必修一及必修四第一章测试题

必修一及必修四第一章测试题

一、单选题

3．下列函数f （x ）与g （x ）相等的一组是（）

A ．f （x ）=x ﹣1，g （x ）=-1

B ．f （x ）=x 2

，4

)()(x x g =

C ．f （x ）=log 2x 2

，g （x ）=2log 2x D ．f （x ）=tanx ，g （x ）= 4．已知α是第三象限的角，那么

2

α

是（ ）象限的角

A 、第二

B 、第三

C 、第二或第三

D 、第二或第四

5．设f （x ）=1nx+2x ﹣6，用二分法求方程lnx+2x ﹣6=0在区间（2，3）内近似解的过程中，得f （2．5）＜0，f （3）＞0，f （2．75）＞0，f （2．625）＞0，则方程的根落在区间（） A ．（2．5，3）B ．（2．5，2．75）C ．（2．625，2．75）D ．（2．5，2．625）

6．已知31

2

13

1

)31

(,4log ,2=-==c b a ，则a ，b ，c 大小关系正确的是（）

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞a ＞c

C ．a ＞c ＞b

D ．b ＞c ＞a

7．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）

（A ）甲比乙先出发（B ）乙比甲跑的路程多（C ）甲、乙两人的速度相同（D ）甲比乙先到达终点

8． 将函数sin(2)4

y x π

=+

的图象向左平移

4π

个单位，再向上平移2个单位，则所得函数的表达式是 A ．sin(2)24y x π=-+ B ．cos(2)24y x π

=++

C ．sin(2)24y x π=+-

D ．cos(2)24

y x π

=--

9．已知函数()cos 2

x

f x =，则下列等式成立的是（ ）

（A ）()()

f x f x π-=（B ）(2)()f x f x π+=

（C ）

()()

f x f x -=-（D ）

()()

f x f x -=

10．若函数

()(01)x x

f x ka a a a -=->≠且在

(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数

()log ()a g x x k =+的图象是（ ）

11．已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg2))f =（ ） A ．5- B ．1-C ．3D ．4

12．设2,((),(1)

x x f x x x ?||≥1)=?||

g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0,)+∞，()g x 的值域是（ ）

A 、(,1][1,)-∞-+∞

B 、(,1][0,)-∞-+∞

C 、[1,)+∞

D 、[0,)+∞ 二、填空题

13．已知幂函数()y f x =的图象过点14,2?? ???

，则(2)f =__________． 14．半径为2cm ，圆心角为

120的扇形面积为__________． 15．设()()11,f x x x x =-+-若关于x 的方程()f x k =

有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是

_____________． 16．有下列命题：

① 若函数()3sin()f x x ω?=+对于任意的x 都有

()()66f x f x ππ+=--，则()06

f π

=；

② 正切函数在定义域上单调递增；

③ 曲线2

()g x x =与曲线()2x

f x =有三个公共点; ④ 若a ∥b ，则有且只有一个实数λ，使a b λ=；

⑤ 已知函数???

??>≠><-=0

)10(log 01)2

sin()(x a a x x x x f a π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是)5

5

0(，

. 其中正确命题的序号是.

三、解答题

17．（1）计算：-（lg2+lg5）+lg20-lg2

（2）化简：

18．已知1tan 3

α=， （1）求：sin 2cos 5cos sin αα

αα

+-的值

（2）求：sin cos 1αα-的值

19．已知全集I=R ，集合A={x ∈R|31++x x ≤2

1}，集合B 是不等式1

2x +＜4的解集，求 A ∩（I B ）

20．设函数()log (1),a a

f x x

=-其中01a <<．

（Ⅰ）证明：()f x 是(,)a +∞上的减函数； （Ⅱ）若()1f x >，求x 的取值范围．

21．已知函数()sin(2)f x A x ω?=+ (其中0,0,02

A π

ω?>><<

)的周期为π，其图象上一个最高点为(

,2)6

M π

．

(1) 求()f x 的解析式，并求其单调减区间； （2）当[0,]4

x π

∈时，求出()f x 的最值及相应的x 的取值，并求出函数()f x 的值域.

22．设函数2()2f x kx x =+（k 为实常数）为奇函数，函数()() 1(01)f x g x a a a =->≠且． （1）求k 的值；

（2）求()g x 在[1,2]-上的最大值； （3

）当a =

2()21g x t mt ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及[1,1]m ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：由题的条件交集为4，则可得4为A与B的公共元素．建立方程可得a．{4}

A B=，则24,2

a a

==．

考点：交集的运算

2．A

【解析】

试题分析：由题

44 sin,sin,tan,tan

53 y y

r x

αααα

==-==-

得：

16 sin tan

15αα

?=

考点：三角函数的定义

3．D

【解析】

试题分析：A．解析式不同．B．中函数定义域分别为R，x≥0，C定义域为R，x>0不同．选D函数的定义域和解析式都相同．

考点：函数的概念

4．D

【解析】

试题分析：由图，如果角α为第三象限的角，则α/2 为图中3和它的对顶部分，

即第二或第四象限的角；

考点：任意角的范围

5．D

【解析】

试题分析：由题意可通过零点判定定理分析得：

：f（2．5）＜0且 f（2．625）＞0则零点在（2．5，2．625）

考点：零点的判定定理及二分法．

6．B

【解析】

试题分析：

1

3

122

a

<=<，

1

2

log42

b=-=，

1

3

1

0()1

3

c

<=<故选B

考点：指数与对数的性质

7．D

【解析】

试题分析：由图，甲和乙所走的路程相同又同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．

考点：函数的图像 8．B 【解析】

试题分析：函数sin(2)=sin 248y x x π

π??

??=+

+ ????

???，向左平移4π个单位得到3sin 2=sin(2)844y x x πππ

????=+++ ????

???，再向上平移

2

个单位得到

3sin(2)2=sin(2)2cos(2)24244

y x x x ππππ

=+

++++=++.故选B. 考点：正弦型函数sin()y A x ω?=+的图像和性质；图像的平移；三角函数的诱导公式. 9．D

【解析】

试题分析：由A ．()cos()sin ()22x f x x f x ππ-=-=≠，B ．(2)cos()sin ()2

x

f x x f x ππ+=+=-≠

C ．()cos

2

x

f x =为偶函数．逐一排查，得D 正确． 考点：余弦函数的函数性质 10．C 【解析】

试题分析：由题意：

()(01)x x

f x ka a a a -=->≠且，1,1k a =>．则()lo

g ()a g x x k =+图为C

考点：指数型和对数型函数的性质． 11．C 【解析】 试题分析：

2lg(log 10)lg(lg2)=-，又f (lg(lg 2))5,t lg(lg 2)令。

-==

3()sin 45f t at b t -=--+=，3()sin 43f t at b t =++=

考点：对数的运算和函数的奇偶性 12．D 【解析】

试题分析：在坐标系中作出函数f （x ）的图象观察图象可知，当纵坐标在[0，+∞）上时，

横坐标在（-∞，-1]∪[0，+∞]上变化 f （x ）的值域是（-1，+∞），而f （g （x ））的值域是[0，+∞）

∵g （x ）是二次函数∴g （x ）的值域是[0，+∞） 答案为：[0，+∞）．

考点：数形结合及分段函数 13．

14

【解析】

试题分析：设()f x x α=，过点可得：11()4, 2.(2)2

4

f α

α==-=

考点：求幂函数的解析式 14．43

π 【解析】 试题分析：由12s lR =

，442,,33

R l R s αππ==?== 考点：求幂函数的解析式 15．514

k -<< 【解析】

试题分析：去绝对值得：(1)(1)1

()(1)(1)x x x x f x x x x x -+-≥?=?--+-

，画图()f x k =有三个解， 则

与()f x 图像由三个交点．得514

k -<< 考点：分类讨论和数形结合思想． 16．①⑤ 【解析】

试题分析：②正切函数在其定义域内不具有单调性，故错误；③曲线2

()g x x =与曲线()2x f x =有两个公共点，

故错误；④若a ∥b （0a ≠），则有且只有一个实数λ，使a b λ=，故错误；

考点：向量和函数的综合应用. 17．（1）0；（2）-tana 【解析】 试题分析：（1）本题主要考察同底数对数的运算性质． （2）三角诱导公式的运用注意：即运用口诀：“奇变偶不变，符号看象限”． 公式运用的顺序：先化负为正，再化大为小． 试题分析：⑴原式=-1+l=0

（2）

=

=﹣tan α 考点：（1）对数的运算．（2）诱导公式的运用． 18．（1）

12；（2）7

10

- 【解析】

试题分析：（1）本题为切与弦的互化．由条件，可化切为弦，结合问题代入消元化简得值． （2）第（2）问为第（1）问的变式可运用平方关系加分母化为第（1）问解决． 试题解析：（1）1

sin 1

tan ,cos 3sin 3cos 3

ααααα=∴==Q 原式=

sin 6sin 1

15sin sin 2

αααα+=-

（2）原式=2222

sin cos 17sin 7

cos sin 10sin 10

αααααα--==-+ 考点：切与弦的互化及灵活的变形和转化能力．

19．{1}． 【解析】

试题分析：集合A 为分式不等式的求解．集合B 为含有绝对值的指数不等式，指数不等式可先化为同底数的指数幂，从而比较指数来求解． 试题解析：解：由A ：

31++x x ≤21，即)

3(21

+-x x ≤0， 等价于??

?≠+≤+-，

，

030)3)(1(2x x x 解得-3＜x ≤1．

∴A={x ∈R| -3＜x ≤1}． 又因为由1

2

+x ＜4有1

2

+x ＜22

，

∴ |x+1|＜2．∴ –2＜x+1＜2，即-3＜x ＜1． ∴B={x ∈R| -3＜x ＜1}．

∵I B={x ∈R| x ≤-3，或x ≥1}，∴A ∩（I B ）={1}．

考点：分式不等式和含绝对值的指数不等式的解法及集合运算．

● 20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）(,)1a a a - ●

【解析】 ● 试题分析：（1）本题中所给出的函数和区间都含有参数a ，并且已知在区间上是减函数， ● 可先回到减函数的定义，利用a 的范围从而判断出差的正负，进而证明． ● （2）可利用（1）中的函数性质为减函数，化为同底数的对数，（注意真数大于零） ●

建立关于x 的不等式求解．

● 试题解析：解：（Ⅰ）设

120,()1a

a x x g x x <<<=-

● 则12121212

()()()(1)(1)0a x x a a

g x g x x x x x --=-

--=<

● 12()()

g x g x ∴<又

1201()()

a f x f x <<∴>

● ()

f x ∴在(,)a +∞上是减函数

●

（Ⅱ）log (1)101a a a

a

x x ->∴<-<

● 110110

a a a a x

∴-<

<<<∴->从而

1a a x a <<

-

●

x ∴的取值范围是(,

)1a a a

- ● 考点：（Ⅰ）函数单调性的证明．（Ⅱ）函数单调性的应用及对数不等式的解法．

● 21．(1)()2sin(2)6f x x π=+,2[,],63k k k Z ππππ++∈；(2)

6x π

=

时 ()f x 取最大值2；0x =时 ()f x 取最小值1；()f x 的值域为[1,2]. ● 【解析】

● 试题分析：(1) 由函数()y Asin wx ?=+的图象与性质得：212T π

πωω

==

=，得；由图象上一个最高点为(

,2)6

M π

，

得A =2，设函数()2sin(2)f x x ?=+；当6

x π

=时,

222

x k π

?π+=

+即22,6

2

k k Z π

π

?π?

+=

+∈，又02

π

?<<

，得6

π

?=

；所以

()2sin(2)6

f x x π

=+

，

单调减区间为2[,

],6

3k k k Z π

πππ++∈；(2) 当[0,]4

x π

∈时，226

6

3

x π

π

π

≤+

≤

，由正弦函数的单调性即可得最值和值域. ● 试题解析：解：(1)

212T π

πωω==

∴=且由题意得A=2()2sin(2)f x x ?∴=+

● 由题意当

6x π

=

时,222

x k π

?π

+=

+即

22,6

2

k k Z

π

π

?π?

+=

+∈

● 02

π

?<<

Q 6π

?∴=

● ()2sin(2)6f x x π

∴=+

●

()f x 的单调减区间满足3222,.262

k x k k Z πππππ+≤+≤+∈

● 即2[,],.63k k k Z ππππ++∈

● (2)当

[0,]4x π∈时，22663x πππ≤+≤

● 由正弦函数的单调性可得

● 当

26

2x π

π

+

=

即

6x π

=

时 ()f x 取最大值2 ,

● 当

26

6x π

π

+

=

即0x =时 ()f x 取最小值1 ,

● ∴()f x 的值域为[1,2] ● 考点：函数

()

y Asin wx ?=+的图象与性质.

22．（1）0k =．（2）4max 21,1

()1

1,01a a g x a a

?->?

=?-<

试题分析：（1）可由奇函数的函数性质()()f x f x -=-，建立关于k 的方程求解． （2）要注意底数a 的取值，分两种情况讨论，结合单调性可求出最值．

（3）对于恒成立问题，结合（2）求出g （x ）的最大值，建立2121t mt ≤-+，又[1,1]m ∈-

，

可把2

()2h m mt t =-+看作关于m 的一次函数，求出t 的范围．

试题解析：（1）由()()f x f x -=-得2222kx x kx x -=--，∴0k =．

（2）∵()

22() 11()1f x x x g x a

a a =-=-=-

①当21a >，即1a >时，2() ()1x

g x a =-在[1,2]-上为增函数，

∴()g x 最大值为4(2)1g a =-．

②当2

1a <，即01a <<时，

∴2() ()x

g x a =在[1,2]-上为减函数，∴()g x 最大值为2

1

(1)1g a -=

-． ∴4max

21,1()1

1,01a a g x a a

?->?

=?-<

（3）由（2）得()g x 在[1,1]x ∈-

上的最大值为2(1)11g =-=， ∴2121t mt ≤-+即220t mt -≥在[1,1]-上恒成立分 令2()2h m mt t =-+，

∴2

2

(1)20,(1)20,

h t t h t t ?-=+≥??=-≥??即20,

0 2.t t ≤-≥??≤≥?或t 或t 所以(,2]{0}[2,)t ∈-∞-+∞． 考点：（1）函数的奇函数．（2）指数函数的性质．（3）恒成立问题及函数思想．