因为a = sin20?, b = sin40?, 因此1
2可想成sin30?, 由正弦函数当角从0?到90?间是函数随角的增加而增加, 从而确定要选定的结果。 解: 由正弦函数的增减性, 得sin sin sin 203040?
sin sin 201
2
40?<
例7、等腰三角形两边长分别为10, 13, 求底角的余弦。 分析: 等腰三角形两边长为10, 13, 没有具体指明是腰还是底, 通过分析, 10可以做腰, 10也可以做底, 这样区分两种情况分别求底角的余弦, 辅助线可以做底边上的高, 这样就构造出直角三角形了。 解: 情况一, 若腰为10, 底为13, 做底边上的高后, 将底边分
为各为6.5的两部分。 设底角为αα,cos .
.则=
=6510
065。
若情况二, 腰为13, 底为10, 做底边上的高以后, 将底边分
为各为5的两部分, 则底角余弦为cos α=
513
。 说明: 由于题目中所给的条件不明确, 所以应当分两种情况进行讨论, 分类讨论的思想, 也是很重要的一种数学思想, 它要求我们思考问题应当全面, 不可以重复也不可以漏掉。
有关等腰三角形的问题, 底边上的高是常加的辅助线之一, 因为等腰三角形底边上的高也是底边的中线, 也是顶角的平分线, 这样可以把等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题去解决。
例8、从1.5米高的侧高仪上, 测得塔顶仰角为45?, 向塔前进10米, 又测得塔顶仰角为60?, 求塔高。
分析: 由实际测量问题画出示意图, 即已知
∠ABC = 45?, ∠ ADC = 60?, BD = 10, ∠ACB = 90?, 塔高即AC + CE , CE 为1.5米, 解: 设AC 为x , ∵∠ABC = 45?, ∴AC = BC = x , 又∵∠ADC = 60?, ctg60?=DC
x
, ∴DC x =33
由题意x x -=3
310
x 13310-?? ?
?
?= ∴x =+1553
∴AE =++=+155315
16553.. 答: 塔高为()
16553.+米。
例9、我国领海权12海里, 在东西方向平直海岸线上相距18.9海里有A 、B 两个雷达站, 同时测得一外国军舰K , K 在A 的北偏东30?, K 在B 的北偏西45?, 问是否要向敌军舰发出警告？()
31732≈.
。 分析: 由题意画出示意图, 求出K 到AB 的距离, 再根据题意确定。 解: 做KC ⊥AB 于C , 设KC 为x , 则BC = KC = x , 在Rt ?ACK 中, ∠KAC = 60?, ctg60?==AC x AC x ,3
3
, ∴3
3
1891198x x x +=≈.,.解得
答: K 与AB 距离小于12, 应当发警告。
例10、四边形ABCD 中, AB = BC , AD = 7, ∠D = ∠B = 90?, tg A = 2, 求CD 长。 分析: 为了利用tg A = 2的条件, 可延长AD 、BC 交于一点H , 构造为直角三角形。 解: 延长AD , BC 交于H , 设CD 为x , ∠A = ∠HCD , tg A = 2, 则DH = 2x , ∴HC =5x , ∴HB = 255x AB x ,= 由题意()(
)
()525722
2
2
x x
x +=+
解得x =
73
答: CD 长为7
3
。
说明: 这里为充分利用题目所给条件, 将原来图形扩形为新的直角三角形。
【综合练习】：
1、选择题:
(1)直角三角形ABC 中, ∠A = 90?, C b ==32,,则sin B 的数值为
A ．
23
B ．2
C ．
105
D ．3
(2)若tg α·tg50? = 1, 则锐角α等于
A ．40?
B ．50?
C ．150??
?
?
?? D ．140??
?
?
?? (3)下列命题中正确的是
A ．sin72? = cos72?
B ．∠A + ∠B = 90?, 则cos A = cos B
C ．?ABC 中, a ∶b ∶c = 1∶2∶3, 则sin A =1
3
D ．若∠A + ∠B = 90?, 则sin A = cos B (4)当45? < α < 90?, 下列各式正确的是 A ．sin cos αα> B ．sin cos αα< C ．tg αα3、在?ABC 中, ∠A = 30?, ∠B = 45?, 45?所对边为8, 求30?角所对的线段长。
4、在直角?ABC 中, ∠B = 60?, a + c = 9, 求b 。
5、等腰?ABC 中, AB = AC = 5, S ABC ?=5, 求sin A 。
6、?ABC 中, AB = AC , AD ⊥BC 于D , cos B =3
6
, AB = 12, 求∠BAC 的正弦。
7、在直角三角形ABC 中, S ABC ?=96, ∠C = 90?, sin A =3
5
, 求
?ABC 的三边长。
8、电视塔建立在20米高的小山顶上, 从水平面上一点D 测得塔顶A 的仰角为60?, 测得塔基B 的仰角为30?, 求电视塔高AB 。 9、若矩形纸片ABCD 的宽AB = 6, E 为AB 上一点, 沿CE 折叠后, B 恰落在AD 上, 设为F , 若∠ECF =α, 求DF 长。
【答案与提示】：
1、 (1)C 。特别要注意, 题目中给的是∠A 为90?。 (2)A 。用同角三角函数关系式去想, 因为有tg50?·ctg50? = 1, 则ctg50? = tg40?。 (3)A 。因为互为余角的余函数相等。 (4)A 。可以用特殊值的方法, 用试验的方法, 可以设角α=?60, 满足题意的条件, 而去思考。
2、提示, 可由tg B =6, 设AC a BC a AB a ===67,,则, 再由
三角函数定义得sin A =
77
。 3、提示, 做CD ⊥AB 交AB 于D , 将原来三角形ABC 分割为两个直角三角形。因为45?角所对边为8, 则CD = 4。再用勾股定理解直角三角形, 得BC =42。 4、提示, 设30?所对直角边为x , 则斜边为2x , 另一直角边为3x , 由题意x + 2x = 9, 求得x = 3, 所以b =33。
5、作BD ⊥AC 交AC 于D , ∵S ABC ?=5, ∴AC = BD 结果为10, ∴BD = 2。
∴sin A BD AB =
=2
5
。
6、作BE ⊥AC 于E , 设BD x =3, AB = 6x , 则AD x =33, 6x = 12, x = 2, 则AD =233, 由题意BC ·AD = AC ·BE , ∴43233· = 12·BE , ∴BE =211, ∴sin ∠===
BAC BE AB 2111211
6
。
7、∵Rt ?ABC 面积为96, 则12
96AC BC ·=, 设BC = 3x , AB =
5x , 则BC = 4x , ∴12
3496?=x x ·, x = 4, 即AC = 16, BC = 12, AB
= 20。
8、由题意, 画草图, ∵∠ADC = 60?, ∠A = 30?, 设DC = a , 则AD = 2a , AC a =3, ∠BDC = 30?, ∴BC = 20, BD = 40, DC = 203, ∴a AC ===203320360,· AB = 60－20 = 40
答: 电视塔高AB 为40米。
9、提示: 折叠的问题要注意的是折叠后的图形与原来的图形全等, 且折线是两个图形的对称轴。由题意?CEF ≌?CEB , ∴∠ECB =α, 则∠DCF = 902?-α, 又∵AB = CD = 6, ∴tg ()902?-=
αDF
DC
, DF = DC ·tg ()90262?-=?ααctg
【综合练习二】：
1、?ABC 中, sin cos A B -+-=321
2
0, 则?ABC 是 A ．等腰三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
2、计算125555351-??-?-cos sin sin
3、计算: tg25?·tg35?·tg45?·tg55?·tg65?
4、利用含30?角的直角三角形, 求15?角的四个三角函数值。
5、?ABC 中, ∠C = 90?, D , E 是BC 上两点, ∠ABC =∠=∠12
13
ADC AEC , BD = 11, DE = 5, 求AC 。
【提示或解答】：
1、B 。∵sin A =
32时, ∠A = 60?, cos B =1
2
时, ∠B = 60?, 由绝对值的非负性, 得到三个角都为60?, 应为等边三角形。
2、提示: 将第一个根号内1变为sin cos 225555?+? ∴原式 = ()()cos sin sin 55551352
?-?--?
=?-?-+?=?-sin cos sin sin 5555135551
3、提示: ∵25? + 65? = 90?, 35? + 55? = 90?, 由余角的正切函数与余切函数相等, ∴tg25?·tg35?·tg45?·tg55?·tg65? = tg25?·tg35?·tg45?·ctg35?·ctg25? = 1
4、提示: 在?ABC 中, ∠C = 90?, ∠A =
30?, ∠B = 60?, 延长CA 到D , 使AD = AB , 连BD 。设BC 为a , 则AB = 2a , AC a =3, ∠BDC = 15?。 ∴tg152323?=
=+=-BC DC a
a a ctg tg 151
1523?=?
=+
又∵(
)
BD BC DC a 2222
262
=+=
+·
(
)
sin156262
4
?=
=+=
-BC
BD
a
a
cos1562
4
?=
+
5、提示: 先证?ADE ∽?BAE , AD = BD = 11, BE = 16,
AE BE DE 280==·，AE = 4544
5
5，·AB AD AE DE =
=, 设EC = x , AC = y
()AB BC AC x y x y AE 222
22
2222
445
51680
=+?? ???=+++==????? 解得x y ==8
5
88,.
∴AC 长为8.8。
