M p a b a s s
s ?-=-=-==911091)10(9110111 ，其中M ＞1是正整数。 由p a ＞1也是正整数知p s 是合数，这与题设矛盾。故s 也是一个素数。
4、证明：若2p + 1是奇素数，则 (p !)2 + (-1)p ≡ 0 (mod 2p + 1)。
证明：由威尔逊定理知 -1 ≡ (2p )! = p !(p + 1) (2p ) ≡ (-1)p (p !)2(mod 2p + 1)，
由此得(p !)2 + (-1)p ≡ 0 (mod 2p + 1)。
5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。（提示：可由欧拉定理证明）
证明：因为240=23×3×5，所以只需证：p 4≡1(mod 8)，p 4≡1(mod 3)，p 4≡1(mod 5)即
可。事实上，由?(8)=4，?(3)=2，?(5)=4以及欧拉定理立得结论。
初等数论练习题三
一、单项选择题
1、若n ＞1，?(n )=n-1是n 为质数的（ C ）条件。
A.必要但非充分条件
B.充分但非必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
2、设n 是正整数，以下各组a ，b 使a
b 为既约分数的一组数是（ D ）。
A.a=n+1,b=2n-1
B.a=2n-1,b=5n+2
C.a=n+1,b=3n+1
D.a=3n+1,b=5n+2
3、使方程6x+5y=C 无非负整数解的最大整数C 是（ A ）。
A.19
B.24
C.25
D.30 4、不是同余方程28x ≡21(mod 35)的解为（ D ）。
A.x ≡2(mod 35)
B. x ≡7(mod 35)
C. x ≡17(mod 35)
D. x ≡29(mod 35)
5、设a 是整数，(1)a ≡0(mod9) (2)a ≡2010(mod9)
(3)a 的十进位表示的各位数字之和可被9整除
(4)划去a 的十进位表示中所有的数字9，所得的新数被9整除
以上各条件中，成为9|a 的充要条件的共有（ C ）。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题
1、σ(2010)=_4896____；?(2010)=528。
2、数20100C 的标准分解式中，质因数7的指数是_3。
3、每个数都有一个最小质因数。所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是97。
4、同余方程24x ≡6(mod34)的解是x 1≡13(mod34) x 2≡30(mod34)_。
5、整数n>1，且(n-1)!+1≡0(mod n),则n 为素数。
6、3103被11除所得余数是_5_。
7、??
? ??9760=_-1_。 三、计算题
1、判定 (ⅰ) 2x 3 - x 2 + 3x - 1 ≡ 0 (mod 5)是否有三个解；
(ⅱ) x 6 + 2x 5 - 4x 2 + 3 ≡ 0 (mod 5)是否有六个解？
解：(ⅰ) 2x 3 - x 2 + 3x - 1 ≡ 0 (mod 5)等价于x 3 - 3x 2 + 4x - 3 ≡ 0 (mod 5)，又x 5 - x = (x 3 - 3x 2 + 4x - 3)(x 2 + 3x + 5) + (6x 2 - 12x + 15)，其中r (x ) = 6x 2 - 12x + 15的系数不都是5的倍数，故原方程没有三个解。
(ⅱ) 因为这是对模5的同余方程，故原方程不可能有六个解。
2、设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n
n n 的最大公约数。 解：设12122321212232122C C C )C ,,C ,(C ---=+++=n n n n n n n n n d ，由知d ∣22n -1，
设2k |n 且2k+1|/
n ，即2k +1||n ， 则由2k +1||1122112C 2C 2C |--+=i n i n k n i
n 及，i = 3, 5, , 2n - 1 得d = 2k + 1。 3、已知a=18,m=77,求使a x ≡ 1 (mod m)成立的最小自然数x 。
解：因为（18,77）=1，所以有欧拉定理知18?(77)≡1(mod 77)。
又由于?(77)=60，所以x |60，而60的所有正因数为1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, 60。
于是x 应为其中使18x ≡ 1 (mod 77)成立的最小数，经计算知：x=30。
四、证明题
1、若质数p ?5,且2p+1是质数，证明：4p+1必是合数。
证明：因为质数p ?5,所以（3，p ）=1，可设p=3k+1或p=3k+2。
当p=3k+1时，2p+1=6k+3是合数，与题设矛盾，从而p=3k+2，
此时2p+1是形如6k+5的质数，而4p+1=12k+9=3(4k+3)是合数。
注：也可设p=6k+r ，r=0,1,2,3,4,5。再分类讨论。
2、设p 、q 是两个大于3的质数，证明：p 2≡q 2(mod 24)。
证明：因为24=3×8，（3,8）=1，所以只需证明：
p 2≡q 2(mod 3) p 2≡q 2(mod 8)同时成立。
事实上， 由于（p ，3）=1，（q ，3）=1，所以p 2≡1(mod 3) ， q 2≡1(mod 3)， 于是p 2≡q 2(mod 3)，由于p ，q 都是奇数，所以p 2≡1(mod 8) ， q 2≡1(mod 8)，
于是p 2≡q 2(mod 8)。故p 2≡q 2(mod 24)。
3、若x,y ∈R + ，
（1）证明：[xy ]?[x][y]；
（2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。
注：我们知道，[x + y ] ?[x ]+ [y ]，{x+y }?{x }+{y }。此题把加法换成乘法又如何呢？ 证明：（1）设x=[x]+α,0?α<1，y=[y]+β,0?β<1。于是
xy=[x][y]+β[x]+α[y]+αβ
所以[xy ]= [x][y]+ [β[x]+α[y]+αβ] ?[x][y]。
（2）{xy}与{x}{y}之间等于、大于、小于三种关系都有可能出现。
当x=y=
21时，{xy}={x}{y}=4
1； 当x=23， y=21时，{xy}=43，{x}{y}=4
1，此时{xy}＞{x}{y}； 当x=-21，y=-31时，{xy}=61，{x}{y}=3
1，此时{xy}＜{x}{y}。 4、证明：存在一个有理数d c ，其中d < 100,能使 ][d c k =][10073k 对于k=1，2，….，99均成立。
证明：由（73，100）=1以及裴蜀恒等式可知：存在整数c ，d ，使得
73d-100c=1 从而
k 10073-d kc =d c d k 100)10073(-=d k 100，由k< 100可知：
0＜
k 10073-d kc ＜d 1 设][d c k =n ，则d
kc ＜n+1=d d n 1+,于是 k 10073＜d
kc 1+?d d n 1+=n+1， 故 ][10073k = n =][d c k 。
初等数论练习题四
一、单项选择题
1、若F n =12n 2+是合数，则最小的n 是( D )。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2、记号b a ‖a 表示b a ｜a,但b a+1|/a. 以下各式中错误的一个是( B )。
A. 218‖20!
B. 105‖50!
C. 119‖100!
D. 1316‖200!
3、对于任意整数n ，最大公因数(2n+1，6n-1)的所有可能值是( A )。
A. 1
B. 4
C. 1或2
D. 1，2或4
4、设a 是整数，下面同余式有可能成立的是( C )。
A. a 2≡2 (mod 4)
B. a 2≡5 (mod 7)
C. a 2≡5 (mod 11)
D. a 2≡6 (mod 13)
5、如果a ≡b(mod m)，c 是任意整数，则下列错误的是（ A ）
A ．ac ≡bc(mod mc)
B ．m|a-b
C ．(a,m)=(b,m)
D ．a=b+mt,t ∈Z 二、填空题
1、d(10010)=_32__，φ(10010)=_2880__。
2、对于任意一个自然数n ，为使自N 起的n 个相继自然数都是合数，可取N=（n+1）！
3、为使3n-1与5n+7的最大公因数达到最大可能值，整数n 应满足条件n=26k+9，k ∈Z 。
4、在5的倍数中，选择尽可能小的正整数来构成模12的一个简化系，则这组数是{5,25,35,55}
5、同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是x 1≡24(mod74) x 2≡61(mod74)_。
6、不定方程5x+9y=86的正整数解是_x=1,y=9或x=10,y=4。
7、???
??8954=_-1_。
三、计算题
1、设n 的十进制表示是z xy 4513，若792∣n ，求x ，y ，z 。
解：因为792 = 8?9?11，故792∣n ? 8∣n ，9∣n 及11∣n 。
我们有8∣n ? 8∣z 45
? z = 6，以及 9∣n ? 9∣1 + 3 + x + y + 4 + 5 + z = 19 + x + y ? 9∣x + y + 1， (1)
11∣n ? 11∣z - 5 + 4 - y + x - 3 + 1 = 3 - y + x ? 11∣3 - y + x 。 (2)
由于0 ≤ x , y ≤ 9，所以由式(1)与式(2)分别得出
x + y + 1 = 9或18，
3 - y + x = 0或11。
这样得到四个方程组：???=+-=++b
x y a y x 31 其中a 取值9或18，b 取值0或11。在0 ≤ x , y ≤ 9的条件下解这四个方程组， 得到：x = 8，y = 0，z = 6。
2、求3406的末二位数。
解：∵ （3，100）=1，∴3φ(100)≡1（mod 100），而φ(100)= φ(22·52)=40,
∴ 340≡1(mod 100) ∴ 3406=(340)10·36≡(32)2·32≡-19×9≡-171≡29(mod 100) ∴ 末二位数为29。
3、求(214928+40)35被73除所得余数。
解：(214928+40)35≡(3228+40)35≡[(32×32)14+40]35 ≡(102414+40)35 ≡(214+40)35 ≡(210
×24+40)35 ≡(25+40)35 ≡7235 ≡-1≡72(mod 73)
四、证明题
1、设a 1, a 2, , a m 是模m 的完全剩余系，证明：
（1）当m 为奇数时，a 1+ a 2+ + a m ≡0（mod m ）；
（2）当m 为偶数时，a 1+ a 2+ + a m ≡2
m （mod m ）。 证明：因为{1, 2, , m }与{a 1, a 2, , a m }都是模m 的完全剩余系，所以
∑∑==+=
≡m i m i i m m i a 112
)1((mod m )。
（1）当m 为奇数时，Z m ∈+21由即得：2)1(+m m m ，故02)1(1
≡+=∑=m i i m m a (mod m )。 （2）当m 为偶数时，由（m,m+1）=1即得：2
2)1(1m m m a m
i i ≡+=
∑=(mod m )。 2、证明：若m ＞2，a 1, a 2, , a ?(m)是模m 的任一简化剩余系，则 ).(mod 01m a
m i i ∑=≡）
（?
证明：若a 1, a 2, , a ?(m)是模m 的一个简化剩余系，则m-a 1, m-a 2, , m-a ?(m) 也是模m
的一个简化剩余系，于是： ).(mod )()(11m a m a m i i
m i i ∑∑==-≡??）
（ 从而：).)(mod (21m m m a m i i ??∑=≡）（
又由于m ＞2，?(m )是偶数。故：).(mod 021m m m a m i i ≡≡∑=）（）
（??
3、设m > 0是偶数，{a 1, a 2, , a m }与{b 1, b 2, , b m }都是模m 的完全剩余系，证明：{a 1 + b 1,
a 2 +
b 2, , a m + b m }不是模m 的完全剩余系。
证明：因为{1, 2, , m }与{a 1, a 2, , a m }都是模m 的完全剩余系，所以
∑∑==≡+=
≡m i m i i m m m i a 112
2)1((mod m )。 (1) 同理 ∑=≡
m i i m b 12
(mod m )。 (2) 如果{a 1 + b 1, a 2 + b 2, , a m + b m }是模m 的完全剩余系，那么也有
∑=≡+m
i i i m b a 1
2)((mod m )。 联合上式与式(1)和式(2)，得到 02
22m m m ≡+≡(mod m )， 这是不可能的，所以{a 1 + b 1, a 2 + b 2, , a m + b m }不能是模m 的完全剩余系。
4、证明：（1）2730∣x 13-x ； （2）24∣x(x+2)(25x 2-1)；
（3）504∣x 9-x 3； （4）设质数p ＞3，证明：6p ∣x p -x 。
证明：（1）因为2730=2×3×5×7×13，2,3,5，7,13两两互质，所以： 由x 13-x=x (x 12-1)≡0 (mod 2)知：2∣x 13-x ；13∣x 13-x ；
由x 13-x=x (x 12-1)=x(x 2-1)(x 2+1)(x 8+x 4+1)≡0 (mod 3)知：3∣x 13-x ；
由x 13-x=x (x 12-1)=x(x 4-1)(x 8+x 4+1)≡0 (mod 5)知：5∣x 13-x ；
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
初等数论第2版习题答案(可编辑修改word版)
3 b b b 3 b 第一章 §1 1 证明： a 1 , a 2 , a n 都是 m 的倍数。 ∴存在 n 个整数 p 1, p 2 , p n 使 a 1 = p 1m 1 , a 2 = p 2 m 2 , , a n = p n m n 又 q 1, q 2 , , q n 是任意 n 个整数 ∴ q 1a 1 + q 2 a 2 + + q n a n = ( p 1q 1 + q 2 p 2 + + q n p n )m 即 q 1a 1 + q 2 a 2 + + q n a n 是 m 的整数 2 证： n (n + 1)(2n + 1) = n (n + 1)(n + 2 + n - 1) = n (n + 1)(n + 2) + (n - 1)n (n + 1) 6 / n (n + 1)(n + 2),6 /(n - 1)n (n + 1) ∴ 6 / n (n + 1)(n + 2) + (n - 1)n (n + 1) 从而可知 6 / n (n + 1)(2n + 1) 3 证： a , b 不全为0 ∴在整数集合 S = {ax + by | x , y ∈ Z }中存在正整数，因而 有形如 ax + by 的最小整数 ax 0 + by 0 ?x , y ∈ Z ，由带余除法有 ax + by = (ax 0 + by 0 )q + r ,0 ≤ r < ax 0 + by 0 则 r = (x - x 0 q )a + ( y - y 0 q )b ∈ S ，由 ax 0 + by 0 是 S 中的最小整数知 r = 0 ∴ ax 0 + by 0 / ax + by ax 0 + by 0 / ax + by ∴ ax 0 + by 0 /(a , b ). ∴(a , b ) / ax 0 + by 0 下证 P 8 第二题 （ x , y 为任意整数） 又有(a , b ) / a ,(a , b ) / b 故 ax 0 + by 0 = (a , b ) ∴ ax 0 + by 0 / a , ax 0 + by 0 / b 4 证：作序列 ,- ,- b ,- ,0, , b , 2 2 2 2 , 则 a 必在此序列的某两项之间
初等数论试卷和答案
初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
初等数论试题
2 010年7月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.-30被-9除的余数是() A.-3 C.3 2.下列给出的数中是合数的是() A.1063 C.1093 1000 3.400 xx5的幂指数是() B.-6 D.6 B.1073 D.1103
A.1 C.3B.2 D.4 4.不能表示为5x+7y（x,y是非负整数）的最大整数是() A.23 C.25B.24 D.26 5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是() A.37 C.53 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.60480的标准分解式为___. 2.μ (50400)=___. 3.π( 55.5)＝___. 4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=___. 5.若(n)=4，则n=___. 6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是___. 7.不定方程6x+9y=30的通解是___.
8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为 B.47 D.59 ___. 9.326 被50除的余数是___. 10.xxM 23是___（填素数或合数）. 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。 2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。 已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？ 3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。 4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1.证明当n为整数时，504|n9-n3。 2.设(a,m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax+b也通过模m的完全剩余系.
初等数论 1 习题参考答案
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
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初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )
初等数论练习题
初等数论练习题 信阳职业技术学院 2010年12月
初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。 2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。 3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。 5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。 7、18100被172除的余数是___________。 8、?? ? ??10365 =___________。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为 。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2 11x 200 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 三、证明题 1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明： （1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。 2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a ≡1(mod 2n+2)。 3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k p 1C - （-1 ）k (mod p )。 4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。
初等数论练习题二 一、填空题 1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。 2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。 3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n 22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为_________。 6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=__________。 7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__________。 8、?? ? ??10146=__________。 9、若p 是质数，n p 1，则同余方程x n 1 (mod p ) 的解数为 。 二、计算题 1、试求2004 2003 2002被19除所得的余数。 2、解同余方程3x 144x 10 6x 180 (mod 5)。 3、已知a=5,m=21,求使a x 1 (mod m)成立的最小自然数x 。 三、证明题 1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。 2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n 1)! 1 (mod n )，则n 是素数。 3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。 4、证明：若2p 1是奇素数，则 (p !)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。 5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。
初等数论第2版习题答案
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
初等数论试卷
初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;
初等数论习题集
《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 第 5 节 1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。 2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
初等数论习题与答案、及测试卷
1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n 1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r ax by ax + +∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
初等数论试卷
一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。
初等数论计算题答案
初等数论第三次作业 计算题 1. 求75与105的最大公因数。 解：因为75 = 3错误！未找到引用源。52，105 = 3错误！未找到引用源。5错误！未找到引用源。7， 所以75与105的最大公因数是15。 2. 求66与121的最大公因数。 解：因为66=6×11,121=11×11， 所以66与121的最大公因数是11 3．求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。 答；因为（3,4）= 1，所以不定方程有整数解。 观察知x = 3，y = 2是其一个整数解。 由公式知其一切整数解为???+=+=t y t x 3243，t 为整数。 4．求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。 答；因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。观察知其一个整数解是 0013 x y =??=-?。 于是其一切整数解为1237x t y t =+??=--? ，t 取一切整数。 5．解同余式3x ≡ 1 (mod 7)。 答；因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。 由3x - 7y = 1得???+=+=t y t x 3275， 所以同余式的解为)7(mod 5≡x 6．解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。
答；因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。由3108x y -=得 一个解00 61x y =??=?，所以同余式的解为6(mod10)x ≡。 7．解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。 答：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5)，解4x ≡ 3(mod 5)得x ≡ 2(mod 5)，故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。 8．解同余式组： ???≡≡) 5(mod 2)3(mod 1x x 。 答；由)3(mod 1≡x 得13+=k x ，将其代入)5(mod 2≡x 得)5(mod 213≡+k ， 解得)5(mod 2≡k ，即25+=t k ， 所以715+=t x ，所以解为)15(mod 7≡x 。 9. 求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。 解：因为(3,2) = 1，所以不定方程有整数解。 显然1,0==y x 是其一个特解， 所以不定方程的一切整数解为错误！未找到引用源。，其中t 取一切整数。 10.解同余式)5(mod 14≡x 答；因为（4,5）= 1，所以同余式有解且有一个解。 由4x - 5y = 1得???+=+=t y t x 3275， 所以同余式的解为)7(mod 5≡x
初等数论复习题题库及答案
《初等数论》本科 一 填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
初等数论试卷
一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a初等数论习题
https://www.360docs.net/doc/fb1712026.html, 《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1 223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。
