 上取一点Q,使AQ ＝AP,连接BQ,BN,将△AQB 绕点A 旋转,使点Q 旋转后的对应点Q'落在AD 上.请判断点B 旋转后的对应点B'是否落在线段BN 上,并说明理由.

第24题图

【思路分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段AF 与FD 的长度,来求解它们之间的比例;(2)通过连接PD,构造全等转化∠3与∠1相等,再利用第一问求得的AP 的长度得到EP ＝EC,从而得到∠1＝∠4,故转化∠3＝∠4,从而证明△PFD ≌△FMC;(3)构造三角形,通过证明相似,求得对应线段长度,进行比较,从而得到结论. 【解题过程】(1)设AP ＝x,则FD ＝x,AF ＝2－x, ∵在正方形ABCD 中,AB ∥CD,∴△PAF ∽△CDF, ∴

AF PF AP FD CF CD ==,∴22

x x

x =,∴242x x =-,∴解得1251,51x x =-=--,

∵x ＞0,∴51x =-,∴()

25151

251

AF FD ---==- (2)连接DP,∵PA ＝DF,∠PAD ＝∠ADC,AD ＝CD,∴△PAD ≌△FDC,∴∠3＝∠2,PD ＝FC, 又∵AB ∥CD,∴∠1＝∠2,又∵EC ＝5,EB ＝EM ＝1,∴MC ＝51-＝FD ＝AP, ∴PE ＝PA+AE ＝51-+1＝5＝EC,∴∠1＝∠4,∴∠4＝∠3,

又∵FD ＝MC,PD ＝FC,∴△PFD ≌△FMC,∴PF ＝FM

(3)如图2,在AD 上取一点Q',使AQ'＝AQ,在BN 上取一点B',使AB'＝AB,连接B'Q',作B'G ⊥AD 于点G,交EN 于点K,∵tan ∠NBE ＝2,AB ＝AB'＝2,∴BB'＝

242=555

′,B'N ＝BN ＝BB'＝155,

∵△NB'K ∽△NBE,∴B'K ＝15,KN ＝25,∴B'G ＝65,DG ＝2

5

,

∴Q'G ＝3－5－25＝

135－

5, 在Rt △B'GQ'中,∠B'GQ'＝90°,利用勾股定理可得B'Q'＝66255

5

-, 而

(

)

2

51-?

66255

5

-, ∴B'Q'≠BQ,∴点B'不在BN 上.

【知识点】相似三角形,一元二次方程,全等三角形,平行线,勾股定理