拉格朗日对偶
2 拉格朗日对偶（Lagrange duality）
先抛开上面的二次规划问题，先来看看存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问题：
目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示
算子，得到拉格朗日公式为
L是等式约束的个数。
然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然后解出w和。至于为什么引入拉格
朗日算子可以求出极值，原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束，dw的变化方向与f(w)的梯度垂直时才能获得极值，而且在极值处，f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合平行，因此他们之间存在线性关系。（参考《最优化与KKT条件》）
然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法，问题如下：
我们定义一般化的拉格朗日公式
这里的和都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最小值，而这里的已经不是0了，我们可以将调整成很大的正值，来使最后的函数结果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数：
这里的P代表primal。假设或者，那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，为f(w)。这个函数的精妙之处在于，而且求极大值。
因此我们可以写作
这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。
我们使用来表示。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢？
我们先考虑另外一个问题
D的意思是对偶，将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将和看作是固定值。之后在求最大值的话：
这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下：
下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数，h是仿射的（affine，
）。并且存在w使得对于所有的i，
。在这种假设下，一定存在使得是原问题的解，是对偶问题的解。
还有另外，满足库恩-塔克条件
（Karush-Kuhn-Tucker, KKT condition），该条件如下：
所以如果满足了库恩-塔克条件，那么他们就是原问题和对偶问题的解。让我们再次审视公式（5），这个条件称作是KKT dual complementarity条件。这个条件隐含了如果，那么。也就是说，时，w处于可行域的边界上，这时才是起作用的约束。而其他位于可行域内部（的）点都是不起作用的约束，其
。这个KKT双重补足条件会用来解释支持向量和SMO的收敛测试。
这部分内容思路比较凌乱，还需要先研究下《非线性规划》中的约束极值问题，再回头看看。KKT的总体思想是将极值会在可行域边界上取得，也就是不等式为0或等式约束里取得，而最优下降方向一般是这些等式的线性组合，其中每个元素要么是不等式为0的约束，要么是等式约束。对于在可行域边界内的点，对最优解不起作用，因此前面的系数为0。
最优间隔分类器（optimal margin classifier）
重新回到SVM的优化问题：
我们将约束条件改写为：
从KKT条件得知只有函数间隔是1（离超平面最近的点）的线性约束式前面的系数
，也就是说这些约束式，对于其他的不在线上的点()，极值不会
在他们所在的范围内取得，因此前面的系数.注意每一个约束式实际就是一个训练样本。
看下面的图：
实线是最大间隔超平面，假设×号的是正例，圆圈的是负例。在虚线上的点就是函数间隔是1的点，那么他们前面的系数，其他点都是。这三个点称作支持向量。构造拉格朗日函数如下：
注意到这里只有没有是因为原问题中没有等式约束，只有不等式约束。
下面我们按照对偶问题的求解步骤来一步步进行，
首先求解的最小值，对于固定的，的最小值只与w和b 有关。对w和b分别求偏导数。
并得到
将上式带回到拉格朗日函数中得到，此时得到的是该函数的最小值（目标函数是凸函数）代入后，化简过程如下：
最后得到
由于最后一项是0，因此简化为
这里我们将向量内积表示为
此时的拉格朗日函数只包含了变量。然而我们求出了才能得到w和b。
接着是极大化的过程，
前面提到过对偶问题和原问题满足的几个条件，首先由于目标函数和线性约束都是凸函数，而且这里不存在等式约束h。存在w使得对于所有的i，。因此，一定存在
使得是原问题的解，是对偶问题的解。在这里，求就是求了。
如果求出了，根据即可求出w（也是，原问题的解）。然后
即可求出b。即离超平面最近的正的函数间隔要等于离超平面最近的负的函数间隔。
关于上面的对偶问题如何求解，将留给下一篇中的SMO算法来阐明。
这里考虑另外一个问题，由于前面求解中得到
我们通篇考虑问题的出发点是，根据求解得到的，我们代入前式得到
也就是说，以前新来的要分类的样本首先根据w和b做一次线性运算，然后看求的结果是大于0还是小于0,来判断正例还是负例。现在有了，我们不需要求出w，只需将新来的样本和训练数据中的所有样本做内积和即可。那有人会说，与前面所有的样本都做运算是不是太耗时了？其实不然，我们从KKT条件中得到，只有支持向量的，其他情况
。因此，我们只需求新来的样本和支持向量的内积，然后运算即可。这种写法为下面要提到的核函数（kernel）做了很好的铺垫。这是上篇，先写这么多了。
拉格朗日对偶问题解读
2 拉格朗日对偶（Lagrange duality） 先抛开上面的二次规划问题，先来看看存在等式约束的极值问题求法，比如下面的最优化问 题： 目标函数是f(w)，下面是等式约束。通常解法是引入拉格朗日算子，这里使用来表示算子， 得到拉格朗日公式为 L是等式约束的个数。 然后分别对w和求偏导，使得偏导数等于0，然后解出w和。至于为什么引入拉格朗日 算子可以求出极值，原因是f(w)的dw变化方向受其他不等式的约束，dw的变化方向与 f(w)的梯度垂直时才能获得极值，而且在极值处，f(w)的梯度与其他等式梯度的线性组合 平行，因此他们之间存在线性关系。（参考《最优化与KKT条件》） 然后我们探讨有不等式约束的极值问题求法，问题如下： 我们定义一般化的拉格朗日公式 这里的和都是拉格朗日算子。如果按这个公式求解，会出现问题，因为我们求解的是最 小值，而这里的已经不是0了，我们可以将调整成很大的正值，来使最后的函数结 果是负无穷。因此我们需要排除这种情况，我们定义下面的函数：
这里的P代表primal。假设或者，那么我们总是可以调整和来使得有最大值为正无穷。而只有g和h满足约束时，为f(w)。这个函数的精妙之处在于，而且求极大值。 因此我们可以写作 这样我们原来要求的min f(w)可以转换成求了。 我们使用来表示。如果直接求解，首先面对的是两个参数，而也是不等式约束，然后再在w上求最小值。这个过程不容易做，那么怎么办呢？ 我们先考虑另外一个问题 D的意思是对偶，将问题转化为先求拉格朗日关于w的最小值，将和看作是固定值。之后在求最大值的话： 这个问题是原问题的对偶问题，相对于原问题只是更换了min和max的顺序，而一般更换顺序的结果是Max Min(X) <= MinMax(X)。然而在这里两者相等。用来表示对偶问题如下： 下面解释在什么条件下两者会等价。假设f和g都是凸函数，h是仿射的（affine， ）。并且存在w使得对于所有的i，。在这种假设下，一定存在使得是原问题的解，是对偶问题的解。
线性规划的对偶原理
线性规划的对偶原理 3.1 线性规划的对偶问题 一、 对偶问题的提出 换位思考 家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。 目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金 2150120min y y w += 所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益 1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收 入 502421≥+y y 2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收 入 30321≥+y y 3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y 二、 原问题与对偶问题的数学模型 1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。 原问题： ?? ? ??≥≥=0min X b AX CX z 对偶问题： ?? ? ??≥≤=0max Y C YA Yb w 2. 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即 ?? ? ??≥==0min X b AX CX z 则其对偶问题的数学模型为 ?? ? ??≤=是自由变量Y C YA Yb w max 可把原问题写成其等价的对称形式： min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0 即 min z =CX ? ? ????-A A X ≥??????-b b X ≥0 设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
增广拉格朗日乘子法及其在约束优化问题的应用
毕业论文 题目增广拉格朗日乘数法及在 其在约束优化问题的应用学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算1001班 学生高亚茹 学号 指导教师邢顺来 二〇一四年五月二十五日
摘要 增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。 关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原
ABSTRACT Augmented lagrange multiplier methods as an important method for solving constrained optimization problems, recent studies in applications of augmented lagrange multiplier methods is even more important. This paper describes the generation of primary augmented lagrange multiplier method. By interpreting the augmented lagrangian multiplier methods is the combination of penalty function methods and Lagrange multiplier methods, It is given to a recent development of augmented lagrangian methods. Then is shown the basic theories of augmented lagrangian multiplier
拉格朗日乘子法约束最优化
一、 编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。 “拉格朗日乘子法约束最优化” 拉格朗日乘子法求约束最优化问题实例。采用拉格朗日乘子法如下最优化问题： )(),(min 212121x x x x x l +++=λλ。 在MA TLAB 中编写函数ex1208.m 来进行求解，具体代码如下所示。 %%%ex1208.m 拉格朗日乘子法求最优化解 x=zeros(1,2) %用syms 表示出转化后的无约束函数 syms x y lama f=x+y+lama*(x^2+y^2-2); %分别求函数关于x 、y 、lama 的偏导 dx=diff(f,x); dy=diff(f,y); dlama=diff(f,lama); %令偏导为零，求解x 、y xx=solve(dx,x); %将x 表示为lama 函数 yy=solve(dy,y); %将y 表示为lama 函数 ff=subs(dlama,{x,y},{xx,yy}); %代入dlama 得关于lama 的一元函数 lamao=solve(ff); %求解得lama0 xo=subs(xx,lama,lamao) %求得取极值处的x0 yo=subs(yy,lama,lamao) %取极值处的y0 fo=subs(f,{x,y,lama},{xo,yo,lamao}) %取极值处的函数值 程序运行结果为： xo= 1 -1 yo= 1 -1 fo= 2 -2 流程图：
二、编程解决以下科学计算和工程实际问题。、 1、利用MA TLAB提供的randn函数声称符合正态分布的10 5随机矩阵A, 进行如下操作： （1）A各列元素的均值和标准方差。 （2）A的最大元素和最小元素。 （3）求A每行元素的和以及全部元素之和。 （4）分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排序。 代码： clear all;close all; clc; A=randn(10,5); meanA=mean(A); %(1)A各列元素的均值 stdA=std(A); %(1)A各列元素的标准方差 maxA=max(max(A)); %(2)A的最大元素 minA=min(min(A)); %(2)A的最小元素 rowsumA=sum(A,2); %(3)A每行元素的和 sumA=sum(rowsumA); %(3)A全部元素的和 sort1=sort(A); %(4)A的每列元素按升序排列 sort2=sort(A,2,’descend’); %(4)A的每列元素按降序排列 运行结果：因生成矩阵随机，故无固定结果 流程图：
电子电路中的对偶原理分析
电子电路中的对偶原理分析 【摘要】电子电路是我国当前所有电气设备的基础，没有电子电路这一基础构造，先进的电气设备自然也就无从谈起，因此可以说，详细的了解电子电路中的相关理论和具体构成，对于电子电路的完善起到了基础性作用，对于我国工业技术的发展也将产生极大的推动作用。正因如此，本文对于电子电路在正常运行中存在的对偶现象进行了分析，阐述其理论结构，并且探讨这一理论在实践中进行电路分析时的具体应用，以期能够为学界和业界提供相应的借鉴和思路。 【关键词】电子电路；对偶原理；电气设备；拓扑结构 随着人类科学技术的不断发展，当今工业实践中所采取的电子电路结构日益复杂，其内部的拓扑结构种类日益繁多，在电子电路中起到了基础性的作用，在理论上，所有的电路结构都可以说是多个基础性电子拓扑结构的总和。因此，若想能够真正的了解电子电路的结构及其作用，就必须对于电子电路的拓扑结构进行详细的研究，因此，采取对偶原理是最为有效地方式方法。 实践中，只有在平面电路中才能应用对偶原理，但是随着社会科学技术的不断发展，当今人们所应有的绝大多数不是平面的电子电路。因此，对偶原理在应用中受到了极大地限制，尤其是如何在非平面结构的电路中应该对偶原理便成为当今学界和业界所共同关注的重要问题，比如在1946年是，学者Block便对于这一问题进行了详细的研究，认为应当发展一种最大程度能够适用于各种非平面电路的变压器，以期来实现简便的对偶更换[1]。但是，在当今的实践中，这种设想中的变压器并没有得到出现和应用，对于非平面电路的变压器，我们仍然需要依照对偶原理进行详细、深入的分析和研究。 一、对偶原理基础结构 对偶原理是存在于自然界的一种客观规律，简而言之，其本质就是在自然世界中，两类客观变量存在着同样的性质和地位，其中，如果这两类客观变量中的某一变量定理得以成立，那么其对偶元素的对偶定理也成立。因此可以说，采取对偶原理，可以非常便捷、方便、准确的对于客观事实进行分析和研究，几乎所有的人类自然科学领域都应用到对偶原理，在电力学中自然也不例外[2]。
电与磁对偶性原理
课程研究报告（课程设计） 电与磁的对偶性 姓名 学号 课程名称 专业 同组同学 得分 电与磁的对偶性 摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流
产生的电磁场。 关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容： 假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。 1、 无源区麦克斯韦方程组： 如果把其中的两个按如下方式写成一组： 0E H E t μ ??=?????=-??? 0H E H t ε ??=?????=??? （1） 得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H （除了有一负号）是对称的。这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →- 、 εμ→、με→代换，得到另外一组方程。 0E H E t μ??=?????=-??? →,,E H H E εμμε??→→-??→→?? 0H E H t ε??=?????=??? (2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。 2、 广义麦克斯韦方程（有源区） 在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。
例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y
大连理工优化方法 增广拉格朗日方法MATLAB程序
上机大作业II 定义目标函数fun function f=fun(x) x1=x(1); x2=x(2); f=4*x1-x2^2-12; 定义目标函数梯度函数dfun function f=dfun(x) x2=x(2); f=[4;-2*x2]; 定义等式约束函数hf function qua=hf(x) qua=25-x(1)^2-x(2)^2; 定义等式约束函数梯度函数dhf function qua=dhf(x) qua=[-2*x(1);-2*x(2)]; 定义不等式约束函数gfun function inq=gfun(x) inq=10*x(1)-x(1)^2+10*x(2)-x(2)^2-34; 定义不等式约束梯度数dgf function inq=dgf(x) inq=[10-2*x(1);10-2*x(2)]; 定义增广拉格朗日函数mpsi function psi=mpsi(x,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) f=feval(fun,x); he=feval(hf,x); gi=feval(gfun,x); l=length(he); m=length(gi); psi=f; s1=0; for i=1:l psi=psi-he(i)*mu(i); s1=s1+he(i)^2; end
psi=psi+0.5*sigma*s1; s2=0.0; for i=1:m s3=max(0.0, lambda(i) - sigma*gi(i)); s2=s2+s3^2-lambda(i)^2; end psi=psi+s2/(2.0*sigma); 定义增广拉格朗日函数梯度函数dmpsi function dpsi=dmpsi(x,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) dpsi=feval(dfun,x); he=feval(hf,x); gi=feval(gfun,x); dhe=feval(dhf,x); dgi=feval(dgf,x); l=length(he); m=length(gi); for i=1:l dpsi=dpsi+(sigma*he(i)-mu(i))*dhe(:,i); end for i=1:m dpsi=dpsi+(sigma*gi(i)-lambda(i))*dgi(:,i); end 定义BFGS法函数函数bfgs function [x,val,k]=bfgs(mpsi,dmpsi,x0,fun,hf,gfun,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma) maxk=1000; rho=0.5; sigma1=0.4; epsilon1=1e-4; k=0; n=length(x0); Bk=eye(n); while(k 1 摘要 幻灯片1 z 拉格朗日对偶 z 拉格朗日对偶的强度 z 拉格朗日对偶的解 2 拉格朗日对偶 幻灯片2 z 考虑 d Dx b Ax t s x c Z IP ≥≥′=..min X 是整数 z {}d Dx eger x X ≥?=|int z 在X 中求最优情况能有效的求解 2．1 公式 幻灯片3 z 考虑 ()()X x t s Ax b x c Z ∈?′+′=..min λλ z 对固定的λ，问题得到有效的求解 z ()()() i i m i Ax b x c Z ?′+′==λλ,...,1min z ()λZ 是凹的，肯分段的线性的 2．2 弱对偶性 幻灯片4 如果(有最优解且)D ,0≥λ，则()IP Z Z ≤λ z 证明：是(的一个最优解 *x )D z 则因此 0*≤?Ax b () IP Z x c Ax b x c =′≤?′+′***λ z 因为()() ,,* **Ax b x c Z X x ?′+′≤∈λλ，因此()IP Z Z ≤λ 2．3 关键问题 z 考虑拉格朗日对偶： 幻灯片5 ()0 ..max ≥=λλt s Z Z D z IP D Z Z ≤z 我们需要求一个分段的线性凹函数的最大值 幻灯片6 3 LD 的强度 3．1 主要定理 幻灯片7 {.|int d Dx eger x X ≥?=}，注意到()X CH 是多面体，则 () X CH x b Ax t s x c Z D ∈≥′=..min 3．2 例子 幻灯片8 15 6323521..3min 2121212121≤+≥+≤+??≥??x x x x x x x x t s x x ???≥0,21x x 整数 §4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给 较好学生． —————————————————————— 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。 对偶理论的性质及证明 性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题 证明 设原问题为 max z ..0CX AX b s t X =≤??≥? (1) 对偶问题为 min ..0w Yb YA C s t X =≥??≥? (2) 对偶问题的对偶问题为 max ..0CU AU b s t U ?=≤??≥? (3) 比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证. 性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意一个可 行解,Y 是对偶问题的任意一个可行解,那么总有 CX Yb ≤ (4) 证明 根据式(1), 由于AX b ≤, 又由于0Y ≥, 从而必有 YAX Yb ≤ (5) 根据式(2), 由于YA c ≥, 又由于0X ≥, 从而必有 YAX CX ≥ (6) 结合式(5)和式(6), 立即可得CX Yb ≤,命题得证. 性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可行解,*Y 是对偶问题式(2)的可行解,当是 **CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明 设X 是式(1)的最优解, 那么有 *CX CX ≥ (7) 由于**CX Y b =,那么 *CX Y b ≥ (8) 根据弱对偶性质, 又有 *CX Y b ≤ (9) 从而*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。 同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。 性质4(无界性) 设原问题为无界解，则对偶问题无解。 证明 用反证法证明。 设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。 假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y 。这时对偶问题的目标函数值为Yb T =。 由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X 满足CX T >，因此CX Yb >。 而根据弱对偶性，又有CX Yb ≤，发生矛盾。从而对偶问题没有可行解。 性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。（复习矩阵算法） 证明 设B 为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。选择不同地区、不同行业、不同发展规模、不同历史、不同风 格的企业高层管理人员或技术部门负责人，进行半结构化的访谈，进一步收集信息 并完善研究思路。 （2）协同学方法。运用协同学方法对装备制造业突破性创新系统的演进进行仿 真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进行分析，从产业生命周期的四阶段提出装 备制造业突破性创新机制系统根据生命周期发展过程的不同策略。 （3）结构方程模型。通过规范的问卷调查程序和数据处理方法，建立起合乎研 究要求的数据库，再通过对获得的数据采用结构方程模型(SEM)等统计分析方法， 以验证提出的概念模型与假设是否成立。为B 时的检验数为1B C C B A --，其中B C 为由基变量的价值系数组成的价值向量。 既然B 为原问题式(1)的最优基，那么有10B C C B A --≤。 令1B Y C B -=，那么有0C YA YA C -≤?≥，从而1B Y C B -=是对偶问题式(2)的可行解。 这样一来，1B Y C B -=是对偶问题的可行解，1B X B b -=是原问题的最优基可行解。 由于1B B N N B CX C X C X C B b -=+=，而1B Y b C B b -=，从而有CX Yb =。根据性质3，命 题得证。 性质6(对偶松弛定理、松弛性) 若??, X Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，那么?0s YX =和?0s Y X =，当且仅当??, X Y 为最优解。 证明 设原问题和对偶问题的标准型是 原问题 对偶问题 一维搜索: 1精确一维搜索 精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。 区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。 优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。确定初始区间的方法：进退法 ①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。 1.1黄金分割法： 黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。具有对称性以及保持缩减比原则。 优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单； 缺点：收敛速度慢； 函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。 1.2牛顿法： 将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。 牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。 1.2抛物线法： 抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。在一定条件下， 抛物线法是超线性收敛的。 1.3三次插值法： 三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。 精确一维搜索的方法选择： 1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。 2如目标函数能求一阶导数： 1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快； 2对分法、收敛速度慢，但可靠； 3只需计算函数值的方法： 1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强； 2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠； 4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。 2非精确一维搜索 精确搜索计算量较大，特别是当迭代点远离最优解时，效率很低；而且，很多最优化方法的收敛速度并不依赖于精确一维搜索的过程。 非精确的一维搜索：通过计算少量的函数值，得到一个可接受步长，使得后续迭代点使目标函数要“充分”下降,达到一个满意水平，非精确一维搜索方法可大大节省计算量，且总体上有较快的收敛速度。不用寻找单谷区间！ 包括Armijo-Goldstein准则和Wolfe准则。Armijo-Goldstein 准则可能将目标函数的极小点给排除在可接受区域外！！Wolfe将准则更新后可避免最优解被排除。 临沂大学课程研究报告/课程设计 临沂大学 YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计） 电与磁的对偶性 摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。 关键字：Maxwell，对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流 内容： 一、无源区的Maxwell 方程组 ｛ {0 E H E t μ ??=???=-? ｛ 0H E H t ε ??=???=? 以上两组方程形式完全相同，它们关于E 和H （除有一负号外）是对称的，对其中一组作 ,,,E H H E εμμε→→→→代换得到 ｛ E H H t μ ??=???=-?→→ ｛,, ,E H H E εμμε→→-→→｝→← ｛ 0H E H t ε ??=???=? 数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程。 二、有源区的Maxwell 方程 在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell 方程是不对称的。宏观电磁场运动中，Maxwell 方程的两个独立方程 { (2.1)(2.2) B E t D H J t ???=- ????=+? 对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程,,D E B H J E εμσ===，所以有 { (2.3)(2.4) H E t E H E t μ σε???=-????=+? 对方程2.3两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得 22 2()(2.5)E J E t t ρ εμμε ???-=+??? 同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得 22 2 (2.6)H H J t με??-=-??? 磁场的高斯定理表明，磁感应强度B 是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设 在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。 在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么YC是在用欧拉方法研究流体。 这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。 Understood? 而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。 在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！ 我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。 也就是说，获得爱情有两种方法。一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。 那么，哪种方法更能获得幸福呢？ 第44卷第3期红外与激光工程2015年3月Vol.44No.3Infrared and Laser Engineering Mar.2015 L1稀疏正则化的高光谱混合像元分解算法比较 邓承志，张绍泉，汪胜前，田伟，朱华生，胡赛凤 (南昌工程学院信息工程学院，江西南昌330099) 摘要：基于稀疏性的高光谱解混是近年来高光谱混合像元分解的研究热点。主要研究了L1正则化的高光谱混合像元分解算法。首先分析了L1正则化的三种解混模型，即无约束、非负约束和全约束模型；然后给出了三种模型对应的数值求解算法；最后，采用模拟的和真实的高光谱数据进行实验，比较了三种高光谱混合像元分解算法的效果。实验结果表明：三种模型均具有很好的高光谱混合像元分解精度(SRE)，其中全约束模型最好，非负约束模型次之，无约束模型最差；全约束模型在信噪比低和端元数多的情况下，仍然获得较高的SRE。 关键词：高光谱；混合像元分解；稀疏性；增广拉格朗日 中图分类号：TP753文献标志码：A文章编号：1007-2276(2015)03-1092-06 Hyperspectral unmixing algorithm based on L1regularization Deng Chengzhi,Zhang Shaoquan,Wang Shengqian,Tian Wei,Zhu Huasheng,Hu Saifeng (Department of Information Engineering,Nanchang Institute of Technology,Nanchang330099,China) Abstract:Hyperspectral unmixing based on sparsity is a research hotspot in recent years.This paper studies the hyperspectral unmixing algorithms based on L1regularization.First we analyzed three unmixing models,including unconstrained model,non-negative constraint model and full-constrained model.And then the corresponding algorithms are presented.In the end,both simulated and real hyperspectral data sets are used to compare and evaluate the proposed three hyperspectral unmixing algorithms.Experimental results demonstrate that three models all have good high-precision.The full constrained model achieves the best unmixing precision(SRE).The non-negative constrained model is better.And the unconstrained model is worst.In particular,the fully constrained model achieves the higher SRE under the low signal to noise ratio and a large amount of endmembers situation. Key words:hyperspectral;unmixing;sparsity;augmented Lagrangian 收稿日期：2014-07-08；修订日期：2014-08-10 基金项目：国家自然科学基金(61162022，61362036)；江西省自然科学基金(20132BAB201021)； 江西省科技落地计划(KJLD12098)；江西省教育厅科技项目(GJJ12632) 作者简介：邓承志(1980-)，男，副教授，博士，主要从事遥感影像处理方面的研究。Email:dengchengzhi@https://www.360docs.net/doc/fa15683204.html, 增广拉格朗日乘子法及其 在约束优化问题的应用 Prepared on 22 November 2020 毕业论文题目增广拉格朗日乘数法及在 其在约束优化问题的应用 学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算1001班 学生高亚茹 学号 指导教师邢顺来 二〇一四年五月二十五日 摘要 增广拉格朗日乘子法作为求解约束优化问题的一种重要方法，近年来研究增广拉格朗日乘子法的应用显得更加重要。本文首要介绍了增广拉格朗日乘子法的产生，通过解释增广拉格朗日乘子法是罚函数法和拉格朗日乘子法的有机结合，引出了现在对增广拉格朗日法的发展状况，概述了增广拉格朗日乘子法基本理论。然后具体说明了增广拉格朗日法在科学领域上的实际应用，如在供水系统和图像复原的应用，也证明了增广拉格朗日乘子法的实际应用性。 关键词：增广拉格朗日乘子法；罚函数法；供水系统；图像复原 ABSTRACT Augmentedlagrangemultipliermethodsasanimportantmethodforsolvingconstrainedoptimizat ionproblems,：AugmentedLagrangeMultiplierMethods； PenaltyFunctionMethodsWaterSupplySystems；ImageRestorations 目录 摘要………………………………………………..…….….……………...I ABSTRACT........................................................................................II 1前言.. (1) 增广拉格朗日函数法的产生与应用 (1) 研究增广拉格朗日函数法应用的意义 (1) 2增广拉格朗日乘子法 (3) 约束非线性规划 (3) 罚函数外点法 (4) 拉格朗日乘子法 (6) 最优间隔分类器（optimal margin classifier） 重新回到SVM的优化问题： 我们将约束条件改写为： 从KKT条件得知只有函数间隔是1（离超平面最近的点）的线性约束式前面的系数 ，也就是说这些约束式，对于其他的不在线上的点()，极值不会在他们所在的范围内取得，因此前面的系数.注意每一个约束式实际就是一个训练样本。 看下面的图： 实线是最大间隔超平面，假设×号的是正例，圆圈的是负例。在虚线上的点就是函数间隔是1的点，那么他们前面的系数，其他点都是。这三个点称作支持向量。构造拉格朗日函数如下： 注意到这里只有没有是因为原问题中没有等式约束，只有不等式约束。 下面我们按照对偶问题的求解步骤来一步步进行， 首先求解的最小值，对于固定的，的最小值只与w和b 有关。对w和b分别求偏导数。 并得到 将上式带回到拉格朗日函数中得到，此时得到的是该函数的最小值（目标函数是凸函数）代入后，化简过程如下： 最后得到 由于最后一项是0，因此简化为 这里我们将向量内积表示为 此时的拉格朗日函数只包含了变量。然而我们求出了才能得到w和b。 接着是极大化的过程， 前面提到过对偶问题和原问题满足的几个条件，首先由于目标函数和线性约束都是凸函数，而且这里不存在等式约束h。存在w使得对于所有的i，。因此，一定存在 使得是原问题的解，是对偶问题的解。在这里，求就是求了。 如果求出了，根据即可求出w（也是，原问题的解）。然后 即可求出b。即离超平面最近的正的函数间隔要等于离超平面最近的负的函数间隔。 关于上面的对偶问题如何求解，将留给下一篇中的SMO算法来阐明。 这里考虑另外一个问题，由于前面求解中得到 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =.拉格朗日分析方法
拉格朗日乘数法
对偶性质
最优化理论
电于磁的对偶性
流体运动描述方法(欧拉法和拉格朗日法)
L_1稀疏正则化的高光谱混合像元分解算法比较_邓承志
增广拉格朗日乘子法及其在约束优化问题的应用
SVM拉格朗日对偶问题——最优间隔分类器
二次型及其矩阵表示