最新离散数学1-6章练习题及答案
离散数学练习题
第一章
一.填空
1.公式)()(q p q p ∧?∨?∧的成真赋值为 01;10
2.设p, r 为真命题,q, s 为假命题,则复合命题)()(s r q p →??→的真值为 0
3.公式)()()(q p q p q p ∧∨?∧??与共同的成真赋值为 01;10
4.设A 为任意的公式,B 为重言式,则B A ∨的类型为 重言式
5.设p, q 均为命题,在 不能同时为真 条件下,p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。
二.将下列命题符合化 1.
7不是无理数是不对的。
解:)(p ??,其中p:
7是无理数; 或p ,其中p:
7是无理数。
2.小刘既不怕吃苦,又很爱钻研。
解:其中,q p ∧?p: 小刘怕吃苦,q :小刘很爱钻研
3.只有不怕困难,才能战胜困难。
解:p q ?→,其中p: 怕困难,q: 战胜困难
或q p ?→,其中p: 怕困难, q: 战胜困难
4.只要别人有困难,老王就帮助别人,除非困难解决了。
解:)(q p r →→?,其中p: 别人有困难,q:老王帮助别人 ,r: 困难解决了 或:q p r →∧?)(,其中p:别人有困难,q: 老王帮助别人,r: 困难解决了
5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。
解:q p ?,其中p: 整数n 是偶数,q: 整数n 能被2整除
三、求复合命题的真值
P :2能整除5, q :旧金山是美国的首都, r :在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨
2.r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→?)(())()(( 解:p, q 为假命题,r 为真命题
1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为0
2. r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→?)(())()((的真值为1
四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数,推理如下:
若y 在x=0可导,则y 在x=0连续。y 在x=0连续,所以y 在x=0可导。
解:x y 2=,x 为实数,令p: y在x=0可导,q: y 在x=0连续。P 为假命题,q 为真命题,推理符号化为:p q q p →∧→)(,由p ,q 得真值可知,推理的真值为0,所以推理不正确。
五、判断公式的类型
1,r q p q p p q ∨∧?∨∧→??)))()(()(( 2. )())((q r p q p ∧∧→?∧ 3. )()(r q r p ?→??
由上表可知A 为重言式,B 为矛盾式,C 为可满足式。
第二章练习题
一.填空
1.设A 为含命题变项p, q, r 的重言式,则公式))((→∧∨q p A 的类型为 重言式
2.设B 为含命题变项p, q, r 的重言式,则公式))((→∧∨q p B 的类型为矛盾式
3.设p, q 为命题变项,则)(q p ??的成真赋值为 01 ;10
4.设p,q 为真命题,r, s 为假命题,则复合函数)()(s q r p →???的成真赋值为__0___ 5.矛盾式的主析取范式为___0_____
6.设公式A 为含命题变项p, q, r 又已知A 的主合取范式为M M M M
5320
∧∧∧则A
的主合取范式为
m m m m 7
6
4
1
∨∨∨
二、用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式 1.求公式)())((p q q p ?→?∨→??的主合取范式。
解:
M q p q p q p q p p q q p 2
)()()())((?∨??→?→∨→??→?∨→??
2.求公式)())()((p q q p q p →?→∧∨的主析取范式,再由主析取范式求出主合取范式。 解:
M M M m q p q q p q p q p q q p q q p q q p q p p q q p q p 2
1030)()())(())(()()())()(()())()((∧∧??∨∧?∧?∨?→→∧→→?→??→?∨?∧∨?→?→∧∨ 三、用其表达式求公式r q p ?→)(的主析取范式。 解:真值表
由上表可知成真赋值为 001;011;100;111
四、将公式)(r q p →→化成与之等值且仅含[]∧?,中连接词的公式 解:)()()()(r q p r q p r q p r q p ?∧∧??∨?∨??∨?→?→→ 五、用主析取范式判断))(()()(q p q p q p ∧?∧∨??与是否等值。 解:
))
(()())(())(()()()()())()(())()(()(p q q p p q q p q p p q q p p q q p p q q p p q q p q p ∧?∧∨??∧∨?∧?∧∨??∧∨?∧?∨??∨∨???∨?∧∨???→∧→????所以他们等值。
第四章 习题 一,填空题
1.设F(x): x 具有性质F ,G(x): x 具有性质G ,命题“对所有x 的而言,若x 具有性质F ,则x 具有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x →?
2.设F(x): x 具有性质F ,G(x): x 具有性质G ,命题“有的x 既有性质F ,又有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x ∧?
3. 设F(x): x 具有性质F ,G(y): y 具有性质G ,命题“对所有x 都有性质F ,则所有的y 都有性质G ”的符号化形式为 )()(y yG x xF ?→?
4. 设F(x): x 具有性质F ,G(y): y 具有性质G ,命题“若存在x 具有性质F ,则所有的y 都没有性质G ”的符号化形式为 )()(y G y x xF ??→?
5.设A 为任意一阶逻辑公式,若A 中__不含自由出现的个体项_____,则称A 为封闭的公式。
6.在一阶逻辑中将命题符号化时,若没有指明个体域,则使用 全总 个体域。 二.在一阶逻辑中将下列命题符号化
1.所有的整数,不是负整数就是正整数,或是0。
解:))()()(()(x R x H x G x xF ∨∨→?,其中x x F :)(是整数,
x x G :)(是负整数,x x H :)(是正整数,0:)(=x x R
2.有的实数是有理数,有的实数是无理数。
解:))()(())()((y H y F y x G x F x ∧?∧∧?,其中,x x F :)(是实数,x x G :)(是有理数,
y y H :)(是无理数
3.发明家都是聪明的并且是勤劳的,王进是发明家,所以王进是聪明的并且是勤劳的。 解:))()(())()))()(()(((a H a G a F x H x G x F x ∧→∧∧→?,其中:x x F :)(是发明家,
x x G :)(是聪明的,x x H :)(是勤劳的,:a 王前进
4.实数不都是有理数。
解:))()((x G x F x →??,其中x x F :)(是实数,x x G :)(是有理数 5.不存在能表示成分数的有理数。
解:)()(x G x xF ?→?,其中:x x F :)(是无理数,x x G :)(能表示成分数 6.若x 与y 都是实数且x>y ,则x+y>y+z
解:)),
(),()()(((z y z x H y x H y F x F y x ++→∧∧??,其中,x x F :)(是实数,
y x y x H ≥:),(
三.给定解释I 如下:
(a )个体域为实数集合R ; (b)特定元素0=a ; (c)特定函数R y R x y x y x f ∈∈-=,,),(
(d)特定谓词R y R x y x y x G y x y x F ∈∈<=,
,
:),(,
:),(
给出下列公式在I 的解释,并指出他们的真值: 1.)),(),((y x F y x G y x ?→??
解:))()((y x y x y x ≠→?,即对任意的实数,y x ,,则y x ≠;真值为1 2.)),()),,(((y x G a y x f F y x →??
解:))(0(y x y x y x <→=-??,即对任意的实数y x ,若,0=-y x 则,y x <其真值为0 3.))),,((),((a y x f F y x G y x ?→??
解:))0()((≠-→?y x y x y x ,即对任意的实数y x ,若,y x <则,0≠-y x 其真值为1
4.)),()),,((y x F a y x Gf y x →??
解:)))0((y x y x y x =→<-??,即对任意的实数y x ,若,0<-y x 则,y x =其真值为0 四.给定解释I 如下:
(a)个体域D=N; (b)特定元素2=a (c)N 上函数;),(,),(y x y x g y x y x f ?=+=
(d)N 上谓词y x y x F =:),(
给出下列公式在I 下的解释,并指出他们的真值: 1.)),,((x a x g xF ?
解:)2(x x x =?,即对任意的自然数x ,都有x x =2,真值为0 2.))),,(()),,(((x a y f F y a x f F y x →??
解:))2()2((x y y x y x =+→=+??,即对任意自然数y x ,若y x =+2,则x y =+2;其真值为0
3.)),,((z y x f zF y x ???
解:)(z y x z y x =+???,即对任意的自然数y x ,,都存在z ,使得z y x =+;真值为1 4.)),(),,((x x g x x f xF ? 解:)2(2
x
x x =?,即存在自然数x 使得x x 2
2=,其真值为1
第六章 习题 一,填空
1.设{}{}4,3,,2a A =, {}{}3,,4,a B Φ=,则=⊕B A ____{}{}Φ,3},{,3,,2a a ______
2.设{}{}{}{
}2,1,1=A ,则=)(A P ____}}}2,1{{},1{{}}},2,1{{{}},1{{,{Φ_________ 3.设{}{}{
}2,11=A ,则=)(A P ____{Φ,{{1}},{{1,2}},{{1},{1,,2}}}________ 4. 设{
}2,1=A ,则=)(A P ____{Φ,{1},{2},{1,2}}_________ 5.设[a,b], (c,d)代表实数区间,那么=-?)3,1(])6,2[]4,0([____[3,4]________
6.设X,Y ,Z 为任意集合,且{
}3,2,1=⊕Y X ,{}4,3,2=⊕Z X ,若,Y Z ∈则一定有___Z Z ∈∈3;2_____
)4;3;2;1(Z Z Z Z ∈∈∈∈
7.设,A 则=-⊕A A A )(______Φ_______ 二,简答题
1.设{
}12,2,1 =I ,{}11,9,7,5,3,1=A ,{}11,7,5,3,2=B ,{}12,6,3,2=C ,{}8,4,2=D ,计算:;B A ? C A ?; )(B A C ?-; B A -; D C -; D B ⊕;
=?B A {1,2,3,5,7,9,11} C A ?={3} )(B A C ?-={6, 12} B A -={1, 9} D C -={3,6,12} D B ⊕={3,4,5,7,8,11}
2.设{}{}{}b a a A ,,=,求:A ?; A ?
A ?={a,b}
A ?={a}
三、设{
}6,5,4,3,2,1=A ,{}6,4,2=B ,{
}15,,|3
<∈==x N n x x C n ,求:
C A ?; A B -; )(B P
C={1,8}
C A ?={1,2,3,4,5,6,8}
A B -=Φ
P(B)={ Φ,{2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6}}
四:一个班50个学生,在一次考试中有26人得5分,在第二次考试中有21人得5分,如果两次考试中没有得5分的有17人,那么两次考试中都得5分的有都少人?(提示:应用包含排斥原理)
答:设A 为第一次考试得5分的人,B 为第二次考试得5分的人。 A=26,B=21 ~(A ?B )=17 A ?B=50-17=33 A ?B-A=7
A ?B=21-7=14
五,一个班25个学生,会打篮球的有12人,会打排球的有10人,两种球都不会打的有5人,那么两种球都会打的有多少人?(提示:应用包含排斥原理) 答:设A 为会打篮球的人数,B 为会打排球的人数。 A=12,B=10 ~(A ?B )=5 A ?B=25-5=20 A ?B-A=8 A ?B=10-8=2