轴对称图形典型例题

轴对称图形

轴对称图形典型例题

例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点． 求证：∠BDP ＝∠CDP ．

证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，

∴ ∠P AB ＝∠P AC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上），

∵ ∠APB ＋∠P AB ＝90°，∠APC ＋∠P AC ＝90°，

∴ ∠APB ＝∠APC ，

在△PDB 和△PDC 中，

?????=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .，

，

∴ △PDB ≌△PDC （SAS ），

∴ ∠BDP ＝∠CDP ．

（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）

注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．

例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．

（1）

证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ，

∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ，

在Rt △EAD 和Rt △FCD 中，

???==.DF DE DC AD ，

（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），

∴ ∠C ＝∠EAD ，

∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°，

∴ ∠A ＋∠C ＝180°．

证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得．

（2）

证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二．

（3）

注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．

例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．

求证：BE ＋CF ＞EF ．

证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中， ?????=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ，

，

（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）

∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），

∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等），

同理可证：

CF ＝NF ，

在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边），

∴ BE ＋CF >EF ．

证法二：延长ED 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ，

在△BDE 和△CDM 中，

?????=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ，

，

（从另一个角度作辅助线）

∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），

∴ CM ＝BE （全等三角形对应边相等），

又∵ ∠BDE =∠A DE ，∠ADF ＝∠CDF ，

而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°，

∴ ∠ADE +∠ADF ＝90°，

即∠EDF ＝90°，

∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°，

在△EDF 和△MDF 中，

?????=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ，

，

∴ △EDF ≌△MDF （SAS ），

∴ EF ＝MF （全等三角形对应边相等），

在△CMF 中，

CF ＋CM >EF ，

∴ BE ＋CF >EF ．

注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中．

例4 已知，如下图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠BAC 的度数．

解：∵ AP ＝PQ ＝AQ （已知），

∴∠APQ＝∠AQP＝∠P AQ＝60°（等边三角形三个角都是60°），

∵AP＝BP（已知），（注意观察图形和条件）

∴∠PBA＝∠P AB（等边对等角），

∴∠APQ＝∠PBA＋∠P AB＝60°

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），

∴∠PBA＝∠P AB＝30°，同理∠QAC＝30°，

∴∠BAC＝∠BAP＋∠P AQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．

注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程．

例5 已知，如下图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．

求证：∠F＝∠A．

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB（等边对等角），

∵EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∴∠ACB＝∠EDB（等量代换），

∴ED∥AC（同位角相等，两直线平行），

在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，

连结AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，

∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，

∴∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，

（用什么定理判定三角形全等的？）

∴D为BC的中点，

∴△BDE≌△CDF，

∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，

∴∠F＝∠A．

例6 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．

求证：EF⊥BC．

证法一：作BC边上的高AD，D为垂足，

∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC ，

∴ ∠BAD ＝∠CAD

（等腰三角形三线合一），

又∵ ∠BAC ＝∠E ＋∠AFE ，∠AEF ＝∠AFE ，

∴ ∠CAD ＝∠E ，∴ AD ∥EF ，

∵ AD ⊥BC ，

∴ EF ⊥BC ．

证法二：过A 作AG ⊥EF 于G ，

∵ ∠AEF ＝∠AFE ，AG ＝AG ，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，

∴ △AGE ≌△AGF （ASA ），

∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，

又∠EAF ＝∠B ＋∠C ，（请对比多种证法的优劣）

∴ ∠EAG ＋∠GAF ＝∠B ＋∠C ，

∴ ∠EAG ＝∠C ，∴ AG ∥BC ，

∵ AG ⊥EF ，

∴ EF ⊥BC ．

证法三：过E 作EH ∥BC 交BA 的延长线于H ，

∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，

∴ ∠H ＝∠B ＝∠C ＝∠AEH ，

∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∠H ＋∠AFE ＋∠FEH ＝180°，

∴ ∠H ＋∠AEH ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，

∴ ∠AEF ＋∠AEH ＝90°，即∠FEH ＝90°，

∴ EF ⊥EH ，又EH ∥BC ，

∴ EF ⊥BC ．

证法四：延长EF 交BC 于K ，

∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，

∴ ∠B ＝21（180°－∠BAC ），

∵ ∠AEF ＝∠AFE ，

∴ ∠AFE ＝21

（180°－∠EAF ），

∵ ∠BFK ＝∠AFE ，

∴ ∠BFK ＝21（180°－∠EAF ），

∴ ∠B ＋∠BFK ＝21（180°－∠BAC ）＋21

（180°－∠EAF ）

∵ ＝21

[360°－（∠EAF ＋∠BAC ）]，

∴ ∠EAF ＋∠BAC ＝180°，

∴ ∠B ＋∠BFK ＝90°，即∠FKB ＝90°，

∴ EF ⊥BC ．

注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立EF 与BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法．

例7 如下图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，P 是AD 上一点．

求证：∠ABP ＝∠ACP ．

证明：连结BC ，

∵ AB ＝AC （已知），

∴ ∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），

又∵ 点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上

（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线， ∴ AD 就是线段BC 的垂直平分线，

∴ PB ＝PC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），

∴ ∠PBC ＝∠PCB （等边对等角），（线段垂直平分线的性质）

∴ ∠ABC －∠PBC ＝∠ACB －∠PCB （等式性质），

即∠ABP ＝∠ACP ．

注 本题若用三角形全等，至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁．

例8 如下图，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ，若△ABC 的周长为28，BC ＝8，求△BCE 的周长．

解：∵等腰△ABC的周长＝28，BC＝8，

∴2AC＋BC＝28，

∴AC＝10，（理由是什么？）

∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

∴△BCE的周长＝BE＋EC＋BC

＝AE＋EC＋BC

＝AC＋BC＝10＋8＝18．

注本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系．

例9 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF

交BC于F，交AB于E，求证：

FC BF

2

1

=

．

证法一：连结AF，则AF＝BF，∴∠B＝∠F AB（等边对等角），∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C（等边对等角），∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝

ο

30

2

180

=

∠

-BAC

（三角形内角和定理），

∴∠F AB＝30°，

∴∠F AC＝∠BAC－∠F AB＝120°－30°＝90°，

又∵∠C＝30°，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）

∴

FC

AF

2

1

=

（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），

∴

FC BF

2

1

=

．

证法二：连结AF，过A作AG∥EF交FC于G，

∵EF为AB的垂直平分线，

∴AF＝BF，

又∵∠B＝30°，

∴∠AFG＝60°，

∠BAG＝90°，

∴∠A G B＝60°，△AFG为等边三角形，

又∵∠C＝30°，∴∠G AC＝30°，

∴AG＝GC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）

∴BF＝FG＝GC＝

FC

2

1

．

例10 已知，如下图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB＝75°，∠DMC＝45°，AM＝MD．求证：AB＝BC．

思路分析

从结论分析，要证AB＝BC，可连结AC，使BC与AB能落在一个三角形内，再看∠BAC与∠BCA能否相等？

证明：连结AC，交DM于H，

∵∠AMB＝75°，∠DMC＝45°（已知），

∴∠AMD＝60°（平角定义）

又∵AM＝MD，

∴△AMD为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），

∴AM＝AD（等边三角形三边相等），

∵CD⊥BC，∴∠DCM＝90°，

∵∠DMC＝45°，∴∠MDC＝45°（三角形内角和定理），

∴CD＝CM（等角对等边），

∴AC是DM的垂直平分线

（和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上），

∴∠MHC＝90°，∴∠HCM＝45°，

∵∠B＝90°，∴∠BAC＝45°，

∴AB＝BC（等角对等边）．

【典型热点考题】

例1 如图7—15，等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D，请回答下列问题：

(1)AD是哪个角的平分线；

(2)AD是哪条线段的垂直平分线；

(3)有哪几条相等的边；

(4)有哪几对相等的角．

点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征．所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题．

解：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是它的对称轴．

(1)AD是顶角∠BAC的平分线．

(2)AD是线段BC的垂直平分线．

(3)AB＝AC，BD＝DC．

(4)∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ADC．

例2 如图7—16，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．

点悟：利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，

证明：∵ PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，

∴∠PAB＝∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)．

∵∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°，

∴∠APB＝∠APC．

在△PDB和△PDC中，

?????=∠=∠=PD PD APC

APB PC PB ∴ △PDB ≌△PDC(SAS)

∴ ∠BDP ＝∠CDP ．

例3 如图7—17，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴(有几条，画几条)．

点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来． 解：(1)是，它有3条对称轴．

(2)是，它有2条对称轴．

(3)是，它有2条对称轴．

(4)是，它只有一条对称轴．

(5)它不是轴对称图形，故没有对称轴．

(6)它是轴对称图形，有一条对称轴．图均略．

例4 如图7—18，△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BC 上，且BD ＝AD ，DC ＝AC ，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出∠B 的度数．

点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏．在计算∠B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和．

解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是：△ABC ，△ABD ，△CAD ．

设∠B ＝x ，则∠C ＝x ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠DAC ＝2x ．

∴ ∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAD ＋∠DAC

＝x ＋x ＋x ＋2x ＝5x ＝180°

∴

?=?==∠365180x B ．

例5 如图7—19，在金水河的同一侧居住两个村庄A 、B ．要从河边同一点修两条水渠到A 、

B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN 何处两条水渠最短

?

点悟：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN ，在直线MN 的同一侧有A 、B 两点．在直线MN 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．

解：如图7—19所示．作B 点关于直线MN 的对称点B ′，连结AB ′，与MN 相交于P ，则P 点即为所求．

事实上，如果不是P 点而是P '点时，

则连结B P 、P A ''和B P ''．

由轴对称性知道，B P PB B P B P '=''=',，

所以P '到A 、B 的距离之和，B P P A B P P A ''+'='+'，

而P 到A 、B 的距离之和B A B P AP PB AP '='+=+

在'P B A '?中，三角形两边之和大于第三边，B A B P P A '>''+'

所以P 点即为所求的点．

例6 如图7—20，已知，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．

求证：BE ＋CF ＞EF ．

点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题． 证法一：在DA 上截取DN ＝DB ．连结NE 、NF ．则DN ＝DC ．

在△BDE 和△NDE 中，

?????=∠=∠=,,

,DE DE NDE BDE ND BD ∴ △BDE ≌△NDE ．

∴ BE ＝NE ．

同理可得，CF ＝NF ．

在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF(三角形两边之和大于第三边)．

∴ BE ＋CF ＞EF ．

证法二：如图7—21，延长DE 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ．

在△BDE 和△CDM 中，

?????=∠=∠=,,

,DM DE CDM BDE CD BD

∴ △BDE ≌△CDM(SAS)．

∴ CM ＝BE(全等三角形对应边相等)

又∵ ∠BDE ＝∠ADE ，∠ADF ＝∠CDF ，

而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°

∴ ∠ADE ＋∠ADF ＝90°，即∠EDF ＝90°．

∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°．

在△EDF 和△MDF 中，

?????=∠=∠=,,

,DF DF MDF EDF MD ED ∴ △EDF ≌△MDF(SAS)

∴ EF ＝MF(全等三角形对应边相等)．

在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF ，

∴ BE ＋CF ＞EF ．

点拨：本题综合考查角平分线，中线的意义，三角形全等及线段之间的等量关系，关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用．

【易错例题分析】

例 已知如图7—22，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．

求证：∠A＋∠C＝180°．

证法一：如图7—22，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F．

∵ BD平分∠ABC，∴ DE＝DF

在Rt△EAD和Rt△FCD中，

∵ AD＝DC，DE＝DF，

∴ Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)

∴∠C＝∠EAD，

∵∠EAD＋∠BAD＝180°，

∴∠A＋∠C＝180°．

证法二：如图7—23，在BC上截BE＝AB，连结DE，证明△ABD≌△EBD可得．

证法三：延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二，如图7—24．

警示：本题直接加以证明则不可能，需要巧妙的添加适当的辅助线，不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区．本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，添加辅助线的方法有多种情况，应该很好感悟尽快掌握．