2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷含答案

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- 1 - 2017年杨浦区高考数学二模试卷含答案 2017.4

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考

生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 行列式123

4

56789

中, 元素5的代数余子式的值为_________.

2. 设实数

0ω>, 若函数()c o s

()s i n (f x x x ωω=+的最小正周期为π, 则ω=_________.

3. 已知圆锥的底面半径和高均为1, 则该圆锥的侧面积为_________.

4. 设向量(2,3)a =, 向量(6,)b t =. 若a 与b 的夹角为钝角, 则实数t 的取值范围 为 _________.

5. 集合2

{1,3,}A a =, 集合{1,2}B a a =++. 若B A A ?=, 则实数 a =_______.

6. 设12,z z 是方程2

230z z ++=的两根, 则12||z z -= _________.

7. 设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时, 3()2x

f x =-. 则不等式

()5f x <-的解为________.

8. 若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤??

-≥??-≤?

则z y x =-的最小值为_________.

- -

- 2 - C 3

C 2

C 1

O S

N D

C

B

A

9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点 数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为_________.

10. 设A 是椭圆()22

22

1 04x y a a a +=>-上的动点, 点F 的坐标为(2,0)-, 若满足||10AF =的点A 有且仅有两个, 则实数a 的取值范围为_________.

11. 已知0a >, 0b >, 当21

(4)a b ab

++

取到最小值时, b =_________. 12. 设函数()||||a f x x x a =+-. 当a 在实数范围内变化时, 在圆盘22

1x y +≤内,

且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生

应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. 设z ∈C 且0z ≠. “z 是纯虚数”是“2z ∈R ”的

(

)

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件

(C) 充要条件

(D) 既非充分又非必要条件

14．设等差数列{}n a 的公差为d , 0d ≠. 若{}n a 的前10项之和大于其 前21项之和, 则 (

)

(A) 0d <

(B) 0d > (C) 160a <

(D) 160a >

15．如图, N 、S 是球O 直径的两个端点. 圆1C 是经过N 和S 点的大圆, 圆2C 和圆

3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆. 圆1C 和2C 交于点A 、B , 圆1C 和3

C

- -

- 3 - 交于点C 、D .设a 、b 、c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长、圆2C 上半圆弧AB 的弧长、圆3C 上半圆弧CD 的弧长. 则,,a b c 的大小关系为 (

)

(A) b a c >= (B) b c a => (C) b a c >>

(D) b c a >>

16．对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立, 则称()f x 是“控制增长函数”。在以下四个函数中： ①2

()1f x x x =++②|(|)f x x = ③ 2

()sin()f x x =

④()sin f x x x =?

是“控制增长函数”的有 (

)

(A) ②③ (B) ③④ (C) ②③④ (D) ①②④

三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号

的规定区域内写出必要的步骤 .

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 如图, 正方体1111ABCD A B C D -中, 4AB =. P 、Q 分别是棱BC 与11B C 的中点.

- -

- 4 - A 1

B 1

C 1

D 1

Q P D

C

B

A

(1) 求异面直线1D P 和1A Q 所成的角的大小;

(2) 求以11,,,A D P Q 四点为四个顶点的四面体的体积.

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数121()22

x x f x +-+=+.

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- 5 - (1) 判断函数()f x 的奇偶性, 并证明;

(2) 若不等式()9()log 21f x c >-有解，求c 的取值范围.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图所示: 扇形ABC 是一块半径为2千米, 圆心角为60?

的风景区, P 点在弧BC 上, 现欲在风景区中规划三条商业街道. 要求街道PQ 与AB 垂直, 街道PR 与AC 垂直,线

- -

- 6 - R

Q

P

C B

A

段RQ 表示第三条街道.

(1) 如果P 位于弧BC 的中点,求三条街道的总长度;

(2) 由于环境的原因, 三条街道PQ , PR , QR 每年能产生的经济效益分别为每千米

300万元, 200万元及400万元,问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元).

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

设数列{}n a 满足4n

n a A B n =?+?, 其中,A B 是两个确定的实数, 0B ≠.

- -

- 7 - (1) 若1A B ==, 求{}n a 的前n 项之和; (2) 证明: {}n a 不是等比数列;

(3) 若12a a =, 数列{}n a 中除去开始的两项之外, 是否还有相等的两项? 并证明你的结论.

21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设双曲线Γ的方程为2

2

13

y x -=.过其右焦点F 且斜率不为零的直线1l 与双曲线交于

- -

- 8 - ,A B 两点, 直线2l 的方程为x t =, ,A B 在直线2l 上的射影分别为,C D

(1) 当1l 垂直于x 轴, 2t =-时, 求四边形ABDC 的面积;

(2) 当0t =, 1l 的斜率为正实数, A 在第一象限, B 在第四象限时, 试比较

||||

||||

AC FB BD FA ??和1的大小, 并说明理由;

(3) 是否存在实数(1,1)t ∈-, 使得对满足题意的任意直线1l , 直线AD 和直线BC 的交点总在x 轴上, 若存在, 求出所有的t 的值和此时直线AD 与BC 交点的位置; 若不存在, 说明理由.

数学评分参考

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1. 12- 2. 2 3. 2π 4. (,4)-∞- 5. 2 6. 22 7. (,3)-∞- 8. 4- 9. 79 10. (8,12) 11. 14 12. 34

π

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生

应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、(A) 14、(C) 15、(D) 16、(C)

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- 9 -

三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号

的规定区域内写出必要的步骤 .

17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. (1) 以D 为原点, DA 方向为x 轴正方向, DC 方向为y 轴正方向, 1DD 方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系. （2分） 得1(0,0,4)D , (2,4,0)P , 1(4,0,4)A , (2,4,4)Q . 故1(2,4,4)D P =-, 1(2,4,0)AQ =-. （4分） 设1D P 与1A Q 所成的角的大小为θ. 则1111||1645cos 5||||

3620D P AQ D P AQ θ?-=

==??. （6分）

故1D P 与1A Q 所成的角的大小为5

arccos

5

. （8分） (2) 该四面体是以11A D Q 为底面, P 为顶点的三棱锥. （10分）

P 到平面11AQD 的距离4h PQ ==.

11A D Q 的面积11111

82

A B C D S S =

=. （12分） 因此四面体11A D PQ 的体积1132

48333V Sh ==??=. （14分）

18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

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- 10 - (1) 奇函数 （2分） 证明：定义域 x ∈R （4分）

()111121122()2222222

x

x x x x x f x f x --++-

+-+-+-====-+++（6分） 所以()f x 为奇函数

(2) 令：2x t = 则0t > 原函数为()1

022

t y t t -+=

>+ （8分） 值域为11,22y ??

∈- ???

（10分）

因为不等式()9()log 21f x c >-有解 所以()91

log 212

c -<有解 （12分） 即：0213c <-<

1

22

c << （14分）

19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 (1) 由题意, 30PAQ ?

∠=, 因此2sin 301PQ ?

==, 同理1PR = （2分）

36029060120QPR ????∠=-?-=, 故33QR PQ =?= （4分）

- -

- 11 - 因此三条步道的总长度为23+千米 （6分） (2) 设0,

3PAQ πθ??∠=∈ ?

?

?. 则2sin PQ θ=, 2sin 3PR πθ??

=- ???

（8分） ,,,A Q P R 均在以AP 为直径的圆上

由正弦定理

2sin QR

AP RAQ

==∠ 得 3QR = （10分）

效益3002sin 2002sin 40033T πθθ??

=?+?-+?

???

()

2003sin 3cos sin 4003θθθ=+-+

32007sin arctan 40032θ??

=++ ??

? （12分）

当arctan 530,23π

πθ??

=

-∈ ???

时 T 的最大值为200740031222=+≈万元 （14分）

20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

(1) 4n

n a n =+, 故前n 项之和

2(444)(12)n n S n =++

++++

+. （2分）

- -

- 12 - 4(41)141(1)(41)(1)41232

n n n n n n -=++=-++- （4分）

(2) 14a A B =+, 2162a A B =+, 3643a A B =+.

若{}n a 是等比数列, 则2

(162)(4)(643)A B A B A B +=++ （6分） 即 2222256644256763A AB B A AB B ++=++, 即212B AB =. 因0B ≠, 故12B A =, 且0A ≠. （8分）

此时, 240a A =, 3100a A =, 4304a A =, 不满足2

324a a a =.

因此{}n a 不是等比数列. （10分）

(3) 12a a =即4162A B A B +=+, 即12B A =-, 且0A ≠.

此时, (412)n

n a A n =?-. （12分） 设*

412,n n c n n =-∈N .

111(412(1))(412)341234120n n n n n c c n n ++-=-+--=?-≥?-=,

当且仅当1n =时等号成立, 故1234c c c c =<<<.

即除1c 外, {}n c 的各项依次递增. （14分）

因此{}n a 中除去1a 和2a 之外, 没有其它的两项相等. （16分）

21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

- -

- 13 - (1) 右焦点的坐标为(2,0)F . 故1:2l x =. （1分）

联立22

2,13x y x =???-=??

解得3y =±. 故||6AB =, （3分） 又||4AC =, 故四边形ABDC 的面积为24. （4分）

(2) 设1l 的方程为2x my =+, 这里0m >. 将1l 的方程与双曲线方程联立, 得到

223(2)30my y +--=, 即22(31)1290m y my -++=. （6分）

由120y y <知2310m -<, 此时,

2

222111||

3||||||||||3||||||||||111||

3

3

A

B A A B B A B B A y y y x y A

C FB AC BF B

D FA BD AF x y y

y y ++??=?=?==

?++?

（8分）

由于2

12031

A B m

y y m -

=+>-, 故0A B y y >->, 即||||0A B y y >>, 故2211A B y y <. 因此

||||

1||||

AC FB BD FA ?

（10分）

(3) 设直线:2AB x my =+, 与22

13

y x -

=联立得 22(31)1290m y my -++=. (有两交点表示3

3

m ≠±

) 设(,)A A A x y , (,)B B B x y , 则(,)A C t y , (,)B D t y .

- -

- 14 - ,A B x x 的绝对值不小于1, 故A x t ≠, 且B x t ≠. 又因直线斜率不为零, 故A B y y ≠.

直线AD 的方程为

B A B A y y x t

y y x t

--=--.

直线BC 的方程为

A B A B y y x t

y y x t

--=--. （12分）

若这两条直线相交在x 轴上, 则当0y =时, 两方程的x 应相同, 即

()()

B A A B A B B A

y x t y x t x t t y y y y ----=+

=+--.

故(2)(2)0A B B A y my t y my t +-++-=,

即2(2)()0A B A B my y t y y +-+=. （14分） 现2931A B y y m =

-, 2

1231

A B m

y y m +=--, 代入上式, 得1812(2)0m t m --=对一切3

3

m ≠±都成立. 即182412t =-, 1

2

t =

. （16分） 此时交点的横坐标为()

B A A B

y x t x t y y --=+

-

2()(2)(2)11125222224

A B B

B A A B A B t

y y t y my t t y y y y y -+--+--=+=+=+=---. （18分）

综上, t存在,

1

2

t=, 此时两直线的交点为

5

,0

4

??

?

??

.

- -

- 15 -