2015-2016年高二数学(理)上学期期末试卷及答案

2015-2016学年度上学期期末考试

高二数学（理科）试卷

考试时间：120分钟 试题分数：150分

卷Ⅰ

一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的. 1. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程2

2

1mx ny +=的曲线是双曲线”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数

3. 已知椭圆

116

252

2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．7

4 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ?∨? B ．()p q ∨? C ．()()p q ?∧? D ．p q ∨

5. 若双曲线22

221x y a b

-=

A ．2± B. 1

2

± C. D.2±

6. 曲线sin 1

sin cos 2

x y x x =

-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为

12 D. 1

2

-

7． 已知椭圆)0(122222

2>>=+b a b y a x 的焦点与双曲线122

22=-b

x a y 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线2

bx ay =的焦点坐标为 A. )0,4

3

(

B. )0,12

3

(

C. )123,

0( D.)4

3,0( 8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为123,,P P P ，

① ② ③

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则

A. 123P P P ==

B. 123P P P =<

C. 123P P P <=

D. 123P P P <<

9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

10. 设0>a ，c bx ax x f ++=2

)(，曲线)(x f y =在点P （)(,00x f x ）处切线的倾斜角的

取值范围是]4

,

0[π

，则P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为

A. ]1

,0[a

B. ]21

,

0[a

C. ]2,0[a b

D. ]21,0[a b - 11. 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且60POB ∠=?.若对于β内异于

O 的任意一点Q ，都有60POQ ∠≥?，则二面角AB αβ--的大小是

A. 30?

B.45?

C. 60?

D.90?

12. 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图

象上，若△21F AF 的面积为1，且2

1

tan 21=

∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为 A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322

=-y x D ．112

5322=-y x

卷Ⅱ

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面正方形ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为 ． 14. 函数2

()ln '(1)54f x x f x x =-+-，则(1)f ＝________．

15.已知b a ρρ,是夹角为60o

的两单位向量，向量b c a c ρρρρ⊥⊥,，且||1c =r ,c b a y c b a x ρρρρρρρρ-+-=+-=3,2，则>

ρ,cos = .

16. 过抛物线2

2(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为ο

45的直线，与抛物线分别交于A 、B 两

点（A 在y 轴左侧），则

AF

FB

= ． 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)

过点(1,1)-作函数3

()f x x x =-的切线，求切线方程.

18.(本小题满分12分)

已知集合{}|(1)(2)0A x ax ax =-+≤，集合{}|24.B x x =-≤≤ 若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.

19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形,//AD BC ,

90BAD ∠=o ,PA ⊥底面ABCD ，且

2PA AD AB BC ===,,M N 分别为,PC PB 的中点.

（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；

（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．

20. (本小题满分12分)

已知三棱柱'''C B A ABC -如图所示，四边形

''B BCC 为菱形，o

BCC 60'=∠，ABC ?为等边

三角形，面⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点.

（Ⅰ）求证：//EF 面''BC A ；

（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小．

21. (本小题满分12分)

已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率为2

，且椭圆上点到左焦点距离的最小值为

1.

（Ⅰ）求1C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2

2:4C y x =相切，求直线l 的方程.

22. (本小题满分12分)

已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>

过点，直线(1

y k x =-）(0)k ≠与椭圆C 交于不同的两点M N 、,MN 中点为P ，O 为坐标原点，直线OP 斜率为1

2k

-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）椭圆C 的右顶点为A ，当AMN ?

k 的值.

C

x

y

z

2015-2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）参考答案

一．选择题

CDBAC CDABB DB 二．填空题

2

π

1- 5216- 322-

三．解答题

17.解：设切点为3

(,)m m m -，则切线方程为3

2

(31)()y m m m x m -+=--，┅┅┅┅┅┅2分

将点(1,1)-带入，解得0m =或

3

2

， ┅┅┅┅┅┅┅ 8分 所以切线方程为y x =-或234270x y --= ┅┅┅┅┅┅┅10分 18.解：（1）0a >时，

21[,]A a a =-，

若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以21

2,4a a

-≥-≤， 104

a <≤

，检验1

4a =符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4分

（2）0a =时，A R =，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8分

（3）0a <时，12[,]A a a =-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以12

2,4a a

-≥≤-，

102

a -≤<，检验1

2a =-不符合题意.

综上11

(,]24a ∈-.┅┅┅┅┅┅┅12分

19. 解如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，

则 1

(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2

A P

B

C M

D .

（I ） 因为3

(2,0,2)(1,,1)2

PB DM ?=-?-u u u r u u u u r 0=，所以.PB DM ⊥

（II ） 因为(2,0,2)(0,2,0)PB AD ?=-?u u u r u u u r

0=，所以PB AD ⊥，

又因为PB DM ⊥，所以PB ⊥平面.ADMN

因此,PB DC <>u u u r u u u r

的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.

因为cos ,||||

PB DC

PB DC PB DC ?<>=?u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r 105=，

所以CD 与平面ADMN 所成的角的正弦为

5

10 20. （Ⅰ）证明（方法一）取B A '中点D ，连接DC ED ,，因为D E ,分别为B A AB ',中点，所以'//,'2

1

AA ED AA ED =

，┅┅┅┅┅┅┅３分 所以CF ED CF ED //,=，所以四边形EFCD 为平行四边形，所以CD EF //，又因为

BC A CD BC A EF ''面，面??，所以//EF 面BC A '；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取'AA 中点G ，连接FG EG ,， 因为G E ,分别为',AA AB 中点，所以

B A EG '//

又因为G F ,分别为','AA CC 中点，所以

''//C A FG ┅┅┅┅┅┅┅３分

且

G GF EG EFG GF EFG EG =??I ,,面面，

'''',''',''''A B A C A BC A B A BC A C A =??I 面面所以面//EFG 面''BC A ，

又?EF 面EFG ，所以//EF 面BC A '┅┅┅┅┅┅６分 （方法三）取BC 中点O ，连接',OC AO ，

由题可得BC AO ⊥，又因为面⊥ABC 面''B BCC ，

所以⊥AO 面''B BCC ，又因为菱形''B BCC 中o

BCC 60'=∠，所以BC O C ⊥'. 可以建立如图所示的空间直角坐标系 ┅┅┅┅┅┅┅7分 不妨设2=BC ，

可得)0,0,1(C ，)0,3,0('C

)3,0,0(A ，)0,0,1(-B ，)3,3,1('-A ，)0,3,2('-B ，所以)0,2

3

,21(),23,0,21(F E -

所以)3,3,0('),0,3,1('),2

3

,23,

1(==-=BA BC EF ，┅┅┅┅┅┅┅9分 设面BC A '的一个法向量为),,(c b a n =ρ

，则??

?=+=+0

3303c b b a ，不妨取3=a ，则

)1,1,3(),,(-=c b a ，所以0=?n ρ

，

又因为?EF 面BC A '，所以//EF 面BC A '.

┅┅┅┅┅┅┅12分 （Ⅱ）（方法一）

过F 点作'AA 的垂线FM 交'AA 于

M ，连接BF BM ,.

因为'//','AA CC CC BF ⊥，

所以'AA BF ⊥，所以⊥'AA 面MBF ， 所以BMF ∠为二面角B AA C --'的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因为面⊥ABC 面''B BCC ，所以A 点在面''B BCC 上的射影落在BC 上，所以

4

1cos 'cos 'cos =

∠∠=∠ACB BCC ACC ， 所以AC MF ACC ==

∠415'sin ，不妨设2=BC ，所以2

15=MF ，同理可得2

15

=

BM .┅┅┅┅┅┅┅10分 所以532

153

415415cos =

-+=∠BMF ，所以二面角B AA C --'的大小为

5

3

arccos ┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）接（Ⅰ）方法三可得)0,3,1('),3,0,1(-=--=，设面B AA '的一个法向

量为),,(1111z y x n =ρ

，则???=+-=--0

3031111y x z x ，不妨取31=x ，则)1,1,3(),,(111-=z y x .

┅┅┅┅┅┅┅８分

又)0,3,1(),3,0,1(-=-=，设面C AA '的一个法向量为),,(2222z y x n =ρ

，则

??

?=+-=-0

30

32222y x z x ，不妨取32=x ，则)1,1,3(),,(222=z y x .┅┅┅┅┅┅┅１０分 所以5

3

||||,cos 212121=??>=

ρρρρρ，因为二面角B AA C --'为锐角，所以二面角B AA C --'的大小为5

3arccos ┅┅┅┅┅┅┅１2分

21.解：（Ⅰ）设左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，椭圆上点P 满足

,2||||2,2||||2121c PF PF c a PF PF ≤-≤-=+所以,||1c a PF c a +≤≤-P 在左顶点时

||1PF 取到最小值12-=-c a ，又

2

1=a c ，解得1,1,2===b c a ，所以1C 的方程为 1222=+y x .(或者利用设),(y x P 解出x a

c

a PF +=||1得出||1PF 取到最小值12-=-c a ，对于直接说明P 在左顶点时||1PF 取到最小值的，酌情扣分)；

┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）由题显然直线l 存在斜率，所以设其方程为m kx y +=，┅┅┅┅┅┅┅5分

联立其与12

22

=+y x ，得到 0224)21(222=-+++m kmx x k ，0=?，化简得01222=--k m ┅┅┅┅┅┅┅8分

联立其与2

2:4C y x =，得到

04

2

=+-m y y k ，0=?，化简得01=-km ，┅┅┅┅┅┅┅10分 解得2,22==

m k 或2,2

2-=-=m k 所以直线l 的方程为222+=

x y 或22

2

--=x y ┅┅┅┅┅┅┅12分 22. 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1,0），在椭圆内，所以与椭圆一定相交，交点设为

),(),,(2211y x N y x M ，则2121x x y y k --=，OP 斜率为2121x x y y ++，所以21

2

2

212

221-=--x x y y ，┅┅┅┅┅┅┅3分

又1221221=+b y a x ，1222222=+b y a x ，所以02

2

22122221=-+-b

y y a x x ，所以2

22b a =，又 1122

2=+b a ，解得2,42

2==b a ，所以椭圆C 的方程为12422=+y x ；┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）(1y k x =-）与椭圆C 联立得：0424)21(2

2

2

2

=-+-+k x k x k ，┅┅┅┅┅┅┅8分

AMN ?面积为310

21)32(82||||2||||212

2

2121=++=-=-k

k k x x k y y ， 解得1±=k .┅┅┅┅┅┅┅12分