考研数学模拟测试题完整版及答案解析数一

2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数一）

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）当0x →时，下面4个无穷小量中阶数最高的是 （ ）

2

3

5

45x x x ++

(C) 33

ln(1)ln(1)x x +--

(D) 1cos 0

x

-?

【答案】（D ）

【解析】（A ）项：当0x →

2

2x =

:

（B ）项：显然当0x →时，2352

454x x x x ++:

（C ）项：当0x →时，3333

3

3

333

122ln(1)ln(1)ln ln 12111x x x x x x x x x

??++--==+ ?---??:: （D

）项：1cos 3

1

10

0001(1cos )2lim

lim lim k k k x x x x x x x x kx kx ---→→→→-?===?

所以，13k -=，即4k =

时1cos 0

lim

k

x x

-→?

存在，所以

4

1cos 0

8

x -?

:

（2）下列命题中正确的是 （ ） (A) 若函数()f x 在[],a b 上可积，则()f x 必有原函数 (B)若函数()f x 在(,)a b 上连续，则

()b

a

f x dx ?

必存在

(C)若函数()f x 在[],a b 上可积，则()()x

a

x f x dx Φ=

?

在[],a b 上必连续

(D)若函数()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在该区间上必无原函数 【答案】 C

【解析】选项（A ）错误，反例：1,01

()2,12

x f x x ≤≤?=?<≤?，在[]1,2可积，但它无原函数。

选项（B ）错误，反例：1

()f x x

=

在(0,1)上连续，但101dx x ?不存在。

选项（D ）错误，反例：112cos sin ,0

()00x x f x x x

x ?

+≠?=??=? 在0x =处不连续，但其原函数可取2

1cos ,0

()00

x x F x x

x ?≠?=??=? 。所以，正确选项为（C ）。

（3）以下关于二元函数的连续性的说法正确的是 ( )

(A) (),f x y 沿任意直线y kx =在某点0x 处连续,则(),f x y 在点()00,x y 连续 (B) (),f x y 在点()00,x y 处连续,则()0,f x y 在0y 点连续,()0,f x y 在0x 点连续 (C) (),f x y 在点()00,x y 处偏导数()00,x f x y '及()00,y f x y '存在,则(),f x y 在点

()00,x y 处连续

(D) 以上说法都不对 【答案】B

【解析】由二元函数(),f x y 在点()00,x y 极限存在及在该点连续的定义知B 正确.

（4）设区域{}

22

(,)4,0,0D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为

常数，则D

I σ=

＝ ( )

(A) ab π (B) 2ab π (C) ()a b π+ (D) 2

a b π+ 【答案】D

【解析】D

I σ=

,D 关于y x =对称?

D

I σ=两式相加得

2()()D

D

I a b d a b σσπ==+=+??

2

a b

I π+?=

（5）设m n A ?矩阵经过若干次初等行变换后得到B ，现有4个结论正确的是： （ ） ①A 的行向量均可由B 的行向量线性表示 ②A 的列向量均可由B 的列向量线性表示 ③B 的行向量均可由A 的行向量线性表示 ④B 的列向量均可由A 的列向量线性表示

(A) ①、② (B) ③、④ (C) ②、③ (D) ①、③ 【答案】(D)

【解析】由题设A 经初等行变换得到B 知，有初等矩阵12,,,s P P P L 使得21.s P

P P A B =L 记 21s P P P P =L 则ij m m

P p ???=??

是可逆矩阵，将,A B 均按行向量分块有

11

1211121

212221

11m m m m m m m p p p p p p PA B p p p αβαβαβ??????

???????

?????===????

????????

??????

K K

g M M M M M M K

这表明1122(1,2,,)i i im m i p p p i m αααβ+++==L L ，故B 的行向量均可由A 的行向量线性表出，因ij m m

P p ???=??

是可逆矩阵，所以两边同乘1

P -得

1122

1m m P αβαβαβ-????

????????=????????????

M M 故故A 的行向量均可由B 的行向量线性表出。所以答案选(D)

（6）已知110110,001A ????=??

????

那么下列矩阵 110300121110,020,252001000121-??????

??????-??????????????????中，与A 合同的矩阵有 （ ）

(A) 3个 (B) 2个 (C) 1个 (D) 0个 【答案】A

【解析】A B ?;A 与B 有相同的正、负惯性指数.

由22222

123121232()T x Ax x x x x x x x x =+++=++ 知2,0.p q ==而

22222123121231101102(),001T x x x x x x x x x x -??

??-=++-=-+??????

2221231213231212525424121T x x x x x x x x x x x ??

??=+++++??????

()()()2

2

222

112323232323222254x x x x x x x x x x x x =++++-++++

()2

212322,x x x x =+++

221230002032,000T x x x x ??

??=+??????

均为2,0.p q ==所以他们都与矩阵A 合同

(7) 假设事件A 和B 满足1()0,()0P B P A >>>，且()1P B A =，则 （ ） （A ）()1P A B = （B ）()1P A B = （C ）()0P A B = （D ）()0P A B = 【答案】 （C ）

【解析】由已知条件()1()()P B A P AB P A =?= 先看（A ）()()

()()()

P AB P A P A B P B P B =

=，推不出等于1所以（A ）排除

（B ）()()()()()

()1()()()

P AB P B P AB P B P A P A B P B P B P B --=

==≠ 排除 （C ）()()()()()

()01()1()()

P BA P A P AB P A P A P A B P B P B P B --=

===--，故（C ）对

（D ）()1()101P A B P A B =-=-=，所以（D ）不对。故选（C ）

（８）已知随机变量X Y 和均服从(0,1)N ，且不相关，则 （ ）

(A) 22X Y +服从2

(2)χ (B) (,)X Y -不一定服从正态分布

(C) 2

2X Y

服从(1,1)F (D) X Y -服从(0,2)N

【答案】 （B ）

【解析】因为X Y 和均服从(0,1)N ，且不相关，不知道其是否独立，所以(A)（C ）（D ）不对。

二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） （9） 2222lim 14n n

n n n n n n →∞??+++= ?+++?

?L _______________ 【答案】

4

π

【解析】 2

2222111lim lim 141n n n i n

n n n n n n n i n →∞→∞=??+++= ?+++?

???+ ???

∑L

=

11

02

01arctan |14

dx x x π==+? （10）椭圆2

2

44x y +=在点()0,2处的曲率半径ρ=_________________ 【答案】

12

【解析】由820x yy '+=知4x y y

-'=，316

y y -''=。故0|0x y ='=，0|2x y =''=-，故在点()

0,2处的曲率为

3

22(0,2)

21y K y ''

=

='??+??

所以()0,2处的曲率半径为11

2

K ρ=

= （11）函数2

2

2

(,,)f x y z x y z =++在点11,,022M ??

- ???

处沿方向l i j =-v v v 的方向导数

f

l

?=?v

【解析】由于l i j =-v v v

，所以cos 0αβγ===为方向l v 的方向余弦，

因此，

)cos cos cos M M

M

f

f f f

x y l

x y z αβγ??????=?+?+?=-= ???????v

（12）幂级数

21

(1)

n n n a x ∞

+=-∑在2x =处条件收敛，则其收敛域为_______________

【答案】[0,2]

【解析】由

21

(1)

n n n a x ∞

+=-∑在2x =处条件收敛，得

0n

n a

∞

=∑条件收敛，即

n

n a

∞

=∑收敛但

n

n a

∞

=∑发散，即

()0

n

n a ∞=-∑收敛但0

n

n a

∞

=∑发散，所以

21

(1)

n n

n a x ∞

+=-∑在0x =处条件收敛，所以

21

(1)

n n n a x ∞

+=-∑的收敛域为[0,2]

（13）设1234,,,a a a a 均为n 维列向量，若123,,a a a 线性无关，41232a a a a =-+，构成矩阵1234(,,,)A a a a a =，则齐次线性方程组0Ax =的通解为_________________________. 【答案】(2,1,11)T

k --

【解析】由题设知, 123,,,a a a 线性无关, 1234,,,a a a a 线性相关,所以向量组1234,,,a a a a 的秩为3.注意到方程0Ax =中未知量个数为4,故方程的基础解系由1个非零解向量组成.

()1

23

421011a a a a ?? ?- ?= ? ?-??，故2111??

?- ? ? ?-??

是方程的一个非零解,所以也是0Ax =的一个基础解系,从而0Ax =的一个通解为(2,1,11)T

k --,其中k 是任意常数.。

（14）设随机变量X Y 和相互独立，且~(0,1),~(0,2)X N Y N ，则2

2

()D X Y +=______ 【答案】 10

【解析】 因为X Y 和相互独立，所以22

X Y 与相互独立， 2222

()D X Y DX DY +=+

由于~(0,1)X N ，所以22

~(1)X χ，故22DX =，~(0,2)Y N

~(0,1)N 22

~(1)2

Y χ，故22()282Y D DY =?=，所以2222()2810D X Y DX DY +=+=+=

三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （15）（本题满分10分）

设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足1222

2=??+??v

f

u f ，又)](21,[),(2

2y x xy f y x g -=，求.2222y

g x g ??+??

【解析】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ?ψ=的求导法则：

221()()2x y g f xy f x u x v x

??

?- ?

??????=+

????? f f y x u v ??=+?? （2分） 221()()2x y g f xy f y u y v x ??

?- ?

??????=+?????.f f x y u v

??=-?? （4分） 从而

22222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v ??????????=?+?++?+?????????????????

222

2

2222f f f f y xy x u u v v v ????=+++????? （6分） 222222

22g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v ??????????=?-?--?-?????????????????

222

2

2222f f f f x xy y u u v v v ????=-+-????? （8分） 所以 2222

22222222

222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v

??????+=+++=++??????=.22y x +（

10分） （10分） （16）（本题满分10分）

设()y y x =是区间(,)ππ-

内过点(的光滑曲线,当0x π-<<时,曲线上

任一点处的法线都过原点；当0x π≤<时,函数()y x 满足0y y x ''++=.求函数()y x 的表达式.

【解析】当0x π-<<时,设(,)x y 为曲线上任一点,由导数的几何意义,法线斜率为

1k dy dx

=-

, 由题意,法线斜率为

y

x

,所以有dy x dx y =-, （2分） 分离变量为 ydy xdx =-,

解得 2

2

x y C +=, （3分）

由初始条件(y =

,得2

C π=,所以

0.y x π-<< ① （4分）

当0x π≤<时,0y y x ''++=的通解为

12cos sin y C x C x x =+-, ② （6分） 12'sin cos 1y C x C x =-+-, ③

因为曲线()y y x =光滑,所以()y x 连续且可导,由①式知

(0)lim ()lim ,(0)(0)lim 0,

x x x y y x y y x

ππ

--

-

→→-

→===''=== （8分）

代入②、③式,得12,1C C π==,故 （9分）

cos sin ,0.y x x x x ππ=+-≤<

因此

, 0,

cos sin ,0.

x y x x x x πππ-<<=+-≤

分）

（17）（本题满分10分）

证明：（I ）设函数()f x 在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的()0x U x ∈，有()()0f x f x ≤，那么()00f x '=；

（II ）设函数()f x 在[],a b 可导，()()0,0f a f b +-''><，则()f x '在(),a b 内有零点。 【解析】（I ）对()00x x U x +?∈时，有()()00f x x f x +?≤ （1分） 当0x ?>时，

()()

000f x x f x x

+?-≤?；

当0x ?<时，

()()

000f x x f x x

+?-≥?. （3分）

由于函数()f x 在0x 处可导，再根据极限的保号性，可得

()()()()

00000

lim 0x f x x f x f x f x x

+

+?→+?-''==≤?

()()()()

00000

lim 0x f x x f x f x f x x

-

-?→+?-''==≥? （5分）

所以()00f x '=. （6分） （II ）由于()()()

lim 0x f a x f a f a x

+

+?→+?-'=>?，所以()()0f a x f a +?->，即在点

a 的右邻域内()()f x f a >； （7

分）

由于()()()

lim 0x f b x f b f b x

-

-?→+?-'=，即在点b

的左邻域内()()f x f b >； （8分）

所以，()f x 在[],a b 上的最大值不能在x a =或x b =处取到，

又因为函数()f x 在[],a b 上连续，所以函数()f x 在[],a b 内一定能取到最大值和最

小值，所以一定存在(),c a b ∈，使得()()[,]

max a b f c f x =，即：[],x a b ?∈，

()()f x f c ≤。

（9分） 所以，根据第一问的结论，有()0f c '=，即()f x '在(),a b 内有零点。 （10分）

（18）（本题满分10分）

设?

=4

tan π

xdx a n n

（1）求

∑

∞

=1

n n a a n n 2++的值。 （2）证明：对任意正常数,0>λ∑∞

=1n λ

n

a n

收敛。 【证明】（1）n a a n n 2++n

1

=

?

+4

2)tan 1(tan π

dx x x n

n

1=?

40

tan tan π

x xd n )

1(1

+=

n n 2分

∑

∞

=1

n n a a n n 2++=∑∞

=1

n )1(1+n n =1 4分

（2）?

=

4

tan π

xdx a n

n 1

2

1n

t dt t =+? 5分

+≤

1

1

1

n dt t n

6分 λ

n a n

<11)1(1+<+λλn

n n 8分 ∴>+,11λΘ∑

∞

=1

n 1

1+λn 收敛，由比较判别法可知

∑

∞

=1

n λn

a n

收敛。 10分 （19）（本小题满分10分）

设L 为从点(1,0)A -沿曲线3

y x x =-到点(1,0)B 的有向弧段，求第二型曲线积分

2

(sin 3cos )(sin )x L

I e x y y dx x y y dy =+-+-?

【解析】

()

()()()()()()2

2

2

2

1

3333311

3

3

3

3

2

133232(sin 3cos )(sin )sin 3()cos()sin()()()sin 3()cos()sin()()13sin 3()()13cos()13sin(x L

x x x I e x y y dx x y y dy

e x x x x x dx x x x x x d x x e x x x x x x x x x x x

dx

e

x x x x x x x x x x x --=+-+-=+---+----=+---+----=+------+-??? ()

1

31

)x dx

--?

（4分）

由于(

)2

33

2

sin 3()()13x e x x x x x x

+----为奇函数，所以 （6分）

()()()()1

3

2

3

11

12

3

311

1

13

3

31

1

1

1

3

31

1

1

1

3133

11

1

cos()13sin()13sin()cos()sin()cos()cos()cos()cos()|cos()cos()2

I x x x x x x dx

x x x x dx x x dx

x x x d x x x x dx

xd x x x x dx

x x x x x dx x x dx ----------=--+--=----=----=----=--+---=-?

???????? （10

分）

（20）（本题满分11分）

设4维向量组 ()()()1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,T

T

T

a a a ααα=+=+=+

()44,4,4,4T

a α=+问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求

其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【解析】记1234[,,,]A αααα=，则

1234123412341

2

3

4a a a a

++++=102341023410234102

3

4a a a a a a

a

+++++++

1

234123

4(10)

12341

2

3

4a a a a

+=+++31234

000(10)

(10)000000a a a a a a

=+=+（4分）

根据线性相关性的定义，存在一组不等于零的数1234k ,k ,k ,k ,使得

112233440k k k k αααα+++=成立，则1234,,,αααα线性相关.于是当0A =时方程组有

非零解，此时满足线性相关的定义，即3

(10)0a a +=，解得当0a =或10a =-时，

1234,,,αααα线性相关. （4分）

当0a =时，1α为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===. （6分） 当10a =-时,对A 作初等行变换.

923418341274123

6A -????-?

?=??-?

???

[][]()[][]()

[][]()211311411923

410

100010010010

0010+?-+?-+?--??

??-??→

??

-??

-??

[][][]121013101410

9234110010101001?

?

?

-????-?

?→??

-??

-??

[][][][][][]1

44133

122123400001100[,,,]10101001ββββ+?+?+?????

-??→=??-??-?? 从矩阵中可以看出由于234,,βββ为1234,,,ββββ的一个极大线性无关组，且

1234ββββ=---， （10分）

故234,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且1234αααα=---.

（11分）

（21）（本题满分11分）

已知实二次型123(,,)T

f x x x x Ax =的矩阵ij A a ??=??满足1122336,a a a AB C ++=-=

其中 1101202,02411012B C -????

????==-????????--????

。 （Ⅰ）用正交变换将二次型化为标准型，并写出所用的正交变换和所得标准型； （Ⅱ）求出该二次型

【解析】（Ⅰ） 记 [][]121,0,1,1,2,1T

T

αα=-=则

[][]122,012B C ααα==-

[][]1

21

2AB A A A αααα== , 由题设AB C =知

10A α=，2212A αα=- 所以12,αα是A 分别属于特征值120,12λλ==-的特征向量。

L L L 2分

设3λ是第三个特征值，利用题设有：

1231122336a a a λλλ++=++=-，所以36λ=。 L L L 3分

设36λ=对应的特征向量为[]3123,,T

x x x α=，由3231,λλλλ≠≠，知

3231,αααα⊥⊥，即

13123020

x x x x x -=??

++=?

L L L 5分

解得[][]123,,1,1,1T

T

x x x t =-，取[]31,1,1T

α=-将123,,ααα单位化得3个两两正交的单位向量组

]

]]1231,0,1,1,2,1,1,1,1T T T

ηηη=

-==- L L L 7分 记[]123,,U ηηη=，则U 为正交矩阵，且0000120006T

U AU ??

??=-??????

（*）

作正交变换x Uy =，即得二次型的标准形为：22

23126y y -+ L L L 9分

（Ⅱ）由（Ⅰ）的（*）推得：

0000600120666006060T A U U -????????=-=---????????-????

，故所求的二次型为： 2

12321223(,,)61212T f x x x x Ax x x x x x ==--- L L L 11分

（22）（本小题满分11分）

设随机变量(,)X Y 的概率密度为：

()01,0(,)0k x y x y x

f x y +<<<

? 其它

求：（I ）常数k 的值；

（II ）(,)X Y 的边缘密度函数(),()X Y f x f y ； （III ）求Z X Y =+的密度函数()Z f z ；

【解析】（1）由

(,)1f x y dxdy +∞

+∞-∞

-∞

=??

，则10

(,)()12

x

k

f x y dxdy dx k x y dy +∞

+∞

-∞

-∞

=+=

=?

?

?? 所以2k = L L L 2分 （2）202()3,01

()()0,x

X x y dy x x f x f x y dy +∞

-∞

?+=<

=?

????

，

其它 L L L 4分 122()123,01()()0,y Y x y dy y y y f y f x y dx +∞

-∞

?+=+-<

=

=???

??

， 其它L L L 6分

（3）()()()(,)Z x y z

F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=

??

① 当 0z <时 ()0Z F z = L L L 分 ② 当2z ≥时 ()1Z F z = L L L 7分 ③ 当01z ≤<时 3

20

()(,)2()3

z

z y Z y

x y z

z F z f x y dxdy dy x y dx -+≤==+=????

分

④ 当12z ≤<时

31

22

1

()(,)12()33x

z Z x z x y z

z F z f x y dxdy dx x y dy z -++≤=

=-+=-+-??

?? 10分

3

320,0,013

()1,12331,2

Z z z z F z z z z z

??≤

≥?

所以 22

01()2120,Z z z f z z z z ?≤

其它 L L L 11分

（23）（本小题满分11分）

设总体X 的概率分布为

其中01p <<是未知数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，试求：

（I ）参数p 的矩估计值和最大似然估计值 （II ）验证相应两个估计量的无偏性.

【解析】（1）矩估计：1

1()n

i i E X p x x n ====∑，矩估计值1?p

x =。故1?p x =为p 的矩估计值 3L L L L L L L L L L L L L L L L 分

最大似然估计：似然函数

1

1

()(1)

(1)n

n

i

i

i i x n x nx n nx L p p

p p p ==-

-∑

∑=-=- 01i x =或

ln ()ln (1)ln(1)L p nx p n x p =+--

6L L L L L L L L L L L L L L L L 分

2ln ()(1)

?0,1d L p nx n x p x dp p p

-=-==-解得 故1?p x =为p 的最大似然估计值

8L L L L L L L L L L L L L L L L 分

（2）由于12??p

p x ==，无偏性只要验证 1

1()()n

i i E X E X p n ===∑

即相应的估计量均为无偏估计量。 11L L L L L L L 分