常微分方程练习试卷与答案.doc

精品

常微分方程练习试卷

一、填空题。

1. 方程x3 d2x1 0 是阶（线性、非线性）微分方程 .

dt 2

2. 方程 x dy f (xy) 经变换_______，可以化为变量分离方程.

y dx

3. 微分方程 d 3 y y2 x 0 满足条件 y(0) 1, y (0) 2 的解有个.

dx3

4. 设常系数方程y y y e x的一个特解y*( x) e2 x e x xe x，则此方程的系数

，，.

5. 朗斯基行列式 W (t) 0是函数组 x1(t ), x2 (t ),L , x n (t) 在a x b 上线性相关的

条件 .

6. 方程 xydx (2 x2 3y2 20) dy 0 的只与y有关的积分因子为.

7. 已知 X A(t ) X 的基解矩阵为(t) 的，则 A(t ) .

8. 方程组 x ' 2 0

．0

x 的基解矩阵为

5

9.可用变换将伯努利方程化为线性方程 .

10 . 是满足方程 y 2y 5y y 1 和初始条件的唯一解 .

11. 方程的待定特解可取的形式 :

12.三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特征根是

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0) 的连线相互垂直 .

dy x y 1

2 ．求解方程.

dx x y 3

精品

3. 求解方程 x d 2

x

( dx )2

。

dt

2

dt

4 ．用比较系数法解方程 .

.

5 ．求方程 y

y sin x 的通解 .

6 ．验证微分方程 (cos x sin x xy 2 )dx y(1 x 2 )dy

0 是恰当方程，并求出它的通解 .

7 ．设 A

3 1 ，

1

A X 的一个基解基解矩阵

(t) ，求

dX

A X

2

4

，试求方程组

dX

1

dt

dt

满足初始条件 x(0)

的解 .

8. 求方程 dy 2x 1 3y

2

通过点 (1,0) 的第二次近似解 .

dx

dy 3

dy

2

9. 求 (

dx )

4xy dx 8y 0

的通解

2 1 试求方程组 x

Ax 的解 (t ), (0)

, 并求 expAt

10. 若

A

4 1

1

2

三、证明题

1. 若

(t), (t) 是 X

A(t ) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C ，使得 (t)

(t)C .

2. 设

( x) (

x 0 , x

) 是积分方程

x

y( x) y 0

[ 2 y( )

]d , x 0 , x [ , ]

x 0

的皮卡逐步逼近函数序列 {

n (x)} 在 [ ,

] 上一致收敛所得的解， 而 (x) 是这积分方程在 [

, ] 上的

连续解，试用逐步逼近法证明：在

[ , ] 上 ( x)

( x) .

3. 设

都是区间 上的连续函数 , 且

是二阶线性方程

的一个基本解组 . 试证明 :

(i) 和都只能有简单零点 (即函数值与导函数值不能在一点同时为零 ); (ii)

和没有共同的零点 ;

(iii)和没有共同的零点.

4.试证：如果(t ) 是dX

AX 满足初始条件 (t 0 ) 的解，那么 (t ) exp A(t t 0 ) dt

.

答案

一. 填空题。

1. 二，非线性

2. u xy， 1 du 1

dx 3.无穷多 4.3,2,1

u( f (u) 1) x

5.必要

6. y3

7. (t) 1 (t )

8. e At e2 t 0

9.

0 e 5t

10.11.

12.1,

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0) 的连线相互垂直 . 解: 设曲线方程为, 切点为 (x,y), 切点到点 (1,0) 的连线的斜率为, 则由题意

可得如下初值问题 :

.

分离变量 , 积分并整理后可得.

代入初始条件可得, 因此得所求曲线为.

2.求解方程

dy

x y 1 dx

x y .

3

解：由

x

y 1 0, 求得 x 1, y

2

x 1,

令

2,

x y 3 0

y

则有

d

.令 z

，解得

(1

z)dz d ,积分得 arctan z 1

ln(1 z 2

) ln | | C , d

1 z 2

2 故原方程的解为 arctan

y

2

ln (x

1)2 ( y

2)2

C .

x

1

3. 求解方程 x d 2 x ( dx 2

dt 2 )

dt

解 令 ，直接计算可得 ，于是原方程化为

，故有

或

，积分后得

，即

，所以

就是原方

程的通解，这里

为任意常数。

4.用比较系数法解方程 .

.

解：特征方程为

, 特征根为

.

对应齐方程的通解为

.

设原方程的特解有形如

代如原方程可得

利用对应系数相等可得

, 故 .

原方程的通解可以表示为 (

是任意常数 )

.

5.求方程 y

y sin x 的通解 .

解：先解 y

y 得通解为 y

ce x ,

令 y c( x) e x 为原方程的解，

代入得 c ( x)e x c( x)e x c( x)e x sin x ,

即有 c (x) e x sin x ,

精品

积分得 c( x)

1

e x

(sin x cos x) c ,

所以 y ce x

1

(sin x cos x) 为原方程的通解 .

2

2

6 ．验证微分方程 (cos x sin x xy 2 )dx y(1 x 2 )dy 0 是恰当方程，并求出它的通解 .

解：由于 M (x, y) cos xsin x xy 2 , N ( x, y)

y(1 x 2

) ，因为

M

2xy

N

所以原方程为恰当方程 .

y

x

把原方程分项组合得 cos x sin xdx

(xy 2dx yx 2dy ) ydy 0 ,

或写成 d( 1

sin 2

x) d ( 1

x 2 y 2

) d (1

y 2 )

0 , 故原方程的通解为 sin 2 x x 2 y

2

y 2 C .

2

2

2

3

1 ，

1

，试求方程组

dX

A X 的一个基解基解矩阵

(t) ，求

dX

A X

7．设 A

4

2

1

dt

dt

满足初始条件 x(0) 的解 .

解：特征方程为 det(A

E )

3 1 ( 2)(

5) 0,

2

4

求得特征值

1

2,

2

5,对应 1

2,

2

5的特征向量分别为

V 1

1 1

, ( ,

0).

,V 2

1

2

可得一个基解矩阵

e 2t

e 5t

. ，又因为

1

(0)

1 2

1

(t)

2t

2e 5t

3 1

，

e

1

2t

5 t

2

1 1

2t

于是，所求的解为 (t )(t )

1

(0) 1 e e

1 e 2e

1 1

3

e 2t

2e 5 t

13

e 2t

4e

5t

5t 8. 求方程

dy

2x 1 3y 2 通过点 (1,0) 的第二次近似解 .

dx

解: 令

0 ( x) 0 ，于是

1( x) y 0 x 02 ( x)]dx x 2

[2 x 1 3 x,

2 (x)

y 0

1

1 3 1

2 (x)]dx 1 x x 2 x 3

3 x

4 3 x

5 ,

[2 x

x

1

10 2 5

( dy ) 3 dy 8 y 2

dx

4xy

9. 求

dx

的通解

精品

dy 3

8y

2

x

dx

p 3 8 y

2

4 y

dy

dy

p

x

4 yp （*），

解：方程可化为

dx ，

令 dx

则有

2y( p 3

2

dp p(8y 2

3

2

p

4y

) p )

4y

（*）两边对 y 求导得

dy

，

( p 3 4 y 2)(2 y dp p)

2 y

dp

p

1

y

( p

)2

即

dy

，由

dy

得

p

cy 2

，即

c .

c

2

2 p

将 y 代入（ * ）得

x

c 2 ，

4

x c 2

2 p

4 c 2

y ( p 2

) ，p 为参数；

即方程的 含参数形式的通解为： c

又由 p

3

1

代入（ *）得

y

4

3

4 y 2 0 得 p (4 y 2) 3 27 x

也是方程的解 .

2 1

10. 若

A

4 试求方程组

x

Ax 的解 (t ), (0)

1 , 并求 expAt

1

2

p(

2

1

2

6 9 0

)

3

，此时

k=1,

n 1 2

。

解：特征方程

1

4

，解得

1,2

1

2

v

1 t

i

1

e 3t 1

t( 1

2

) (t ) e 3t

( A 3E)i

t (

2

)

，

i 0

i !

2 2 1

e

t n 1 t i

( A E)

i 由公式 expAt =

i 0

i !

得

3t

3t

1

1 1 3t

1 t

t exp At e E t( A 3E) e

1

t

1

e

1 t

0 1 t

1. 若

(t), (t) 是 X A(t ) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C ，使得 (t)

(t)C .

证： (t ) 是基解矩阵，故

1

(t ) 存在，令 X (t )

1

(t) (t ) ，

则 X (t ) 可微且 det X (t ) 0 ，易知 (t)

(t ) X (t) .

所以

(t) (t) X (t ) (t) X (t ) A(t ) (t ) X (t)

(t ) X (t ) A(t ) (t ) (t) X (t)

而

(t ) A(t) (t ) ，所以 (t ) X (t)

0 ,

X (t ) 0, X (t ) C （常数矩阵），故 (t ) (t)C .

2. 设 ( x) (

x 0 , x ) 是积分方程

y( x) y 0

x

2 y( )

]d ,

x 0 , x [ , ]

[

x 0

的皮卡逐步逼近函数序列 {

n (x)} 在 [ , ] 上一致收敛所得的解， 而 (x) 是这积分方程在 [ , ] 上的

连续解，试用逐步逼近法证明：在 [ , ] 上 ( x)

( x) .

x

2

证明：由题设，有

(x)

y 0

[

( )

]d ,

x 0

x

0 ( x)

y 0 ,

n ( x)

y 0

[

2 n 1

( )

]d , x 0 , x [ , ] ， (n 1, 2,

) .

x 0

下面只就区间 x 0

x

上讨论，对于

x

x 0 的讨论完全一样。

x

因为

| ( x)0 ( x) |

(

2

| ( ) | | |)d

M ( x x 0 ),

其中 M

max { x 2 | ( x) | | x |} ，

x 0

x [ ,

]

x

x

ML

( x x 0 )2 ,

所以 | ( x)

1 ( x) |

(2|()

0 ( ) |) d L M (

x 0 )d

x 0

x 0

2!

其中 L

max { x 2 } ,

设对正整数 n 有 | ( x)

n 1

( x) | ML n 1

(x x 0 ) n ,则有

x [ , ]

n !

x

2

|

L x ML n 1

ML n

| ( x )

n ( x )|

(

(

)

n 1

(

)|)d

(

x 0 )n d

( x x 0 ) n 1,

x 0

x 0

n !

(n 1) ! ,

故由归纳法，对一切正整数 k ，有

| (x)

k 1 ( x) | ML

k 1

( x x 0 )k ML k 1 ( )k .

而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当k时，它0 ,

因而函数序列 {n ( x)}在x0x上一致收敛于(x) .根据极限的唯一性,即得

( x)( x) ,x0x.

3. 设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程

的一个基本解组 . 试证明 :

(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);

(ii)和没有共同的零点;

(iii)和没有共同的零点.

证明 :和的伏朗斯基行列式为

因和是基本解组,故

.

若存在, 使得, 则由行列式性质可得, 矛盾 . 即最多只能有简单零点 . 同理对有同样的性质,故(i)得证.

若存在, 使得, 则由行列式性质可得, 矛盾 .

即与无共同零点.故(ii)得证.

若存在, 使得, 则同样由行列式性质可得, 矛盾 . 即与无共同零点.故(iii)得证.

4.试证：如果(t ) 是dX

AX 满足初始条件(t 0 ) 的解，那么 (t ) exp A(t t 0 ) dt

. 证明：因为(t ) exp At 是dX

AX 的基本解矩阵，(t) 是其解，所以存在常向量 C 使得：dt

( t ) exp At C ，

令 t t0，则：exp At 0C ，所以 C (exp At 0 ) 1，

故

(expAt0 ) 1

(t ) expAt expAt exp( At0 ) expA(t t0 )