六年级+++数学方法课(放缩法)
数的估算时常用方法
（1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果．（2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式．
数的估算(放缩法)
【例 1】求数
10
100
a=+
10
101
+
10
102
+ +
10
110
的整数部分．
【考点】数的估算【难度】2星【题型】填空
【解析】这道题显然不宜对分母中的11个分数进行通分求和．要求a的整数部分，只要知道a在哪两个连续整数之间．
因为a中的11个分数都不大于10
100
，不小于
10
110
，
所以10
110
?11<
10
100
+
10
101
+
10
102
+ +
10
110
<
10
100
?11
即１<10
100
+
10
101
+
10
102
+ +
10
110
<1.1
由此可知a的整数部分是1．【答案】1
【巩固】已知
111111
1
245678
A=++++++，则A的整数部分是_______
【考点】数的估算【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试
【解析】
11111111111114
112
23456784488888
A+++++++>++++++
==；
11111111111111141
11()23
2345678241245555512 A+++++++<++++++++++<
==所以A的整数部分是2。
【答案】2
【例 2】求数
1
1111
10111219
+++
的整数部分是几？
【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空【关键词】第三届，华杯赛，复赛
【解析】
111
1 1111111110
101112191010101010
>== ++++++
知识点拨
放缩法
111
1.91111111110101112191919191919
<==++++++ ，即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1.
【答案】1
【巩固】 求数
1111112131421
++++ 的整数部分．
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】
111
1.21111111110121314211212121212>==++++++++ ， 又111111111
11110512131421122113201617161717????????++++=++++++>+?> ? ? ? ?????????
， 所以
11
1.71111101213142117
<==++++ ， 即1
1.2 1.712131421
<
<++++ ，所以其整数部分是1． 【答案】1
【巩固】 已知：S 1
1111 (1980198119822006)
=++++,则S 的整数部分是 .
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2006年，清华附中，入学测试
【解析】 如果全是11980，那么结果是1733，如果全是12006，那么结果是87427，所以1733＜S ＜8
7427
，
不能确定S 的整数部分.我们不妨采用分段估值，有： 10107111110107
(1989199920061980198119822006198019902000)
++<++++<++
则
111
10107111110107
(1989199920061980198119822006198019902000)
<<++++++++
大家马上会被这个计算量吓住了！这只是我们的第一次尝试，如果不行我们还要再次细化分段，计算量的庞大让我们有些止步了.那么我们有没有更好的方法来解决这个问题呢？答案是：有！ 下面先让我们来看看两个例子：
⑴11111198019811982198319841119811983198219822198119831981198319821982198211198019841982198221980198419801984198219821982
++++
+++=>=
??+++=>=
?? 那么也就有：
1111115198019811982198319841982
++++>? （2）111119801981198219831119801983198119821119801983198019831981198219811982
+++
+++=>=+
??
那么也就有：
111111()24198019811982198319811982
+++>+÷? 聪明的你从中会发现一个找“最小界限的新规律”，那么再让我们回到原题来看看吧！ 27111127
...199319801981198220061980<++++<
则221993
1
19801
73
731111
2727
273
(1980198119822006)
=<<
=++++，由此可以确定整数部分是73． 【答案】73
【巩固】 已知1
111199519962008
A =
+++ ，则与A 最接近的整数是________．
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】仁华学校
【解析】 由于111
199519962008>>>
， 所以14111111414141995199519951996200820082008=?>+++>?=
， 所以199512008
1111414199519962008A <=<+++ ，
即7199520086
142.5142143143.514141414
A ==<<=<，
那么与A 最接近的整数是143． 小结：由于只需要求与A 最接近的整数，而不是求A 的整数部分，所以进行上述放缩已经足够．但是如果要求A 的整数部分，又该如何进行呢？
将分母中的14个分数两两分为一组：1119952008+，1119962007+，……，11
20012002
+
(分组的标准在于每组中两个分数的分母之和相等，此处有偶数项，恰好可以两两分组；如果有奇数项，则将中间的一项单独分为一组)，根据“两数之和一定，差越小积越大”， 可知199520081996200720012002?
所以111
199520081996200720012002>>>
??? ， 可得111111199520081996200720012002+>+>>+
，所以 111111147271995199620082001200220022002
??+++>+?>??= ??? ， 所以2002
14314
A <=，即142.5143A <<，所以A 的整数部分为142．
【答案】142
【巩固】 1
111130313249
+++???+的整数部分是________．
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 由于304931483940?
304931483940
>>>
??? ， 797979304931483940>>>??? ，即111111
304931483940
+>+>>+ ，
所以1111111
11101030313249394040402????++
+???+>+?>+?= ? ?????
，
所以
11
211111303132492
<=+++???+，
又111112
2030313249303+++???+
113111122303132493
>=+++???+， 所以1
111130313249
+++???+的整数部分是1．
【答案】1
【巩固】 1
11111
20072006200520042003
++++
的整数部分是 ．
【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 对分母进行放缩．令1
11111
20072006200520042003s =++++
，
则120033
400111115520032003200320032003
s >
==++++
， 又200720032006200420052005+=+=+，根据两个数和一定则差越小积越大， 所以200720032006200420052005?
则111
200720032006200420052005
>>
???，可得 11111
220072003200620042005+>+>?，所以120054011552005
s <==?， 即3
4004015
s <<，所以s 的整数部分为400．
【答案】400
【例 3】 已知()1111111
15111929411110099
N k k =++++++++++- ，求N 的整数部分．
【考点】数的估算 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 题中已经指明，式子中每一项的分母都可以表示成()11k k +-，对于()11k k +-不好直接进行处
理，很容易联想到()1k k +及()1k k -，所以可以进行放缩． 由于()()()1111k k k k k k -<+-<+，所以
()()()111
1111k k k k k k
<<++--，那么
111111111111111123344510010123341001012101N >+
++++=+-+-++-=+->???? ， 111111111111
11122122334991002233499100100
N <+++++=+-+-+-++-=-
12N <<，那么N 的整数部分为1．
小结：从式子中也可以直接看出1N >，所以对于这一点也可以不进行放缩．
【答案】1
【例 4】 A =8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，A 的整数部分是________. 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第六届，小数报，决赛 【解析】 方法一：A >8.8?5=44 ，A <9?5=45 ，所以A 的整数部分是44 .
方法二：将原式变形后再估算
A =8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998
=(9-0.2+(9-0.02)+(9-0.002)+(9-0.0002)+(9-0.00002)=45-0.22222
所以A的整数部分是44 .
【答案】44
【巩固】a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分是。
【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空
【解析】a=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222
所以a的整数部分是54。
【答案】54
【巩固】已知x=0.9+0.99+0.999+ +0.9999999999．求x的整数部分．
【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空
【解析】方法一：要求x的整数部分，必须找到x介于哪两个连续整数之间即a 方法二：将原式变型后再估算． x=0.9+0.99+0.999+ +0.9999999999 =(1-0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)+ +(1-0.0000000001) =10-(0.1+0．01+0.001+ +0.0000000001)=10-0.1111111111 所以x的整数部分是9． 【答案】9 【例 5】计算8.01?1.24+8.02?1.23+8.03+1.22整数部分. 【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空 【关键词】第五届，华杯赛 【解析】方法一：在8.01?1.24+8.02?1.23+8.03+1.22中，各式的两个因数之和都相等. 根据两个数和一定时，这两个数越接近则乘积越大，所以8.01?1.24>8.02?1.23>8.03?1.22；则有1.22?8.00?3<1.22?8.03?3<原式<1.24?8.01?3<1.25?8.00?3 ，即29.28<原式<30 ，所以原式的整数部分是29 . 方法二：为了使计算简便，可以把8.01、8.02、8.03分成整数和小数两部分计算，小数部分可以进行估算 8?1.24+8?1.23+8?1.22=8?(1.24+1.23+1.22)=8?3.66=29.28 0.01?1.24+0.02?1.23+0.03?1.22≈0.01?1+0.02?1+0.03?1=0.06 因为0.06不会影响整个算式的整数部分，所以整数部分是29． 【答案】29 【例 6】老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了．”那么，正确的得数应是___ ___. 【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空 【解析】法1：因为14.7这三个数字正确，14.7×7＝102.9，所以，这七个自然数的和只可能是103，104，…… 等，当和为103时，平均数为103÷7≈14.71，当和为104时，平均数为104÷7≈14．86，就不符已知条件了，所以，七个自然数的和是103，平均是14.71． 法2：此题可以用放缩法：由题意知：14.70≤平均数≤14.79，所以这7个数的和介于102.90和103.53之间，又由于7个自然数的和必然是整数，所以是103。则正确的平均数是103÷7＝14.71 . 【答案】14.71 【巩固】有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9．那么，精确到小数点后两位数是多少？ 【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空 【解析】利用放缩法，13个自然数之和必然是整数，又有26.85≤平均数<26.95，则这13个自然数的和介于13?26.85和13?26.95之间．即在349.05和350.35之间，所以只能是350．所以350÷13=26.923，则精确到小数点后两位数是26.92 . 【答案】26.92 【例 7】已知除法算式：12345678910111213÷31211101987654321．它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是. 【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空 【解析】各取被除数、除数前两位，有：原式>12÷32=0.375，原式<13÷31≈0.4194 ；在0.375～0.4194之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩的范围太大. 再各取被除数、除数前三位，有：原式>123÷313≈0.3930，原式<124÷312≈0.3974，仍无法确定； 又各取被除数、除数前四位，有：原式>1234÷3122≈0.3953，原式<1235÷3121≈0.3957.说明原式的结果在0.3953～0.3957之间，因此，小数点后前三位数分别是3，9，5. 【答案】3，9，5. 【例 8】求1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 的整数部分是多少? 【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空 【解析】分段放缩. 11 43< 69 ?+?原式 11 34 36 2 1 3 ，所以原式整数部分为1． 【答案】1 【巩固】A=1＋1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ＋ 1 5 ＋ 1 6 ＋ 1 7 ＋ 1 8 ＋…＋ 1 16 的整数部分是多少? 【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空 【解析】把算式中的分数放大或缩小，如果全部放大为1 2 ，则A＜8 1 2 ；全部缩小为 1 16 ，则A＞1 15 16 ， 这样无法确定A的整数是多少，于是我们来用一种分段放大和缩小的办法．1＋1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ＋… ＋ 1 16 ＞１＋ 1 2 ＋（ 1 4 ＋ 1 4 ）＋（ 1 8 ＋ 1 8 ＋ 1 8 ＋ 1 8 ）＋（ 8 111 161616 +++ 个 ），通过计算得1＋ 1 2 ＋ 1 3＋ 1 4 ＋…＋ 1 16 ＞3，1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ＋…＋ 1 16 ＜1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋（ 1 4 ＋ 1 4 ＋ 1 4 + 1 4 ）+（ 1 8 ＋ 1 8 ＋ 1 8＋ 1 8 + 1 8 ＋ 1 8 ＋ 1 8 ＋ 1 8 ）+ 1 16 ，即A＜3 43 48 ，因为3＜A＜3 43 48 ，所以A的整数部分是3． 【答案】3 【例 9】 11111111 110 2468109698100 ?? -+-+-++-+? ? ?? 的整数部分是。 【考点】数的估算【难度】4星【题型】填空【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级 【解析】原式必然小于 1111 110 2468 ?? -+-+? ? ?? ，大于 11111 110 246810 ?? -+-+-? ? ?? ，容易计算出原式的值在 6.08至 7.08之间，故其整数部分为7. 【答案】7 【例 10】有一列数，第一个数是133，第二个数是57，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第16个数的整数部分是_______． 【考点】数的估算【难度】3星【题型】填空 【解析】由已知： 第三个数＝(133＋57)÷2＝95， 第四个数＝(57＋95)÷2＝75， 第五个数＝(76＋95)÷2＝85.5 第六个数＝(85.5＋76)÷2＝80.75， 第七个数＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125， 第八个数＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375， 第九个数＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125． 第十个数＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375， 从第十一个数开始，以后任何一个数都82.53125与82.234375之间，所以，这些数的整数部分都是82，那么第16个数的整数部分也82． 【答案】82 【例 11】 试求2222 1111 1011121000++++ 误差小于0.006的近似值． 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 222211111111 101112100010111112121310001001++++>++++ ???? 11111111 10111112121310001001=-+-+-++- 1111 101001101000=->- 0.10.0010.099=-=， 又2222111111111011121000910101111129991000++++<++++???? 11111111 910101111129991000=-+-+-++- 110.1120.0010.11191000 =-<-=， 由于(0.0990.111)20.105+÷=， 所以2222 11110.1051011121000 ++++≈ (误差小于(0.1110.099)20.006-÷=) 【答案】0.105 【例 12】 在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立：10111819 __________11121920 <++++< 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，一试 【解析】 一共有10项，这个值大于1011×10=1911 ，小于191 109202?=，所以应该分别填入9和10. 【答案】9；10 【例 13】 记A ＝137151023 248161024 +++++ ，那么比A 小的最大自然数是 。 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，第十三届，华杯赛，决赛 【解析】 9 【答案】9 【例 14】 六个分数 12，13，15，17，111，1 13 的和在哪两个连续自然数之间？ 【考点】数的估算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2009年，第14届，华杯赛，决赛 【解析】 在1和2之间。 111111 23571113 +++++ 11111121331157?????? =+++++ ? ? ? ?????? 15 1412 263335 = ++。 因为151412263335+ +＜151412262626++41 26= ＜2， 又因为 15 141226 3335++＞151412 353535++ ＞1， 所以六个分数12，13，15，17，1 11，113 的和在1和2之间。 【答案】1和2 【例 15】 已知：1979188011871088 991981188211891090 A ?+?++?+?=??+?++?+? ，那么[]A = 【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 1921821121021991981188211891090A ?+?++?+?? ?=-? ??+?++?+??? 19198181981119810198 991981188211891090 ?+?++?+?=-?+?++?+? 1919818198111981019819162181641117810180 2 19811882118910901981188211891090?+?++?+??+?++?+?>=?+?++?+??+?++?+? 1919818198111981019819243182461126710 270 319811882118910901981188211891090?+?++?+??+?++?+?<=?+?++?+??+?++?+? 所以 99 3 9A -<<-，即9697A <<，[]96A = 【答案】96 【例 16】 计算： 9102582629 392733 +++++= ； （四舍五入保留至小数点后第三位，注：10359049=） 【考点】数的估算 【难度】5星 【题型】填空 【解析】 设9102582629392733A +++++= ，则10112582629 39278133A =+++++ 910118 9 11 23 3 332921111279 7 33927333339333 A A +-- =+++++-=+++++- 623711211611 1 111171711731111133333363313 - ??=+++++=+?+=+-+ ???- 611 311137 1.750244323A = +-?+?≈ 【答案】1.750 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确． 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 “放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小高中数列放缩法技巧大全
高中数学放缩法技巧全总结材料
各种数学归纳法
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
常用放缩方法技巧
第一轮复习 放缩法技巧全总结
高中数学放缩法公式
用放缩法证明不等式的方法与技巧答案