解直角三角形中考经典专题
第一章复习题（一）
1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，
452AOC OC ∠==°，，则点B 的
坐标为（ ）A ．(21)，
B ．(12)，
C ．(211)+，
D ．(121)+，
2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5
4
A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm ；
②EB=1cm ； ③2
ABCD 15S cm =菱形．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25
B ．253
C ．
1003
3
D ．25253+
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=
5
4
，BC
＝10
，则
AB
的值是（
） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为（ ） （A ）
km 3
3
10 （B ）km 335 （C ）km 25 （D ）km 35 6. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5
1
，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1
7. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2
2
5
8. 如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且
21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ．
4
33
C ．23
D ．43 x
y O C B
A
B
C
A
D l
A B C D
E
9. 小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米。 10. 海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离 .
11. 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．
12. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为 .
13．在Rt △ABC 中，∠C =90°，
AM 是BC 边上的中线，5
3
sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 ．
14. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC
△如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是
.
15. 将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为
.
16. 如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．
17.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米。
P
A B C
30° 60°
北
6 8 C
E
A
B
D
A
C (B ′) B
A ′
C ′
A
E
C (F )
D
B
图（1）
E
A G
B
C (F ) D
图（2）
18. 如图，从热气球C 上测得两建筑物A ．B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A ．D ．B 在同一直线上，建筑物A ．B 间的距离为 ．
19. 计算：（1）|2-|o 2o 12sin 30(3)(tan 45)-+--+ （2）|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0
+
+；
20. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）
（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010
≈≈≈≈，，，）
21. 某学生想测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°．请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．
22. 某抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，B 村的俯角为60?．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）
Q
B C
P A
450
60?
30?
A
B
C D
E
F
60°
30°
A
B
C
D
23. 如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．
24. 如图，线段AB DC 、分别表示甲．乙两建筑物的高，AB BC DC BC ⊥，⊥，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高36AB =米． （1）求乙建筑物的高DC ；
（2）求甲．乙两建筑物之间的距离BC （结果精确到0.01米）． （参考数据：2 1.4143 1.732≈，≈）
25. 某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 、C ，在B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米。求小河的宽度(结果保留根号).
26.某中学数学活动小组，为测量数学楼后面的山高AB ，用了如下的方法.如图所示，在教学楼底C 处测得山顶A 的仰角为60°，在教学楼顶D 处，测得山顶A 的仰角为45°.已知教学楼高CD =12米，求山高AB .（参考数据 3 =1.73， 2 =1.41，精确到0.1米，化简后再代入参考数据运算）
α β
D
乙
C
B A
甲
A
北 C 北
B 南 西 西 东
东 南
2019中考数学解直角三角形汇编
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）
的
4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)
(完整版)解直角三角形超经典例题讲解
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为 用字母α表示,则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案 【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （?内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O, 根据网格的特点,CD⊥AB, 在Rt△AOC中,
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
解直角三角形中考题型
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
解直角三角形练习题及答案
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
解直角三角形 中考经典专题
第一章复习题（一） 1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，，则点B 的 坐标为（ ）A ．(21)， B ．(12)， C ．(211)+， D ．(121)+， 2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，5 4 A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2 ABCD 15S cm =菱形． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25 B ．253 C ． 1003 3 D ．25253+ 4. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA= 5 4 ，BC ＝10 ，则 AB 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为（ ） （A ） km 3310 （B ）km 3 3 5 （C ）km 25 （D ）km 35 6. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5 1 ，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 7. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5 8. 如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且 21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． 4 33 C ．23 D ．43 x y O C B A B C A D l A B C D E
中考数学专题练习解直角三角形
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
解直角三角形知识点及典型例题
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
2019年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形(含详细参考答案)
2019年中考数学专题复习 第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
三、解直角三角形： 1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形 2、解直角三角形的依据： Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c ⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯 角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面 与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l 。 ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA 表示 OB 表示 铅直 水平线 视线
九年级解直角三角形中考题
解直角三角形 练习1、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 2、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1： 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH； （2）求广告牌CD的高度． （测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732） 3、兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一条小船垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角为∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4:3，坡长AB=8米，求此时小船C到岸边的距离AC的长
4、在1998年的特大洪水期间，为了加固一段大堤，需运来沙石和土将大堤堤面加宽1米，使背水坡的坡度由原来的1：2变为1：3,已知原来背水坡的坡长为BC=15米，堤长100米，那么需要的沙石和土多少方？ 5、如图，某县为了加固长90米，宽5米，坝顶宽4米的迎水坡和背水坡的坡度都是1:1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡的坡度改为1:1.5，已知坝顶宽不变，要求大坝横截面的面积增加了多少平方米？共要填充多少立方米的土？ 6、（2013?眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：． （1）求加固后坝底增加的宽度AF； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
解直角三角形练习题1(含答案)
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式 中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
中考专题：解直角三角形
（2007年泸州）21．某海滨浴场的海岸线可以看作直线l （如图6），有两位救生员在岸边的点A 同时接到了海中的点B （该点视为定点）的呼救信号后，立即从不同的路径前往救助。其中1号救生员从点A 先跑300米到离点B 最近的点D ，再跳入海中沿直线游到点B 救助；2号救生员先从点A 跑到点C ，再跳入海中沿直线游到点B 救助。如果两位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，且∠BAD=450，∠BCD=600，请问1号救生员与2号救生员谁先到达点B ？ （10四川泸州）19.如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高I0米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固。并使上底加宽3米，加固后背水坡EF 的坡比i=1：3。 (I)求加固后坝底增加的宽度AF ； (2)求完成这项工程需要土石多少立 方米?(结果保留根号) （2011四川泸州，25，7分）如图，一艘船以每小时60海里的速度自A 向正北方向航行，船在A 处时，灯塔S 在船的北偏东30°，航行1小时后到B 处，此时灯塔S 在船的北偏东75°，（运算结果保留根号） （1）求船在B 处时与灯塔S 的距离； （2）若船从B 处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与 灯塔S 的距离最近． 19．(2008年泸州市)如图6，在气象站台A 心，该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东o 60的BD 130km 内的地方都要受到其影响。 ⑴台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是多少？ ⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响， 求台风影响气象台的实践会持续多长？ B C D E F 45 图5 1:3 i 北 60o 东 D C B A 图6
2019中考试题分类——解直角三角形
2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，
中考数学复习专题七：解直角三角形
中考数学复习专题7 解直角三角函数 一、知识点回顾 1、锐角∠A 的三角函数（按右图Rt △ABC 填空） ∠A 的正弦：sin A = , ∠A 的余弦：cos A = , ∠A 的正切：tan A = , ∠A 的余切：cot A = 2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）； 3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A ＜ ； ＜cos A ＜ 4、tan A ?cot A = ； tan B ?cot B = ； 5、sin A = cos （90°- ）； cos A = sin （ - ） tan A =cot （ ）； cot A = 6、填表 7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90° 3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ； cos A = ； cos B = ； tan A = ； tan B = ； cot A = ；cot B = 8、图中角 可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（h ）和 长度（l ）的比。 记作i ,即i = ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝ l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 （1）
二、巩固练习 （1）、三角函数的定义及性质 1、在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为 2、在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____, cos ==A B ； 3、Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B 4、在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos 5、已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13 5 == BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中,,900=∠C 3 5 tan ,3= =B BC ，那么.________ =AC 7、已知32sin -=m α，且a 为锐角，则m 的取值范围是 ； 8、已知：∠α是锐角，?=36cos sin α，则α的度数是 9、当角度在?0到?90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 10、当锐角A 的2 2 cos >A 时，∠A 的值为（ ） A 小于?45 B 小于?30 C 大于?45 D 大于?60 11、在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（ ） A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定 12、已知α∠为锐角，若0 30cos sin =α，αtan ＝ ；若1t an 70tan 0 =?α，则_______=∠α； 13、在△ABC 中,,900 =∠C sin 2 3 = A , 则cos B 等于( ) A 、1 B 、 23 C 、2 2 D 、21 （2）、特殊角的三角函数值 1、在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900，∠A=450 则A sin = 2、已知：α是锐角，22 1 cos = α，tan α=______；
《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
2018中考数学解直角三角形在实际问题中的运用含答案
D A B C E F 解直角三角形在实际问题中的运用 要点一：锐角三角函数的基本概念 1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 12 13 ． （1）求半径OD ； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？ 2.（綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． 3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A = 5 4 ，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值． O E C D
4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12 sin 13 C = ，BC =12，求AD 的长． 要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ） A 3 B 2 C ． 12 D 3 2.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 452AOC OC ∠==°，B 的坐标为（ ） A ．(21)， B ．2)， C ．211)， D ．(121)， 3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．3 C 83米 D ．43 3 米 4.宿迁中考）已知α为锐角，且2 3 )10sin(= ?-α，则α等于（ ） Ａ．?50 Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）