导数及其应用测试题(有详细答案)(文科、整理)

高二数学（文）期末复习题《导数及其应用》

一、选择题 1.

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: (

)

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线

21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为(

)

A. B. C. D.

3．在曲线y ＝x 2

上切线的倾斜角为

π

4

的点是( ) A ．(0,0)

B ．(2,4) C.???

?14，1

16

D.???

?12，14 4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )

A ．a ＝1，b ＝1

B ．a ＝－1，b ＝1

C ．a ＝1，b ＝－1

D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f(x)＝x 3

＋ax 2

＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6. 已知三次函数f(x)＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2

－2m －7)x ＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )

A ．m<2或m>4

B ．－4

C ．2

D ．以上皆不正确 7. 直线

y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为(

)

A ．1-

B ．e

C ．ln 2

D ．1 8. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）

A ．3113≥≤≤--≤k k k

或或

B ．3113<<-<<-k k 或

C ．22<<-k

D ．不存在这样的实数k

9. 10．函数

()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，

则函数

()f x 在(),a b 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 10.已知二次函数

2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．

52 C ．2 D ．32

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数

sin x

y x

=

的导数为_________________ O

x x

x x

y

y

y

y

O

O O

12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f(2)等于____________.

13．函数

2cos y x x =+在区间[0,]2

π

上的最大值是

14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是

15. 已知函数

)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，

0)

()(2

>-'x

x f x f x ）（0>x ，则不等式

0)(2>x f x 的解集是

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 设函数f(x)＝sinx －cosx ＋x ＋1,0

17. 已知函数

3()3f x x x =-.（Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.

18. 设函数

R x x x x f ∈+-=,56)(3.（1）求)(x f 的单调区间和极值；

（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.

（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.

19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<（1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间； （3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =--（I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；

（II ）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且AB 的中点为0(,0)C x ，求证：0'()0.f x <

21. 已知函数

2

(),()2ln (x f x g x a x e e

==为自然对数的底数） （1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()

F x 有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切

线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

高二数学（文）期末复习《导数及其应用》参考答案

题号 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A

D

A

D

D

D

B

A

C

二、填空题：11.

2

'y x =

；12. 18 13.36

+π

； 14.}0|{

4)＋1 (0

令f′(x)＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3

2

π.

x ，f′(x)以及f(x)x (0，π) π (π，32π)

32π (3

2

π，2π) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋

f(x)

递增

π＋2

递减

3π

2

递增

∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(2π，2π)单调减区间为(π，2π)．f 极大(x)＝f(π)＝π＋2，f 极小(x)＝f(32π)＝3π

2.

17. 解：（Ⅰ）

33(2-='x x f ），所以9)2(='f .

（Ⅱ）

2()33f x x '=-，解()0f x '>，得1x >或1x <-.解()0f x '<，得11x -<<.

所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间.

18. 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分

∴当22()0;22,()0x x f x x f x ''<->>-<<<或时,当时，…………………2分

∴

)(x f 的单调递增区间是(,2)(2,)-∞-+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x

；当245)(,2-=有极小值x f x .…………4分

（2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略）

∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点，……6分

即当542542a -<<+时方程α=)(x f 有三解. …………………………………7分

（3）

)1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. 令5)(2-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数，

∴,3)1()

(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分

19. 解：（1）2

'()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f =

即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+

（2）由（1）知，22

'()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m

=-+++=--+ 当0m <时，有2

11m

>+

，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表： x 2(,1)m -∞+ 21m + 2

(1,1)m

+

1

(1,)+∞

故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m

+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得'()3f x m >，即22(1)20mx m x -++>又0m <，所以222

(1)0x m x m m

-++<，即

222

(1)0,[1,1]x m x x m m

-++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以

22(1)0120(1)010

g m m g ?

-<+++

?

03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3- 20.（1）由题意：

bx x x x f -+=2ln )(，Θ)(x f 在),0(+∞上递增，∴021

)(≥-+=

'b x x

x f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x b 21+≤

对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min )21

(x x

b +≤， 0>x Θ，∴

2221

≥+x x

，当且仅当22=

x 时取“=”，∴22≤b

，∴b 的取值范围为)22,(-∞

（2）由已知得，???=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ????-=-=2

2

221

211ln ln bx ax x bx ax x ，两式相减，得：

)())((ln

21212121x x b x x x x a x x -+-+=?])()[(ln 212121b x x a x x x x ++-=，由b ax x

x f -+='21

)(及2102x x x +=，得：])([2

21)(22

11000b x x a x x b ax x x f ++-+=--=

'2111ln 1222x x x x x x +-+=

]ln )(2[12111122

2x x x x x x x x -+--=]ln )1()

1(

2[1212

121

12x x x x x x x x -+--=，令)1,0(21∈=x x t ，

且t t t t ln 122)(-+-=?)10(<

2

<+--='t t t t ?，∴)(t ?在)1,0(上为减函数， ∴0)1()(=>??t ，又21x x <，∴0)(0<'x f

21. 解：（1）3222()

()()(

)(0)x a x ea F x f x g x x e x ex

-'''=-=-=>①当0

,()0a F x '≤>时

恒成立

()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……

3分

②当0a >

时，()0)F x x =

>，

若0x <<()0,()F x F x '<在上单调递减；

若x

>()0,())F x F x '>+∞在上单调递增，

x ea ∴=当时，()F x 有极小值，也是最小值，即min ()()2ln ln F x F ea a a ea a a ==-=-

所以当0a

>时，()F x 的单调递减区间为(0,)ea ，单调递增区间为(,)ea +∞，最小值为ln a a -，无最大值

（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，

则方程

()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点

由（1）的结论可知min

()ln 01F x a a a =-==得

此时，2

()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ min ()()0F x F e ==

()()1,()()f e g e f x g x ∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e

又()()f e g e e

''==

Q

()()f x g x ∴与的图象在点(,1)e 处有共同的切线，

其方程为

1()y x e e

-=-，即1y x e

=-

综上所述，存在a 1=，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点(,1)e ，且在该点处的公切线方程为

1.y x e

=

-

方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ，根据题意得???==)()()()(0'

0'00x f x f x g x f 即2

002ln 22x a x e

x a

e

x ?=????=??由②

得2

x a e

=

，代入①得0

21

ln ,2x x e =

∴=

从而1a = 此时由（1）可知min ()()0F x F e == 0x x e ∴>≠当且时，()0,()()F x f x g x >>即

因此除0

x e =外，再没有其它0x ，使00()()f x g x =

故存在1a =，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为

(,1)e ，公切线方程为1y x e =

-