专题02 数的整除性

专题02数的整除性

阅读与思考

设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征：

①若整数a的个位数是偶数，则2|a；

②若整数a的个位数是0或5，则5|a；

③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；

④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；

⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；

⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．

2．整除的基本性质

设a，b，c都是整数，有：

①若a|b，b|c，则a|c；

②若c|a，c|b，则c|(a±b)；

③若b|a，c|a，则[b，c]|a；

④若b|a，c|a，且b与c互质，则b c|a；

⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．

例题与求解

【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．

(“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．

【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：

①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；

②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中()

A．只有①正确B．只有②正确

C．①，②都正确D．①，②都不正确

(江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

【例3】已知整数13ab456能被198整除，求a，b的值．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：198=2×9×11，整数13ab456能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，求出a，b的值．

【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5a＋7b－22c构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．

【例5】如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n的

最小值，使得存在互不相同的正整数a，a，…，a，满足对任意一个正整数m，在a，a，…，a

n

12n12

中都至少有一个为m的“魔术数”．

(2013年全国初中数学竞赛试题)

解题思想：不妨设a=7k+t(i=1，2，3，…，n；t=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m的

i i

“魔术数”．根据题中条件，利用a10k+m(k是m的位数)被7除所得余数，分析i的取值．

i

1000

的值；

)

?13 + x - y = 2012 ? y = 0

2

【例 6】一只青蛙，位于数轴上的点 a ，跳动一次后到达 a

k

k +1

，已知 a ， a

k

k +1

满足| a

k +1

－ a |=1，

k

我们把青蛙从 a 开始，经 n －1 次跳动的位置依次记作 A ： a ， a ， a ，…， a ．

1

n

1

2

3

n

⑴ 写出一个 A ，使其 a = a = 0 ，且 a ＋ a ＋ a ＋ a ＋ a >0；

5 1

5

1

2

3

4

5

⑵ 若 a =13， a

1

2000

=2 012，求 a

⑶ 对于整数 n ( n ≥2)，如果存在一个 A 能同时满足如下两个条件：① a =0；② a ＋ a ＋ a ＋… n 1

1

2

3

＋ a =0．求整数 n ( n ≥2)被 4 除的余数，并说理理由．

n

(2013 年“创新杯”邀请赛试题

解题思想：⑴ a = a = 0 ．即从原点出发，经过 4 次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向

1

5

左．为保证 a ＋ a ＋ a ＋ a ＋ a >0．只需将“向右”安排在前即可．

1 2

3

4

5

⑵若 a =13， a

1

2000

=2 012，从 a 经过 1 999 步到 a

1

2000

．不妨设向右跳了 x 步，向左跳了 y 步，则

? x + y = 1999 ? x = 1999 ? ，解得 ?

可见，它一直向右跳，没有向左跳．

⑶设 A 同时满足两个条件：① a =0；② a ＋ a ＋ a ＋…＋ a =0．由于 a =0，故从原点出发，经

n

1

1

2

3

n

1

过( k －1)步到达 a ，假定这( k －1)步中，向右跳了 x 步，向左跳了 y 步，于是 a = x － y ，x ＋ y = k

k

k

k

k

k

k

k

k

－1，则 a ＋ a ＋ a ＋…＋ a =0＋( x - y )＋( x - y )＋…( x - y )=2( x ＋ x ＋…＋ x )－[( x + y )

1

2

3

n

2

2

3

3

n

n

1

2

n

2

2

＋( x + y )＋…＋ ( x + y )]=2( x ＋ x ＋…＋ x )－ n (n - 1)

3 3 n n 2 3 n

n ( n －1)=4( x ＋ x ＋…＋ x )．即 4| n ( n －1)．

2

3

n

．由于 a ＋ a ＋ a ＋…＋ a =0，所以

1 2 3 n

1．某班学生不到50人，在一次测验中，有1

能力训练

A级

11

的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则

732

有________人不及格．

2．从1到10000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．

(上海市竞赛试题) 3．一个五位数3ab98能被11与9整除，这个五位数是________．

4．在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是(

A．532B．665C．133D．798

5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()

A．1B．2C．3D．6

)

(江苏省竞赛试题) 6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( A．12个B．18个C．20个D．30个

)

(“希望杯”邀请赛试题) 7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？

(黄冈市竞赛试题)

8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字a bcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def 能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．

(上海市竞赛试题)

9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？

4．有以下两个数串 ?1,4,7,10, ,1987,1990,1993,1996,1999 同时出现在这两个数串中的数的个

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)

B 级

1．若一个正整数 a 被 2，3，…，9 这八个自然数除，所得的余数都为 1，则 a 的最小值为_________， a 的一般表达式为____________．

(“希望杯”邀请赛试题)

2．已知 m ， n 都是正整数，若 1≤ m ≤ n ≤30，且 mn 能被 21 整除，则满足条件的数对( m ， n ) 共有___________个．

(天津市竞赛试题)

3．一个六位数 x1989 y 能被 33 整除，这样的六位数中最大是__________．

?1,3,5,7, ,1991,1993,1995,1997,1999 ?

数共有(

)个．

A ．333

B ．334

C ．335

D ．336

5．一个六位数 a1991b 能被 12 整除，这样的六位数共有(

)个．

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

6．若 1 059，1 417，2 312 分别被自然数 n 除时，所得的余数都是 m ，则 n － m 的值为(

)．

A ．15

B ．1

C ．164

D ．174

7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数 abc ，然后，魔术师再要求他记下五个

数： acb ， bac ， bca ， cab ， cba ，并把这五个数加起来求出和 N ．只要讲出 N 的大小，魔术师就

能说出原数 abc 是什么．如果 N =3 194，请你确定 abc ．

(美国数学邀请赛试题)

8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．

(武汉市竞赛试题) 9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6

倍，求这个三位数．

(“五羊杯”竞赛试题)

10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1999，求这个四位数，并说明理由．

(重庆市竞赛试题) 11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们

的和能被10整除，求n的最小值．

(2013年全国初中数学竞赛试题)