一元二次方程根与系数关系附答案
一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为() A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分
二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为. 评卷人得分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值. 12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
一元二次方程根的两个特性及简单运用
一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此,一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读,再填空解题: (1)方程:x2-4x-12=0 的根是:x 1=6, x 2 =-2,则x 1 +x 2 =4,x 1 ·x 2 =-12; (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x 1= 1 2 , x 2 =3,则x 1 +x 2 = 7 2 ,x 1 ·x 2 = 3 2 ; (3)方程3x2+6x-2=0的根是:x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = , x 1·x 2 = ; 根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0且a、b、c为常数)的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系?请写出来你的猜想并说明理由。 解析:方程3x2+5x-2=0的根是:x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -,x1·x2= 2 3 -。 能猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数) 的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下: 根据求根公式可知,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c 为常数)的两根为: a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和,等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数所得的商.
用一元二次方程解决传播问题含答案
用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后会有81台电脑被感染,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则x满足的方程是(B) A.1+x2=81 B.(1+x)2=81 C.1+x+x2=81 D.1+x+(1+x)2=81 2.(大同一中期末)有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A.1+x+x(1+x)=100 B.x(1+x)=100 C.1+x+x2=100 D.x2=100 3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支? 解:设每个支干长出x个小分支,根据题意,得 1+x+x2=111. 解得x1=10,x2=-11(舍去). 答:每个支干长出10个小分支.
知识点2 握手问题 4.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为(C) A .7 B .8 C .9 D .10 5.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过程,并完成填空. 解:设应邀请x 支球队参赛,则每队共打(x -1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为12x(x -1). 根据题意,可列出方程12x(x -1)=28. 整理,得x 2-x -56=0. 解得x 1=8,x 2=-7. 合乎实际意义的解为x =8. 答:应邀请8支球队参赛. 6.一条直线上有n 个点,共形成了45条线段,求n 的值. 解:由题意,得12n(n -1)=45. 解得n 1=10,n 2=-9(舍去). 答:n 等于10.
作业用一元二次方程解决传播问题
作业用一元二次方程解 决传播问题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1 传播问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A.8人 B.9人 C.10人 D.11人 2.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为( ) A.10只 B.11只 C.12只 D.13只 3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支. 知识点2 握手问题 4.“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己
的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是( ) A.x(x+1)=210 B.x(x-1)=210 C.2x(x-1)=210 D.1 2 x(x-1)=210 5.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是( ) A.x(x-1)=10 B.x(x-1) 2 =10 C.x(x+1)=10 D.x(x+1) 2 =10 6.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛,若共要比赛110场,则共有________个队参加比赛( ) A.8 B.9 C.10 D.11 7.一条直线上有n个点,共形成了45条线段,求n的值. 知识点3 数字问题 8.两个连续偶数的和为6,积为8,则这两个连续偶数是________.
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是:x=a ac b b 242-±-. (b 2-4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是: b 2-4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是: b 2-4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2-4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根,那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0,b 2-4ac ≥0), ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ② x 1=a ac b b 242-+-, x 2=a ac b b 242--- (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ③ 韦达定理:x 1+x 2= a b -, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2-4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是:x 1是c 的因数. 特殊的例子有: C=0?x 1=0 , a+b+c=0?x 1=1 , a -b+c=0?x 1=-1. 二、例题 例1. 已知:a, b, c 是实数,且a=b+c+1. 求证:两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 证明 (用反证法) 设 两个方程都没有两个不相等的实数根, 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①-1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41,b+1 ≥4 5代入③,得 a -c=b+1≥45, 4c ≤4a -5 ④ ②+④:a 2-4a+5≤0, 即(a -2)2+1≤0,这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.
一元二次方程求根公式讲解学习
一元二次方程求根公 式
一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往 能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程 ;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若 配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才 能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3).
一元二次方程根的分布情况归纳总结
1 一元二次方程ax 2 ? bx ? c 二0 根的分布情况 2 2 设方程ax ? bx ? c = 0 a = 0的不等两根为X |,x 2且为:::x 2,相应的二次函数为 f x 二ax bx 0, 方程的根 即为二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点),它们的分布情况见下面各表 表一:两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0) 表二:(两根与k 的大小比较)(a>0) 表三:(根在区间上的分布)(a>0) 两根有且仅有一根在 m, n 内 (图象有两种情况,只画了一种) 一根在 m,n 内,另一根在 p,q 内,m :: n :: p :: q . "■: 0 f m .0 f n 广0 b m … n 2a 大 致 图 象 分 布情 况 两个负根即两根都小于 0 X :: 0, x 2 :: 0 两个正根即两根都大于 0 x 1 0, x 2 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 % ::: 0 ::: 大 致图 象 f 0 ::: 0 分 布情 况 两根都小于k 即 x 1 :: k, x 2 :: k 两根都大于k 即 x 1 k, x 2 k 一个根小于k ,一个大于k 即 捲::k . x 2 大 致 图 象 f k :: 0 分 布 情况 两根都在m, n 内 f m f n :: 0 f n :::0 0 . "■: 0 f k .0
函数与方程思想: (1)方程f(x°)=O有根二y=f(x)与x轴有交点x°=函数y=f(x)有零点X。 (2)若y=f(x)与y = g( x)有交点(x o , y°)= f(x)=g(x)有解x。 根的分布练习题 例1、已知二次方程2m 1 x2-2mxrm-1 = 0有一正根和一负根,求实数m的取值范围。 2 例2、已知二次函数y = m ? 2 x 7:2m - 4 x:「]3m - 3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围。 2 例3.已知关于x的二次方程x +2m)+2n+仁0. (1) 若方程有两根,其中一根在区间(一1, 0)内,另一根在区间(1 , 2)内,求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0 , 1)内,求m的范围 练习: 1.关于x的一元二次方程x2 -2ax ? a ? 2 = 0,当a为何实数时: (1)有一个根大于2,另一个根小于2 (2 )在1,3内有且只有一解
一元二次方程及根的定义
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方 程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0;(2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, , ,
所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以, 所以. (3)将原方程展开并整理得,
这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 即 所以或 故.
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点),它们的分布情况见下面各表 表一:两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0) 分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象 结 论 ()0 0200 b a f ?>??? -?>?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象 结 论 ()020 b k a f k ?>???-?>?? ()0 20 b k a f k ?>???->??>?? ()0??>?? >???<-? ()()0? ? ?>? k k k
一元二次方程根系关系
一元二次方程的根系关系 [教学目标] 1、知识目标:掌握一元二次方程根与系数的关系,并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 2、过程与方法目标:经历探索根系关系的过程,理解方程思想和整体变换思想. 3、情感目标: [知识要点] 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 若方程有实数根x 1,x 2时,则12b x x a +=-且12c x x a ?= 特别对于方程20x px q ++=,若有两个实根αβ、时, 则p αβ+=-,q αβ?= 【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是-2,则方程的另一根是 ;k = . 分析:设另一根为1x ,由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组,解之即得。 答案:2 5,-1 【例2】已知方程2310x x +-=的根为x 1,x 2,求下列各式的值 (1)2212x x + (2)3312 x x + (3)212()x x - (4) 2112 x x x x + (5)12x x - (6)12(2)(2)x x --
【例3】求做一个一元二次方程,使它的两个根为 【例4】已知:2710a a -+=,2710b b -+=,求 a b b a +的值。 【例5】已知关于x 的方程22220x mx m -+-=,求m 为和值时(1)方程有两实根一正、一负;(2)方程两根均为正。 【例6】已知:一元二次方程2(1)10mx m x --+=有有理数根。求整数m 的值 【例7】已知:方程2(6)0x a x a +++=的两个根都是整数,求a 的值
判别一元二次方程根的情况
22.2.4 判别一元二次方程根的情况 教学内容 用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况及其运用. 教学目标 掌握b 2-4ac>0,a x 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不等的实根,反之也成立;b 2-4ac=0,a x 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根,反之也成立;b 2-4ac<0,ax 2+bx+c=0(a ≠0)没实根,反之也成立;及其它们关系的运用. 通过复习用配方法解一元二次方程的b 2-4ac>0、b 2-4ac=0、b 2-4ac<0各一题,?分析它们根的情况,从具体到一般,给出三个结论并应用它们解决一些具体题目. 重难点关键 1.重点:b 2-4ac>0?一元二次方程有两个不相等的实根;b 2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数;b 2-4ac<0?一元二次方程没有实根. 2.难点与关键 从具体题目来推出一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的b 2-4ac 的情况与根的情况的关系. 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 (学生活动)用公式法解下列方程. (1)2x 2-3x=0 (2)3x 2(3)4x 2+x+1=0 老师点评,(三位同学到黑板上作)老师只要点评(1)b 2-4ac=9>0,?有两个不相等的实根;(2)b 2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根;(3)b 2-4ac=│-4×4×1│=<0,?方程没有实根 二、探索新知 从前面的具体问题,我们已经知道b 2-4ac>0(<0,=0)与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分析: 求根公式:x=2b a -±,当b 2-4ac>0 于一个具体数,所以一元一次方程的x 1=2b a -+≠x 1=2b a --,即有两 个不相等的实根.当b 2-4ac=0时,?,所以x 1=x 2=2b a -,即有两个相等的实根;当b 2-4ac<0时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以没有实数解.