2018年考研数学二真题及答案解析
2018全国研究生入学考试考研数学二试题
本试卷满分150,考试时间180分钟
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.若1)(lim 2
1
2
=++→x bx ax e x
x ,则()
(A )1
,21-==
b a (B )1,21
--==b a (C )1,21==b a (D )1
,2
1
-==b a 2.下列函数中,在0=x 处不可导的是
(A )x x x f sin )(=(B )x x x f sin )(=(C )x
x f cos )(=(D )x
x f cos
)(=3.设函数???≥-=010,1)(x x x f ,<,??
?
??≥--≤-=0
,01,1
-,2)(x b x x x x ax x g <<,若)()(x g x f +在R 上连续,
则
(A )1,3==b a (B )2,3==b a (C )1
,3-==b a (D )2
,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导,且
?
=1
0)(dx x f ,则
(A )0)(<x f '时,0
)21(<f (B )0)(<x f ''时,0
)21(<f (C )0)(>x f '时,0
)2
1
(<f (D )0)(>x f ''时,0
)2
1
(<f 5.设dx x x M ?-++=2222
1)1(π
π
,dx e x
N x ?-+=221ππ,dx x K ?-
+=22
)cos 1(ππ,则 (A )K
N M >>(B )N K M >>(C )N
M K >>(D )M
N K >>6.
=
-+-??
?
?
----dy xy dx dy xy dx x x
x x
1
20
1
22
2
)1()1(
(A )
35(B )
65(C )
3
7(D )
6
77.下列矩阵中,与矩阵???
?? ??100110011相似的为
(A )?????
??1001101-11
(B )?????
??1001101-01
(C )????
? ??1000101-11
(D )????
? ??1000101-01
8.设A ,B 为n 阶矩阵,记)(x r 为矩阵X 的秩,)(Y X 表示分块矩阵,则(A ))
() (A r AB A r =(B ))() (A r BA A r =(C ){}
)(),(max ) (B r A r B A r =(D ))
() (T
T
B A r B A r =二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9.
]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞
→=
。
10.曲线x x ln 2y 2
+=在其拐点处的切线方程是 。
11.
dx x x ?
+∞
+-5
2
3
41
= 。
12.曲线?????==t
y t
x 3
3
sin cos ,在4t π=对应点处的曲率为。
13.设函数),(z y x z =由方程xy e
z z =+-1
ln 确定,则
|)
21,2(z
x ??= 。
14.设A 为3阶矩阵,321ααα,,为线性无关的向量组,若
3233223211-22αααααααααα+=+=++=A A A ,,,则A 的实特征值
为
。
三、解答题:15~23小题,共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分10分)求不定积分dx
e x x 1arctan
e 2-?
.
16.(本题满分10分)已知连续函数)(x f 满足2
)()(ax dt
t x tf dt t f x
x
=-+
??
(1)求)(x f .
(2)若)(x f 在区间[]1,0上的平均值为1,求a 的值.17.(本题满分10分)设平面区域D 由曲线()π2t 0c o s s i n ≤≤?
?
?-=-=t l y t
t x 与x 轴围成,计算二重积分
??+D
dxdy x )y 2(.
18.(本题满分10分)已知常数12ln k -≥,证明:0)1ln 2ln )(1-(2
≥-+-x k x x x . 19.(本题满分10分)将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值. 20.(本题满分11分)已知曲线)1,0()0,0()0(9
4y 2
A O x x L ,点,点:≥=
.设P 是L 上的动点,S 是直线OA 与直线AP 及曲线L 所围图形的面积,若P 运动到点(3,4)时沿χ轴正向的速度是4,求此时S 关于时间t 的变化率. 21.(本题满分11分)设数列{}n χ满足:01>x ,......)2,1(1e 1
n =-=+n e x n n x x ,
证明{}n x 收敛,并求n n lim x ∞
→. 22.(本小题11分)
设实二次型2
312
322
321321)()()(),,(x x x x x x x x x x f α+++++-=,其中α为是参数。(1)求0),,(321=x x x f 的解。 (2)求),,(321x x x f 的规范形。23.(本题满分11分)
已知a 是常数,且??????????-=a a A 7203121可经初等列变化为矩阵????
?
?????-=11111021a B 。 (1)求a ;
(2)求满足AP=B 的可逆矩阵P.
2018考研数学二参考答案
一、选择题
1.B
2.D
3.D
4. D
5.C
6.C
7.A
8.A
二、填空题
9.1
10.3
4-=x y 11.
2ln 21 12.3
213.
4
1
14.2 三、 解答题
15.解:
x
x x x de e dx e e 221arctan 211arctan -=-?
?
C e e e e C e e e e e d e e e e de e e e e dx e e e e dx e e e e e e x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x +-----?=+???
? ??-+---?=--+---?=
-+---?=---?=-+-?--?=????12
1)1(611arctan 2112)1(32411arctan 21)1(1
1
1411arctan 21111411arctan 211
411arctan 21)1(112211arctan 2123
223
2222222
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2
0000
2
00
122000
'22200x x
x t u
x
x
x x
x x
x
dx dx x x f t dt tf x t dt ax tf x t dt
x u f u du
f t dt x f u du uf u du ax x f x f u du xf x xf x ax
f x f u du ax x f x f x f x a
f x e ae dx C e ae C f -=--+-=-=
-∴+-=++-=∴+===+=??????∴=+=+??????
=??????????对两边对求导有:,当时,两边再对求导有:()()()()()()()()()1
001
1
101
1
22221212122212=1
102
x
x C a
f x a ae x f x f u du ax f f t dt a f a ae f t dt ae f t dt ae
e a ---- ∴=-∴=-=+=+==-∴=
=∴-∴=
????当时,由得由又,
()()()
()()()()()()()()()()()()()()()()()20
22
00
22
22
0223
0222
3
00
22340022|sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 4sin 1cos 2
4si y x D
y x x y dxdy dx x y dy
xy y dx xy x y x dx
t t t t t dt
t t t t dt
t t t dt t dt
t t t dt t dt t π
π
ππ
ππ
π
π
π+=+=+=+??=--+--????=--+-??=--+-=-+-=???
?
?
?????
?
?()22244600024560004626200
2
4
62
20
0n 4sin 2sin cos 8sin 2222216sin 16sin sin 16sin 22116sin 16sin |16sin 2628
16sin 0032sin 3
31163422t t t t t dt dt dt t t t tdt d tdt t tdt tdt
tdt tdt
πππππππ
π
π
πππ
π
πππ--+??
=-+ ???
=?
-?+=--+=+??????????25312
642235πππ
=+
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2220,1ln 2ln 12ln 2'100,11010
1ln 2ln 101ln 2ln 122ln '22ln 22'11,2,'0
2,,'02222l x f x x x k x x k
f x x x
f x f x f x x x x k x x f x x x k x k x x
f x x
g x k x x x g x x x
x g x x g x g x g k ∈=-+-=-+>∴∴<=-<∴--+-≥≥=-+-+-==+--=-
=∈<∈+∞>∴≥=+-①当时,令在上单调递增成立②当时,令再令当时当时()()()()()()()()2n 2ln 210'0,
1,1010
1ln 2ln 10k g x f x f x f x f x x x x k x ≥-∴≥∴≥∴+∞∴≥=-≥∴--+-≥在上单调递增此时成立综上,结论得证。
19解:
设圆的周长为x ,正三角周长为y ,正方形的周长为z ,由题设2=++z y x ,则目标函数:
163634)4()3(232122
22222z y x z y x S ++=+?+=πππ)(,故拉格朗日函数为
)2(16
3634,,,2
22-+++++=z y x z y x z y x L λπλ)(则:
02=+=
λπ
x
L x 036
32=+=
λy
L y 016
2=+=
λz
L z 0
2=-++=z y x L λ解得4
331
,4338,433364332++-=
++=++=++=
πλπππππz y x ,. 此时面积和有最小值4
331
++=
πS .
20.
02
020002
023
00
00200000041
49,,1
9414129(1)922712293,4
12410
2x x P x x AP y x x x S x x dx x x x dS dS dx dx x dt dx dt dt
dx x dt -??∴=+ ???-=+-=+??==+ ???==??
∴=+?= ???
?令点为直线为上式21.
证明:设则有,0,1)(>--=x x e x f x
11,0)(,01)('>->>-=x
e x
f e x f x x
因此,
从而;0,11
-21
12
>>=x x e e x x 猜想现用数学归纳法证明;
,01>x
成立;
时,,011>=x n 假设
;
0,111,0,......)2,1(11
>>-=+=>==++k e
x x k x x e e
k n x k k n k k 所以时有
则时,有因此有下界,0>n x .
又;1ln ln 1ln 1n
n n
n x n x x n x n n e
x e e x e x x -=--=-+设
.
0)('0,
1)(<-=--=>--=x x x x x x xe xe e e x g x xe e x g 时,22解:(1)由得0),,(321=x x x f ???
??=+=+=+-,
0,0,
031
32321ax x x x x x x 系数矩阵
,20011
020
101101111???
?
? ??-→????? ??-=∨a a A ;0,3)(2321====≠x x x A r a
方程组有唯一解:时, .
,112,2)(2R k k x A r a ∈???
?
?
??--===方程组有无穷解:时,(2)这是一个可逆变换,时,令???
??+=+=+-=≠,
,
,
2313
3223211ax x y x x y x x x y a 因此其规范形为;
2
32
22
1y y y ++.
,
2
)(3)23(262622)2()(),,(22
22123223223
1322
322212
312321321y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f a +++--=+-++=+++-==此时规范形为时,因此其规范形为;
2
32
22
1y y y ++
23解:
(1)A 与B 等价,则r(A)=r(B),
又2
,
023
1011
2
1
1
11110
21
00
93031217203
1211313==-=++-==--=a a a a r r a B a r r a
a A 所以(2)AP=B ,即解矩阵方程AX=B:
323213213213213232132132112121
246-46-36-0;
12121246-46-36-0000001112104436011112721100312212
21),(k k k k k k k k k k k k k k P k k P P k k k k k k k k k P r B A ≠???
?
? ??---+++=≠≠???
?? ??---+++=??
?
?? ??----????? ??--=为任意常数,且,,,其中最终,
,即可逆,所以又得