【必考题】高一数学下期末试题带答案

【必考题】高一数学下期末试题带答案

一、选择题

1．已知向量()cos ,sin a θθ=，()

1,2b =，若a 与b 的夹角为6

π

，则a b +=（ ）

A ．2

B

C

D ．1

2．在ABC ?中，2AB =

，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ?所在平面内一点

且满足2

2

2

OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）

A ．

1

2

B ．1

C ．

2

D ．

32

3．函数()23sin 23f x x π??

=- ???

的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ??

?

??? B ．7,1212ππ??

?

??

? C ．,22ππ??

-

???

? D ．5,66ππ??

-

???

? 4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则

(1)(2)f +f (3)(2020)f f ++

+=（ ）

A ．50

B ．2

C ．0

D ．50-

5．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个

单位长度，得到曲线C 2

6．已知{}n a 的前n 项和2

41n S n n =-+，则1210a a a ++

+=（ ）

A ．68

B ．67

C ．61

D ．60

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．20

B ．10

C ．30

D ．60

8．设函数f (x )=cos (x +

3

π

)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为?2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=

83

π

对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=

6

π D ．f(x)在(

2

π

,π)单调递减 9．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线

:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于

4

5

，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,

2

B ．3(0,]4

C ．32

D ．3[,1)4

10．1

()x

f x e x

=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2

B ．1(,1)2

C ．3(1,)2

D ．3(,2)2

11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式

()0f x >的解集为（ ）

A ．33,0,22?

???-∞- ?

?????

B ．33,,22????-∞-?+∞ ? ?????

C ．33,22??

- ?

??

D ．33,0,22????-

?+∞ ? ?????

12．若函数()(),1

231,1

x

a x f x a x x ?>?=?-+≤??是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．2,13??

???

B ．3,14??

????

C ．23,34??

???

D ．2,3??

+∞

???

二、填空题

13．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b

的等比中项，则

11

a b +的最小值是__． 14．已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14

m x y

+≥恒成立的实数m 的范围是

__________

15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.

16．设a ，b ，c 分别为ABC ?内角A ，B ，C 的对边.已知

233a b c

-=

，则222

a c

b ac

+-的取值范围为______. 17．已知ABC ，135B ∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ?=______． 18．若,2παπ??∈

???

，1sin 43πα?

?+= ???，则sin α=_________

19．若21cos 3

4

π

α??-

= ?

?

?，则sin 26πα?

?+= ???________． 20．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，15

82a a +=，2481a a ?=，记数列2n a ??????

的前n 项和为n T ，则使不等式1

2019

113

n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 三、解答题

21．某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数； （2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率；

（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．

22．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是

[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.

()1求图中m 的值；

()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；

()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.

分数段

[)90,100

[)100,110

[)110,120

:x y

6:5

1:2

1:1

23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为

ABC 外接圆的半径，22243

a c

b +-=

，其中S 为ABC 的面积． （1）求sin C ；

（2）若23a b -=ABC 的周长．

24．已知数列{}n a 满足：()*

22,21,n n a S n a n N ==+∈

（1）设数列{}n b 满足()11n

n b n a =?+，求{}n b 的前n 项和n T ：

（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式； 25．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n

n a b n

=． （1）求123b b b ，

，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；

（3）求{}n a 的通项公式．

26．已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （2

3,4m m +） （1）求证：AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】

先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质2

2()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】

因为()cos ,sin a θθ=，()

1,2b =， 所以||1a =，||3b =.

又2

2

2

2

2

2()2||2||||cos

||6

a b a b a a b b a a b b +=+=+?+=+π

+

137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据平面向量基本定理可知()

1

2

AE AB AC =

+，将所求数量积化为11

22

AB AO AC AO ?+?；由模长的等量关系可知AOB ?和AOC ?为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ?和AC AO ?化为212AB 和21

2

AC ，代入可求得结果.

【详解】

E 为BC 中点 ()

1

2

AE AB AC ∴=

+ ()

111

222

AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴?=+?=?+?

222

OA OB OC == AOB ∴?和AOC ?为等腰三角形

211

cos 22

AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴?=∠=?=，同理可得：21

2

AC AO AC ?=

221113

14422

AE AO AB AC ∴?=+=+=

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：

()223sin 23sin 233f x x x ππ???

?=-=-- ? ????

?，

其单调增区间满足：()23222232

k x k k Z π

π

πππ+≤-≤+∈， 解得：()713

1212

k x k k Z ππππ+

≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ??

????

. 故选A . 【点睛】

本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合

(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，

()32f =-，()40f =，问题得解.

【详解】

因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -

所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ????+=++=-+=-=-???? 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ????+=++=-+=--=???? 所以函数()f x 的周期为4，

在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==

在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020

(3)(2020)12344

f f f f f f ??++

+=

?+++?? 50500=?=

故选C 【点睛】

本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．

5．D

解析：D 【解析】

把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π

6

）=sin （2x +

2π

3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ω?=+∈是奇函数π()k k Z ??=∈；函数sin()()y A x x R ω?=+∈是偶函数π

π+

()2

k k Z ??=∈；函数cos()()y A x x R ω?=+∈是奇函数

π

π+()2

k

k Z ??=∈；函数cos()()y A x x R ω?=+∈是偶函数π()k k Z ??=∈.

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

首先运用11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可

得到答案． 【详解】

当1n =时，112S a ==-；

当2n ≥时，()

()()2

2

141141125n n n a S S n n n n n -??=-=-+----+=-??

， 故2,1

25,2n n a n n -=?=?-≥?

；

所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，

()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S ++

+=-+++++=-=-?-=.

故选：B ． 【点睛】

本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】

由三视图可得几何体直观图如下图所示：

可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322

S =

??= ∴三棱锥体积：1115

410332

V Sh ==??=

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.

8．D

解析：D 【解析】

f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3??

???＝cos 8ππ33??

+ ???

＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ?

?++ ??

?＝－cos π3x ??+ ???，∴f ππ6??+ ???＝－cos ππ63??

+ ???

＝－cos 2π＝

0，故C 正确； 由于f 2π3??

???＝cos 2ππ33??+ ?

??

＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ?? ???上不单调，故D 错误． 故选D.

9．A

解析：A 【解析】

试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，

2a =，设(0,)M b ，则45b d =

，所以

44

55

b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又

22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <

≤

．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．

【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

10．B

解析：B

函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （1

2

）=e ﹣2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（1

2

，1），故选B ．

点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.

11．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】

解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示，

从图象知：33022f f ????=-= ? ?????

， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22?

???-∞-? ? ?????

. 故选：A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围.

当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，

当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23

a >， 且在1x =处，有：()1

2311a a -?+≥，解得：34

a ≤

， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34?? ???

. 本题选择C 选项. 【点睛】

对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．

二、填空题

13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：

【解析】

由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则2

33,1a b ab =?∴=

则

111111122ab a b ab a b a b a b ????

+=+?=+?=+≥= ? ?????

，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2

【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．

14．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m 的范围【详解】由题意知两个正数xy 满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查 解析：9

4

m ≤

【解析】 【分析】

由题意将4x y +=代入

14

x y

+进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m 的范围．

由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则

14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y

=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94

， 不等式

14m x y +≥恒成立，9

4

m ∴≤． 故答案为9

4

m ≤． 【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

15．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni

解析：18 【解析】

应从丙种型号的产品中抽取300

60181000

?

=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝

n ∶N ．

16．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦

解析：()

()0,2

【解析】 【分析】

把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即

C 角，从而得B 角的范围，注意2

B π

≠

，由余弦定理可得结论．

【详解】

=

，所以()

()2cos cos cos cos 0a C B B C =?≠，

所以()

2sin cos cos A B C C B =，

即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos C =， 则6

C π

=

，因为cos 0B ≠，所以50,

,226B πππ????

∈ ? ??

???

，

而2222cos a c b B ac +-=，故()

()2220,2a c b ac

+-∈.

故答案为：()

()0,2．

【点睛】

本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略

cos B 不能等于0.

17．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题

解析：16 【解析】 【分析】

由正余弦定理可得cos A ∠，

由平面向量的数量积公式有：

cos 165

AB AC AB AC A ?=∠==，得解． 【详解】

由余弦定理可得：2222cos13540AC AB BC AB BC =+-?=，

所以AC = 由正弦定理得：sin sin135

BC AC

A =∠，

所以sin A ∠=

所以cos A ∠=

，

即cos 16AB AC AB AC A ?=∠==， 故答案为16 【点睛】

本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题

18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属

解析：

46

+ 【解析】 【分析】

利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】

因为1sin 43πα??

+

= ??

?,,2παπ??∈ ???,故cos 4πα??+== ??? sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα?????

?+-=+-+ ? ? ??????

?=

1sin cos 443ππαα???????

?=+-+=-=?? ? ?? ????????????

.

故答案为：46

+【点睛】

本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.

19．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：

78

【解析】 【分析】

根据诱导公式,将三角函数式21

cos 3

4πα??-= ??

?化简可得1sin 64

πα??-= ???,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα?

?

+ ??

?

即可得解. 【详解】 因为21cos 3

4

πα??-

= ??

? 化简可得1cos 624ππα

?

?--= ???,即1cos 264ππα????--= ????

???

由诱导公式化简得1sin 64πα?

?-= ??

?

而sin 26πα??

+

??

?

cos 22

6π

πα??=-- ???

cos 2cos 233ππαα???

?=-=- ? ?????

cos 26πα?

?=- ??

?

由余弦的二倍角公式可知cos 26πα?

?- ???

212sin 6πα?

?=-- ??

?

2

17

1248

??=-?= ???

故答案为: 78

【点睛】

本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.

20．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2?a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通

解析：6 【解析】 【分析】

设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2?a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{

2

n

a }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|

1

3

T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】

数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2?a 4=81=a 1a 5， 即15158281a a a a +=??

?=?解得15181

a a =??=?，则公比3q =，∴1

3n n a -=，

则212222133

3n n T -=

++++ 11132311313

n n -

??=?

=- ???

-， ∴12019

113n T ->，即1

201913

n ?>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

21．（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2）

0.1,0.16；（3）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的平均数即为甲部门评分的中位数．同理可得乙部门评分的中位数．（2）甲部门的评分高于90的共有5个，所以所求概率为

550；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为8

50

．（3）市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小．

试题解析：解：（1）由所给茎叶图知，将50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故甲样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是75．

50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为

6668

672

+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67． （2）由所给茎叶图知，50位市民对甲，乙部门的评分高于90的比率为

58

0.1,0.165050==，故该市的市民对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为0.1,0.16；

（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低，评价差异较大．（注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）． 考点：1平均数，古典概型概率；2统计． 22．（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人 【解析】 【分析】

(1)根据面积之和为1列等式解得.

(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可. 【详解】

解：()1由()1020.020.030.041m ?+++=, 解得0.005m =.

()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,

即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593?+?+?+?+?=.

()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)

110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在

[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的

有140人. 【点睛】

本题考查了频率分布直方图,属中档题.

23．（12 【解析】 【分析】

（1）由正弦可得R 2sin a

A

=

，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解；

（2）由正弦定理得sin

sin a A b B ==

，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解. 【详解】

（1）由正弦定理得cos 2sin a

a A A

=

，sin21A ∴=，又022A π<<， 22

A π

∴=

，则4

A π

=

.

由2221csin 32a c b a B +-=

?，由余弦定理可得2cos sin 3

ac B ac B =，

tan B ∴=

0B π<<，=

3

B π

∴，

()sin sin sin 43C A B ππ??

∴=+=+=

???

.

（2

）由正弦定理得

sin sin a A b B ==

，

又a b -=

a b ?=?∴?=??

又sin 4

C =

42c ∴==

a b c ∴++=

+. 【点睛】

解三角形的基本策略：

一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 24．（1）()1

122n n T n +=-?+（2）证明见解析,n a n =

【解析】 【分析】

（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2n

n b n =?，利用错位相减求出n T 。

（2）利用公式11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥? 化简即可得证。再利用11a =，22,a =求出公差，即可写出通项公式。 【详解】

解：()1在()21n n S n a =+中，令1n =，得11a =，所以2n

n b n =?

12312+22+223++n n n T =????，①

21342=12+22+32+

1)+(2+2n n n n n T +-?????，②

①-②得2

1

3

11

12+12+122(12)12++2

=212

n n n n n n n T ++-?-?-?-=-???

化简得()1

12

2n n T n +=-?+

()2由()21n n S n a =+得：()()()112112n n S n a n --=-+≥，两式相减整理得： ()()12110n n n a n a ----+=

从而有()1110n n n a na +--+=，相减得：()()()1111210n n n n a n a n a +--+---= 即112n n n a a a +-+=

故数列{}n a 为等差数列，又22a =，故公差1,n d a n =∴= 【点睛】

本题主要考查利用错位相减法求等差乘等比数列的前n 项的和，属于基础题。

25．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见

解析；（3）1

2n n a n -=?.

【解析】 【分析】

（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为

()121n n n a a n

++=

，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用

n

n a b n

=

，从而求得11b =，22b =，34b =； （2）利用条件可以得到121n n

a a n n

+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；

（3）借助等比数列的通项公式求得1

2n n a n

-=，从而求得12n n a n -=?.

【详解】

（1）由条件可得()121n n n a a n

++=

．

将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；

（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得

121n n

a a n n

+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n n

n a b n

--==?=，所以12n n a n -=?． 【点睛】

该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果. 26．(1)见解析(2) 1

2

-或1 【解析】

试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ?（2）由向量的平行

进行坐标运算即可. 试题解析：

(1)依题意得，()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ?=?+-?= 所以AB BC ⊥.

(2)(

)

2

33,3AD m m =++， 因为//AD BC

所以()()

2

332330m m +-+=

整理得2210m m --= 所以，实数m 的值为1

2

-

或1.