1.1(一)

明目标、知重点 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

[情境导学]

从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理：分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这正是本节我们要研究的重点内容.

探究点一分类加法计数原理

思考1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？其中最重要的特征是什么？

答因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码.

最重要的特征是“或”字的出现：每个座位都可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号. 思考2由思考1你能归纳出一般结论吗？

答分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

思考3分类加法计数原理中的“不同的方法”与“完成这件事”有什么关系？

答分类加法计数原理中的“不同的方法”都能独立“完成这件事”，与“其他方法”没关

系.

例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A 、B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

解 这名同学可以选择A 、B 两所大学中的一所.在A 大学中有5种专业选择方法，在B 大学中有4种专业选择方法.又由于两所大学没有共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5＋4＝9.

反思与感悟 (1)在应用分类加法计数原理时，对于要完成的一件事，首先要看完成这件事有几类方案，各类方案是否都能独立的完成这件事，如果是，要计算方法种数，只需将各类方法种数相加.(2)如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类方案中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有m 1＋m 2＋m 3＋…＋m n 种不同的方法.

跟踪训练1 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？ 解 设个位数字为m ，十位数字为n ，且m ＜n . 当m ＝0时，n ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个； 当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7,8,9，有8个； 当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7,8,9，有7个； ……

当m ＝8时，n ＝9，有1个.

由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝9×(1＋9)

2＝

45(个).

即个位数字小于十位数字的两位数共有45个. 探究点二 分步乘法计数原理

思考1 如图，从丽水经杭州到上海的途径有多少种？你能归纳猜想出一般结论吗？

答所有途径为6×10＝60(种).

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

思考2用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码.

如图：

由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码.

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

思考3分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系？

答要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存. 思考4如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？答m1×m2×m3，m1×m2×…×m n.

例2设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

解第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；

第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择；

根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720(种)不同的选法.

反思与感悟利用分步乘法计数原理解决问题时，一定要正确设计“分步”的程序，即完成这件事共分几步，每一步的具体内容是什么，各步的方法、种数是多少，最后用分步乘法计

数原理求解.

跟踪训练2已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？

解圆的方程由三个量a、b、r确定，a、b、r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理得，可表示不同的圆的个数为3×4×2＝24.

探究点三两个计数原理的综合应用

思考比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理，你能找出它们的区别与联系吗？

答(1)相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题.

(2)不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事可分为若干类，各类方案相互独立，各类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.

例3书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，有多少种不同的取法？

(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

解(1)从书架上任取1本书，有3类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.

(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24.

(3)N＝4×3＋4×2＋3×2＝26.

反思与感悟解两个计数原理的综合应用题时，最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况，其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”，突破方法在于认真审题，明确“完成一件事”的含义.具体应用时灵活性很强，要在做题过程中不断体会和思考，基本原则是“化繁为简”.

跟踪训练3某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？

解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.

方法一分两类.

第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.

第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.

所以由分类加法计算原理知，共有18＋2＝20(种)选法.

方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.

第一类：甲入选.

(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；

(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).

第二类：甲不入选.可分两步.

第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法：第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法.

综上，共有8＋12＝20(种)不同选法.

1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()

A.7

B.12

C.64

D.81

答案 B

解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4×3＝12(种)不同的配法.

2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为()

A.1＋1＋1＝3

B.3＋4＋2＝9

C.3×4×2＝24

D.以上都不对

答案 B

3.十字路口来往的车辆，如果不允许调头，共有不同的行车路线()

A.24种

B.16种

C.12种

D.10种

答案 C

4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有________

个.

答案36

解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(个)虚数.

5.将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种.

答案216

解析每封信都有6种投法，共有6×6×6＝216(种)不同的投法.

[呈重点、现规律]

1.应用两个计数原理时，要仔细区分原理的不同，分类加法计数原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；分步乘法计数原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系.

2.通过对这两个计数原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用.

一、基础过关

1.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有()

A.50

B.26

C.24

D.616

答案 A

解析根据分类加法计数原理，因数学课代表可为男生，也可为女生，因此选法共有26＋24＝50(种).故选A.

2.已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为()

A.8

B.12

C.10

D.9

答案 D

解析分两步：

第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值，有3种不同的取法；

第二步，在集合{－3，－4,8}中任取一个值，有3种不同的取法.

故x·y可表示3×3＝9(个)不同的值.

3.某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()

A.27种

B.36种

C.54种

D.81种

答案 C

解析小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有

2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法，选C.

4.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对

答案 C

解析 与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有96

2

＝48对.

5.张华去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有________种. 答案 7

解析 分3类：买1本书、买2本书、买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种).

6.4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有________. 答案 64

解析 本题中要完成的一件事：将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生. ∵跳高冠军的分配有4种不同的方法. 跳远冠军的分配有4种不同的方法. 游泳冠军的分配有4种不同的方法.

∴根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有 4×4×4＝64(种).

7.已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a ，b ，c ∈M ，则： (1)y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示多少个不同的二次函数； (2)y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数.

解 (1)a 的取值有5种情况，b 的取值有6种情况，c 的取值有6种情况，因此y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数.

(2)y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上时，a 的取值有2种情况，b 、c 的取值均有6种情况，因此y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数. 二、能力提升

8.植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有( ) A.1×2×3 B.1×3 C.34 D.43 答案 D

解析 完成这件事分三步：

第一步，植第一棵树，有4种不同的方法； 第二步，植第二棵树，有4种不同的方法； 第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法. 由分步乘法计数原理得：N ＝4×4×4＝43，故选D.

9.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A.56

B.65

C.5×6×5×4×3×22

D.6×5×4×3×2

答案 A

解析 每位同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5＝56(种).

10.如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个. 答案 40

解析 满足条件的有两类：

第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m 1＝8(个)； 第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m 2＝8×4＝32(个)， 所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个).

11.已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )表示平面上的点(a ，b ∈M )， (1)P 可以表示平面上的多少个不同点？ (2)P 可以表示平面上的多少个第二象限的点？ (3)P 可以表示多少个不在直线y ＝x 上的点？

解 (1)完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法有6种.由分步乘法计数原理知，P 可以表示平面上的6×6＝36(个)不同点. (2)根据条件需满足a <0，b >0.

完成这件事分两个步骤：a 的取法有3种，b 的取法有2种，由分步乘法计数原理知，P 可以表示平面上的3×2＝6(个)第二象限的点.

(3)因为点P 不在直线y ＝x 上，所以第一步a 的取法有6种，第二步b 的取法有5种，根据分步乘法计数原理可知，P 可以表示6×5＝30(个)不在直线y ＝x 上的点.

12.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，a ∈{1,2,3,4,5,6,7}，b ∈{1,2,3,4,5}，这样的椭圆共有

多少个？

解 依题意按a ，b 的取值分为6类， 第一类：a ＝2，b ＝1； 第二类：a ＝3，b ＝1,2；

第三类：a＝4，b＝1,2,3；

第四类：a＝5，b＝1,2,3,4；

第五类：a＝6，b＝1,2,3,4,5；

第六类：a＝7，b＝1,2,3,4,5.

由分类加法计数原理得：

这样的椭圆共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20(个).

三、探究与拓展

13.3个人要坐在一排8个空座位上，若每个人左右都有空座位，不同的坐法有多少种？

解3个人在一排8个空座位上坐下后，只剩下5个空座位，我们可以构造这样的解题过程，依次将3个人连同他的座位逐个地插入5个空座位的空当中去.由于每人左右都要有空位子，因此将第一个人连同他的座位插入时，不能插在两边，所以有4种插法[如图中的(1)到(2)]；然后将第二个人连同他的座位插入时，只有3种插法了[如图中的(2)到(3)]；最后将第三个人连同他的座位插入时，只有2种插法了[如图(3)到(4)].这时，我们再根据分步乘法计数原理，可以得到插入的不同的方法共有4×3×2＝24(种).

(1)○○○○○(3)○○□○○□○

(2)○○□○○○(4)○□○□○○□○

○表示没有坐人的座位□表示已经坐人的座位