人教版九年级数学上册第22章二次函数知识点总结
人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结
一、相关概念及定义
1 二次函数的概念：一般地，形如y ax
2 bx c（a，b ，c是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2
2 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．（2）a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数各种形式之间的变换
1 二次函数y ax
2 bx c 用配方法可化成：y a x h 2 k 的形式，其中
b 4a
c b2
h ，k .
2a 4a
2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y ax2；② y ax2 k ；
③ y a x h 2；④ y a x h 2 k；⑤ y ax2 bx c.
三、二次函数解析式的表示方法
1 一般式：y ax
2 bx c（ a ， b ，c为常数， a 0）；
2 顶点式：y a（x h）2 k（a，h，k为常数， a 0）；
3 两根式：y a（x x1）（x x2）（ a 0，x1 ，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次
函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
四、二次函数y ax2 bx c 图象的画法
1 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax
2 bx c 化为顶点式y a（x h）2 k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0，c 、以及0，c 关于对称轴对称的点2h，c 、与x轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y 轴的交点.
五、二次函数y ax2的性质
六、二次函数y ax2 c
七、二次函数y a x h 2
八、二次函数y a x h 2 k
九、抛物线y ax2 bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1 a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0 时，开口向上；当 a 0时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同
4 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛 物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .
十、抛物线 y ax 2 bx c 中， a,b,c 与函数图像的关系
1 二次项系数 a
二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0．
⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越 大；
⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越 大．
总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的 大小决定开口的大小．
2 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下，
当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；
2a
当 b 0时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；
2a
当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．
2a
⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；
2a
当 b 0时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；
2a
当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．
2a 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴
的位置． 总结： 3 常数项 c
⑴ 当 c 0时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵 坐标为正；
⑵ 当 c 0时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵 坐标为 0 ；
⑶ 当 c 0时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵 坐标为负．
总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．
总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x 2a .特别地， y 轴记作直线 x 0.
3 顶点坐标：
2b
a ，
4ac b 2
4a
1 公式
法： 2
2 2
2 b 4ac b
2
b 4a
c b 2
y ax 2
bx c a x ，∴顶点是（
，
），
2a 4a 2a 4a
对称轴是直线 x .
2a
2 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a x h 2 k 的形式，得 到顶点
为 ( h , k )，对称轴是直线 x h.
3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴 的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 .
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 . 十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1 一般式： y ax
2 bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 2 顶点式： y a x h 2 k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .
3 交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标 x 1 、 x 2 ， 通 常 选 用 交
点 式 ：
y a x x 1 x x 2 .
十三、直线与抛物线的交点
1y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为 (0, c ).
2 与 y 轴 平 行 的 直 线 x h 与 抛 物 线 y ax 2 bx c 有 且 只 有 一 个 交 点 (h,ah 2 bh c ).
3 抛物线与 x 轴的交点 :二次函数 y ax 2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐 标
x 1、x 2 ，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交 点情况
可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点(顶点在 x 轴上) 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 .
4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标 相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 .
5 一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图像 G y kx n 的交点，由方程组 2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的
y a 2x bx c
解时 l 与 G 有两个交点 ; ②方程组只有一组解时
l 与 G 只有一个交点；③方
程组无解时 l 与 G 没有交点 .
6 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1，
0 ，B x 2，0 ，由于 x 1、 x 2是方程 ax 2 bx c 0 的两个根，故
x 1 x 2
b
,x 1 x 2 c aa
十四、二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般 式或顶点式表达 1 关于 x 轴对称
AB x 1 x 2
x 1 x 2 2
4x 1x 2
4c b 2 4ac aaa
2
y a x h 2m 2n k
总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发 生变化，因此 a 永远不变． 求抛物线的对称抛物线的表达式时， 可以依据题意或 方便运算的原则，选择合适的形式， 习惯上是先确定原抛物线 (或表达式已知的 抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式． 十五、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h ，k ； ⑵ 保持抛物线 y ax 2的形状不变， 将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法 如下：
2 平移规律
在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”． 概括成八个字 “左加右减，上加下减 ”． 十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 1.三点式。
(1)已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 A ( 3 ，0)，B (2 3 ，0)，C (0，-3)三 点，求抛物线的解析式。
( 2)已知抛物线 y=a(x-1)２
+4 ， 经过点 A (2，3)，求抛物线的解析式。 2. 顶点式。
y a 2x b x 关c 于 x 轴对称后，得到的解析式是
2
y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是
2 关于 y 轴对称
y a 2x b x 关c 于 y 轴对称后，得到的解析式是
2
y a x h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是
3 关于原点对称
y a 2x b x 关c 于原点对称后，得到的解析式是 y a x h 关k 于原点对称后，得到的解析式是
4 关于顶点对称
y a 2x bx 关c 于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h 2 k 关于顶点对称后，得到的解析式是
5 关于点 m ，n 对称
y a x h k 关 于 点 m ，n 对 称 后 ， y
ax 2 bx c ；
2
y a x h k ； 2
y ax bx c ；
2
y a x h k ； y ax 2 bx c ； 2
y a x h k ；
2b a
2
；
得到的解析式是
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
y ax 2
bx c
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax 2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
y=a(x-h)
（1）已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A （2，1），求抛物线的解析式。（1）已知抛物线y=4（x+a）2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。3. 交点式。
（1）已知抛物线与x 轴两个交点分别为（3，0）,（5,0）,求抛物线y=（x-a）（x-b）的解析式。
1
（2）已知抛物线线与x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=1 a（x-2a）
（x-b）2
的解析式。
4. 定点式。
（1）在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线y 1 x2 5 a x 2a 2经过x
22 轴上一定点Q，直线y （a 2）x 2 经过点Q,求抛物线的解析式。
2
（2）抛物线y= x2 +（2m-1）x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4 ，求抛物线的解析式。
（3）抛物线y=ax2+ax-2 过直线y=mx-2m+2 上的定点A，求抛物线的解析式。
5. 平移式。
（1）把抛物线y= -2x2向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线y=a（ x-h）2 +k,求此抛物线解析式。
（2）抛物线y x2 x 3向上平移,使抛物线经过点C（0,2）,求抛物线的解析式. 6. 距离式。
（1）抛物线y=ax2+4ax+1（a﹥0）与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2
（2）已知抛物线y=m x2+3mx-4m（m﹥0）与x 轴交于A 、B 两点，与轴交于 C 点，且AB=BC, 求此抛物线的解析式。
7. 对称轴式。
（1）抛物线y=x2-2x+（m2-4m+4）与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。
（2）已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B（点A 在点B 左边）两点，交y 轴3
于点C,且OB-OA= 3 OC，求此抛物线的解析式。
4
8. 对称式。
（1）平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A（-10，0），AC=16，D （2，
6）。AD 交y 轴于E，将三角形ABC 沿x 轴折叠，点 B 到B1 的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。
（2）求与抛物线y=x2+4x+3 关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。
9. 切点式。
（1）已知直线y=ax-a2（a ≠0）与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2
（2）直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。
10.判别式式。
2
（1）已知关于X 的一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+（m+1）x+3 解析式。
（2）已知抛物线y=（a+2）x2-（a+1）x+2a的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。