[全]中考数学二次函数压轴题之代数几何综合题

中考数学二次函数压轴题之代数几何综合题

如图已知抛物线y＝ax2+bx+2 经过点A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y 轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，将直线AC 沿y 轴向下平移，得直线BD，BD 与抛物线交于另一点D，连接CD，CD 与x 轴交于点E，试判定△ADE 和△ABD 是否相似，并说明理由．

（3）如图2，在（2）的条件下，设点M 是△ABD 的外心．点Q 是线段AE 上的动点（不与点A，E 重合）．

① 直接写出M 点的坐标：．

② 设直线MQ 的函数表达式为y＝kx+b．在射线MQ 绕点M 从MA 旋转到ME 的过程中，是否存在点Q，使得k 为整数．若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】

解：

（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+4），将（0，2）代入解析式解得a＝-1/2，

∴抛物线解析式为y＝-1/2 x2 - 3/2 x + 2 ；

（2）设直线AC 的解析式为y＝kx + b，将A、C 坐标代入可得k＝1/2，b＝2，

∴直线AC 解析式为y = 1/2 x + 2，

将直线AC 平移后得到直线BD，

∴直线BD 的解析式为y = 1/2 x - 1/2，

∴点D 坐标为（﹣5，﹣3），

∴直线CD 的解析式为y＝x + 2，

∴点E 坐标为（﹣2，0），

∴ AE＝2，AD＝√10，BD＝3√5，DE＝3√2，AB＝5，

∵ AE/AD = AD/AB , ∠DAE = ∠BAD，

∴△ADE∽△ABD ;

（3）

①点M 是△ABD 的外心，则点M 在AB 的垂直平分线上，设点M（-3/2，a），

∴ MD＝MB，

∴ MD2＝MB2，

∴ a = -5/2 ,

∴ M 点坐标为（-3/2,-5/2）;

②∵ A（﹣4，0），M（-3/2 , -5/2）, E（-2 ，0），

∴可得直线AM 的解析式为y＝﹣x﹣4，直线EM 的解析式为y＝﹣5x﹣10，∴可知当直线MQ 的k 值为整数时，k 值可以为﹣2，﹣3，﹣4，

当k＝﹣2 时，直线MQ 为y＝﹣2x﹣11/2，点Q 坐标为（﹣11/4，0）；

当k＝﹣3 时，直线MQ 为y＝﹣3x﹣7，点Q 坐标为（-7/3，0）；

当k＝﹣4 时，直线MQ 为y＝﹣4x﹣17/2，点Q 坐标为（-17/8，0）；

∴ Q 点坐标为（﹣11/4，0）或（-7/3，0）或（-17/8，0）.

【分析】

（1）

观察A、B 两点的纵坐标都是0 及C（0,2），通过设出抛物线的两根式把 a 解出来，从而确定出抛物线的解析式，关键是要熟练掌握二次函数的图像和性质；

（2）

证明两个三角形相似，本题用的是“两边对应成比例且夹角相等” 这一判定条件。

直线平移K 值不变，关键是求出直线BD 的解析式，从而联立抛物线求出点 D 的坐标来。

求直线BD 的解析式y = kx + b ，k = 1/2，b 是通过线段OB 两边的直角三角形相似求出来的。

再把直线CD 的解析式求出来，从而可求出点 E 的坐标，线段AD 的长度是通过两点之间的距离公式求出来的，至此判定两边对应成比例的线段的长度都已经求出来了，从而可判定相似。

（3）

①三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，这个圆的圆心到三角形的三个顶点的距离都相等。

由图可知AB 是外接圆的一条弦，由“垂径定理” 可知点M 在线段AB 的垂直平分线上，从而通过坐标中点公式可求出点M 的横坐标，在通过两点之间的距离公式建立关于点M 的纵坐标的一个方程来，就可以求出点M 的坐标；

②点Q 是线段AE 上的动点（不与点A，E 重合），先求出直线AM 的解析式为y＝﹣x﹣4，直线EM 的解析式为y＝﹣5x﹣10，可知-5 < k < -1 , 结合题

目条件可知K 的取值有三种情况，把每种情况的函数解析式求出来，从而可求出点Q 的坐标。