2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科)
2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合{|13A x x =-<<，}x N ∈，{|}B C C A =?，则集合B 中元素的个数为
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．（5分）设x R ∈，则“2230x x -->”是“4x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知0.43a =，4log 32b =，5log 50c =，则a ，b ，c 在大小关系为( ) A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．b a c >>
4．（5分）在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28(a a += ) A ．150
B ．160
C ．200
D ．300
5．（5分）函数sin()6y x πω=+的图象向右平移23
π个单位后与原图象重合，则正数ω不可
能是( ) A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
6．（5分）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为( ) A ．1
4
2
B ．13
2
C ．313
2
D ．413
2
7．（5分）若函数3()()3f x x a x b =--+的极大值为M ，极小值为N ，则(M N - ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 无关，且与b 有关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 有关，且与b 无关
8．（5分）函数2()()41
x x x e e f x x --=-的部分图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（5分）已知命题p ：函数21y x ax =-+的定义域为R ，命题q ：存在实数x 满足ax lnx …，若p q ∧为真，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2-，1]e
B ．1
[e
，2]
C ．(-∞，2]-
D ．[2，)+∞
10．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且对任意不相等的实数1x ，2[0x ∈，
)+∞有1212()(()())0x x f x f x -->，若关于x 的不等式(sin )f a x f +（1）0>在实数R 上恒
成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．01a <<
B ．10a -<<
C ．1a <
D ．11a -<<
11．（5分）ABC ?是边长为2的正三角形，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 上三点，且
AD DF =，ADE FDE ∠=∠，则当线段AD 的长最小时，(ADE ∠= )
A ．
3
π
B ．
56
π C ．
512
π D ．
34
π 12．（5分）已知函数2
()12
x
x f x e =--，若()f x kx …在[0x ∈，)+∞时总成立，则实数k 的
取值范围是( ) A ．(-∞，1]
B ．(-∞，]e
C ．(-∞，2]e
D ．(-∞，2]e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若实数x ，y 满足2220x y x y ??
-??-+?
………，则2y x -的最大值是 ．
14．（5分）若2tan 3α=-，则sin(2)4
π
α+= ．
15．（5分）设函数2
2
4,2
()log (2),23x x f x x x -??=?-<
围是 ．
16．（5分）已知函数()f x 是(,)22ππ
-上的奇函数，其导函数为()f x '，且f （1）0=，当0x >时，()tan ()0f x x f x '->，则不等式()0f x >的解集为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：60分 17．（12
分）已知函数2()cos sin f x x x x =-． （1）求函数()f x 的对称中心和单调递减区间； （2）若将函数()f x 的图象上每一点向右平移6
π
个单位得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0，
5]12
π
上的值域． 18．（12分）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2224()ac c a b =--，3sin()2cos(
)02
A B B π
++-=． （1）求cos C ； （2）若ABC ?
ABC ?的周长L ． 19．（12分）在等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 中，11a =，12b =，且1b ，2a ，2b 成等差数列，数列{}n b 的前n 项和为Sn ，且314S =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）令n n b c a =，(1)n n n d nc n -=+，求数列{}n d 的前项和为n T ．
20．（12分）为落实习近平同志关于“绿水青山就是金山银山”的重要讲话精神．某地大力加强生态综合治理．治理之初该地某项污染物指标迅速下降，后随季节气候变化，这项指标在一定范围内波动．如图是治理开始后12个月内该地该项污类物指标随时间x （单位：月）变化的大致曲线，其近似满足函数：
,(03)()sin(),(312)kx b e a x f x A x B x ω?+?+=?++
剟…其中 2.71828e =?，0A >，0ω>，π?π-<…
（1）求()f x 的表达式；
（2）若该项污染物指标不超过2.5，则可认为环环境良好，求治理开始以来的12个月内，该地环境良好的时间长度大约有几个月[精确到整数，参考数据：20.69ln ≈，3 1.10)ln ≈？
21．（12分）已知函数1()x a f x e -+=，()(1)1g x ln ax =++． （1）证明：当1a =时，()f x 与()g x 在0x =处有公共的切线； （2）对任意[0x ∈，)+∞均有()()f x g x …，求实数a 的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2
4(4x t
t y t =??=?
为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()224π
ρθ+=．
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若点P ，Q 分别是曲线1C ，2C 上的点，求||PQ 的最小值． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()2|1||2|f x x x =++-，()f x 的最小值为M ． （1）求M ；
（2）若0a >，0b >，且a b M +=，求11
33a b a b
+
++的最小值．
2020年湖北省荆州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合{|13A x x =-<<，}x N ∈，{|}B C C A =?，则集合B 中元素的个数为
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【解答】解：因为集合{|13A x x =-<<，}x N ∈， 所以{0A =，1，2}， 因为{|}B C C A =?，
所以B 中的元素为A 的子集个数，即B 有328=个， 故选：C ．
2．（5分）设x R ∈，则“2230x x -->”是“4x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：2230x x -->即为1x <-或3x >， 故“2230x x -->”是“4x >”的必要不充分条件， 故选：B ．
3．（5分）已知0.43a =，4log 32b =，5log 50c =，则a ，b ，c 在大小关系为( ) A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a c b >>
D ．b a c >>
【解答】解：0.43a =∈，45log 322b ==，55log 502log 2c ==+15
222
<+=． 故a c b <<． 故选：B ．
4．（5分）在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28(a a += ) A ．150
B ．160
C ．200
D ．300
【解答】解：由等差数列的性质可知3456755750a a a a a a ++++==， 5150a ∴=，