(完整版)导数的概念、几何意义及其运算.doc
导数的概念、几何意义及其运算
常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式
：
C '
为常数
) ; (x n '
nx n 1
,n N ；
0(C
)
(sin x)
'
cosx ; (cos x)'
sin x; ( e x ) ' e x
;
(a x )
'
a x ln a ；
(ln x)
'
1
; (log x)
'
1
log e
x
a
x a
法则 1： [ u ( x ) ( )] '
u '
( ) ' ( x ) 法则 2：
v x x v
[ u(x)v(x)] '
u ' ( x)v(x) u( x)v ' (x)
法则 3： [
u ( x)
] '
u '
( x )v( x) u( x)v '
( x) (v( x) 0)
v( x )
v 2
( x)
（一）基础知识回顾：
1. 导数的定义： 函数 y f ( x) 在 x 0 处的瞬时变化率
lim
y
f ( x 0
x)
f (x 0 )
称为函数 y
f ( x) 在 x x 0 处的 导数 ，记作 f /
( x 0 ) 或
x
lim
x
x
x
o
f ( x 0
x) f ( x 0 )
y /
x x 0
，即 f / ( x 0 )
lim
x 0
x
如果函数 y f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个
x (a, b) ，
都对应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数
f / (x) 。称这个函数 f / ( x) 为
函数 y
f (x) 在开区间内的 导函数 ，简称 导数 ，也可记作 y / ，即 f / (x) ＝ y / ＝
lim f ( x
x)
f ( x)
x
x
导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数
y
f (x) 在 x 0 处的导数 y /
x x
，就是导函数
f
/
( )
在 x 0 处的函数值，即
y
/
x
＝
x
x 0
f / ( x 0 ) 。 2. 由导数的定义求函数 y f ( x) 的导数的一般方法是 : (1).求函数的改变量
f
f ( x
x)
f (x) ;
（ 2） .求平均变化率
f f ( x x) f ( x) ; （ 3） .取极限，得导数 y /
＝ lim
f 。
x
x
x 0
x
3.导数的几何意义： 函数 y f ( x) 在 x 0 处的导数是曲线 y
f ( x) 上点 ( x 0 , f ( x 0 ) )处的切
线的斜率。
基础练习：
1. 曲线 y x 3 2x 4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ． 60°
D ．120°
2. 设曲线 y ax 2 在点（ 1，a ）处的切线与直线 2x y 6 0 平行，则 a （
）
A ．1
B ．
1
C ． 1
． 1
2
D
2
1
3. 设 P 为曲线 C ： y x 2 2x 3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范
围为 0， ，则点 P 横坐标的取值范围为（
）
4
A ． ，
1
B ． 1，0
C ． 01，
D ． 1 ，
1
2
1
2
4. 直线 y
1 x b 是曲线 y ln x x 0 的一条切线，则实数 b ＝
．
2 x 1在点 (3，2)
5. 设曲线 y
处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a （ ）
x 1
A ．2
B ． 1
C ．
1
． 2
2
2
D
6.曲线 y e x 在点 (2， e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
9
e
2
Ｂ． 2e
2
Ｃ． e
2
Ｄ．
e 2
4
2
7.曲线 y
1 3
x 在点
4 ）
x
1， 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（
3
3
Ａ．
1
Ｂ．
2
Ｃ．
1
Ｄ．
2
9
9
3
3
8．过点（－ 1， 0）作抛物线 y x 2 x 1的切线，则其中一条切线为
（A ） 2x
y 2 0 （B ） 3x y 3 0
（ C ） x y 1 0
（ D ） x y 1 0 9、如果质点 A 按规律 S=2t 3 运动，则在 t=2 秒时的瞬时速度为
(
)
(A) 6 (B) 8 (C) 16 (D)24
10、（ 2005 重庆理科 ）曲线 y x 3在点 (a, a 3 )(a 0) 处的切线与 x 轴、直线 x
a 所围成
的三角形的面积为
1
,则a =
11 2008 6 f ( x) 的图象是折线段 ABC
A ，y
B ， C
北京理） 如图，函数 ，其中 、（
的坐标分别为 (0，4)，(2，0)，，(6 4) ，则 f ( f (0))
；
4
A
C
f (1
x) f (1)
lim
．（用数字作答）
3
x 0
x
2
1
B
O
x
12 经过原点且与曲线 y=lnx 相切的直线的方程是
1 2 3 4 5 6 ___________________
13(2008 海南、 宁夏文 )设函数 b
，曲线 y f ( x)
在点
(2, f (2)) 处的切线
f ( x)
ax
x
方程为 7 x 4 y 12 0
。
（ 1）求 y f ( x) 的解析式；
2
导数的概念、几何意义及其运算 答案
1.B
2.A
3.A
4. ln2
－ 1 5.D 6. D 7.（ A ）
8． 解：
y
2x
1
，设切点坐标为
( x 0
, y 0 )
，则切线的斜率为
2
x 0 1，且 y 0 x 02
x 0 1
于是切线方程为 y x 0
2
x 0 1 (2 x 0 1)( x x 0 ) ，因为点（－ 1， 0）在切线上，可解得
x 0 ＝ 0 或－ 4，代入可验正 D 正确。选 D
9、D ； 10
1 ；11
2 ， -2 ；12
；
y 1 x
e
13、解：（Ⅰ）方程 7x
4 y 12 0 可化为 y
7
x 3 ． 当 x 2 时， y
1 ．
b
4
2
又
f (x)
a
，
x 2
2a b 1 ，
a ，
于是
2 2 , 解得 1 故 f (x) x
3 ．
7 b 3.
a b ，
x
4 4
3
函数的单调性、极值、最值与导数
1、函数单调性的充分条件：
函数 y
f ( x) 在某个区间 (a,b) 内可导，
若 f (x)
0 ，则函数 y f ( x) 在 (a,b) 内单调递增； 若 f (x) 0 ，则在 (a,b) 内单调递减 .
2、函数单调性的必要条件：
函数 y
f ( x) 在某个区间 (a,b) 内可导，
若 y f ( x) 在 (a, b) 内单调递增，则 f ( x) 0 ；若在 (a,b) 内单调递减，则 f (x)
0 .
3、函数单调区间的求法： （注意单调区间的表达）
首先，确定函数
y f ( x) 的定义域；其次，求
f ( x) ；最后，在定义域中解不等式
f (x) 0 得增区间，解不等式 f ( x) 0 得减区间 .
1、极值的概念：
设 函 数 y f ( x) 在 x 0 附 近 有 定 义 ， 如 果 对 x 0 附 近 的 所 有 点 ， 都 有
f ( x) f x 0 ( f ( x) f x 0 ) ，我们就说 f x 0 是函数 f (x) 的一个极大（小）值，记作
y
极大
值
f x 0 ( y 极小值
f x 0 ) ，把 x 0 点叫做函数的极大（小）值点 .
特 别 地 ， 若 函 数 y f ( x) 可 导 ， f x 0
0 ， 而 且 在 点 x x 0 附 近 的 左 侧
f x 0 f
x 0 ，右侧 f
x
0 f x 0
，则称 f
x 0 是函数 f ( x) 的一个极
大（小）值 .
2、求可导函数极值的步骤：
① 确定函数的定义域； ② 求导数 f x ；③ 解方程 f x
0 ；④ 当 f x 0 0 时，
（ ）如果在 x 附近的左侧 f x 0 ，右侧
f x 0 ，那么
f x 0 是极大值；（ ）如果
1 0
2
在 x 0 附近的左侧 f x
0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x 0 是极小值 .
、 ”
x 0
0 ”是 ”x 是函数极值点 .” 的必要不充分条件 .
3
f
4、函数最值的概念：
函数 y
f (x) 在 a, b 上所有点处最大（小）的函数值，称为 y f (x) 的最大（小）值 .
4
5、函数最值的判断：
① 求函数 y
f ( x) 在区间 a,b 内的极值；②
将 f (x) 的各极值与端点处的函数值
f a 、 f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
.
6、极值与最值的区别与联系：
（1）函数极值是局部性质，最值是整体性质；
（2）函数在定义区间上最大、最小值最多各有一个，但极值可能不止一个， 也可能不存在；
（3）当函数在某区间上的图像连续，并有且仅有一个极值时，该极值必为函数的最值
.
基础练习：
1． (2008 广东文 ) 设 a
R ，若函数 y e x ax ， x R 有大于零的极值点，则（
）
A ． a
1 B.
a
1 C.
a
1 a
1
D.
e
e
2．(2008 福建文 )如果函数 y f ( x) 的图像如右图 ,那么导函数 y
f , ( x) 的图像可能是 （ ）
3．（ 2004 全国卷 Ⅱ 理科） 函数 y ＝ xcosx － sinx 在下面哪个区间内是增函数（
）
（ A ） (
2 ，
3
) （ B ） ( ，2
) （ C ） (
3
，
5
) （D ） (2 ， 3 )
2
2
2
4． ( 2007广东文 ) 函数 f(x)=xlnx(x>0) 的单调递增区间是
．
5．（ 2007 江苏） 已知函数 f ( x) x 3
12 x 8 在区间 [ 3,3] 上的最大值与最小值分别为
M ,m ，则 M
m
.
6、已知函数
f ( ) x 3
3 x 2 9 x .
f (x) 的单调减区间；
x
a （Ⅰ）求
（Ⅱ）若 f (x) 在区间 [ － 2， 2]. 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 .
5
7、已知函数f (x) x3 ax2 bx c 在 x 2
与 x 1 时都取得极值．3
（1）求a，b的值及函数f ( x)的单调区间；
（2）若对x [ 1，2]，不等式f ( x) c2恒成立，求c的取值范围．
8.（ 2008 北京文）已知函数 f ( x) x3ax 2 3bx c(b 0), 且 g( x) f (x) 2 是奇函数.
（Ⅰ）求a,c 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间 .
6
9．（ 2004 浙江文）已知 a 为实数，f(x) (x2 4)(x a) （Ⅰ）求导数 f ( x) ；
（Ⅱ）若 f ( 1) 0 ，求 f (x) 在[-2，2] 上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求 a 的取值范围。
10．（ 2005 全国卷 II 文科）设a为实数，函数 f ( x) x3 x2 x a ．（I）求 f (x) 的极值；
（ II ）当a在什么范围内取值时，曲线y f (x) 与 x 轴仅有一个交点．
7
函数的单调性、极值、最值与导数（答案）
1． A ；
2． A ； 3． B ；4． 1
,
； 5． 32.
e
6、解：（ I ） f ( x)
3x 2
6x 9. 令 f (x)
0 ，解得 x
1或x
3,
所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( , 1), (3, ).
（II ）因为 f (
2) 8 12 18 a 2 a, f (2)
8 12 18 a 22 a,
所以 f (2)
f ( 2). 因为在（－ 1， 3）上 f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在 [ － 1， 2] 上单调递
增，又由于 f ( x) 在 [ － 2，－ 1] 上单调递减，因此 f (2) 和 f ( 1) 分别是 f ( x) 在区间 [ － 2，
2] 上的最大值和最小值 . 于是有 22
a 20 ，解得 a 2.
故 f ( x)
x 3 3x 2 9x 2. 因此 f ( 1) 1 3 9 2
7,
即函数 f ( x) 在区间 [ － 2，2] 上的最小值为－ 7.
7、解：（ 1） f （x ）＝ x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f （x ） ＝ 3x 2＋2ax ＋b
由 f （－ 2 ）＝
12－ 4
a ＋
b ＝0 ，f （ 1）＝3＋2a ＋b ＝ 0 得 a ＝ － 1
，b ＝ －2 3
9 3 2
f （ x ）＝ 3x 2－ x －2＝（ 3x ＋ 2）（ x －1），函数 f （ x ）的单调区间如下表：
x
2 ） － 2
（－ 2
1
（ 1，＋ ）
（－ ，－
， 1）
f （x ） ＋
3 3
3
－
＋ f （x ）
极大值
极小值
所以函数 f （ x ）的递增区间是（－
，－
2
）与（ 1，＋ ）。递减区间是（－
2
，1）
3
3
（ 2）f （x ）＝ x 3
－ 1
x 2
－ 2x ＋ c ，x 〔－ 1， 2〕，当 x ＝－ 2
时， f （x ）＝ 22
＋ c
2 3 27 为极大值，而 f （2）＝ 2＋ c ，则 f （2）＝ 2＋ c 为最大值。
要使 f （x ） c 2（x 〔－ 1， 2〕）恒成立，只需 c 2 f （2）＝ 2＋ c 解得 c －1 或 c 2
8.解：（ Ⅰ）因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数，所以，对任意的 x ∈ R,g(-x)=- g(x),即 f(-x)- 2=- f(x)+2.
又 f(x)= x 3+ax 2+3bx+c,所以 -x 3+ax 2-3bx+c-2=- x 3- ax 2-3bx-c+2.
a a,
解得 a=0， c ＝ 2. 所以
2c c 2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)=x 3+3bx+2. 所以 f ′ (x)=3 x 2+3b(b ≠ 0).
当 b ＜ 0 时，由 f ′ (x)=0 得 x=±
b.
x 变化时， f ′ (x)的变化情况如下表：
x (-∞ ,- b ) -b
(-b ,b ) b (b ,+∞ ) f ′ (x)
+
-
+
所以，当 b ＜ 0 时，函数 f (x) 在（ -∞， -
b ）上单调递增，在（ - b ， b ）上单调
8
递减，在（ b ， +∞）上单调递增 .
当 b ＞ 0 时， f ′(x)＞ 0.所以函数 f (x)在（ -∞， +∞）上单调递增 .
9． 解 : ( Ⅰ) 由原式得 f ( x) x 3
ax 2
4x 4a,
∴ f ( x) 3x 2 2ax 4.
(Ⅱ )由 f
( 1) 0 得 a
1 ,此时有 f ( x) ( x
2
4)( x
1
), f (x)
3x 2
x 4.
4
2
2
由 f ( 1)
或 x=-1 ,
0 得 x
3
又 f ( 4)
50
, f ( 1)
9
, f ( 2)
0, f (2)
0,
3
27
2
9
, 最小值为 50 .
所以 f(x) 在 [--2,2] 上的最大值为
3x 2
2 27
(Ⅲ )解法一 :
f (x) 2ax 4 的图象为开口向上且过点
(0,--4)的抛物线 ,由条件得
f ( 2)
0, f (2) 0,
即 4a
8 0 ∴--2 ≤a ≤ 2.
8
4a 0.
所以 a 的取值范围为 [--2,2].
解法二 :令 f
(x) 0 即 3x 2
2ax
4
0, 由求根公式得 :
x
1,2 a
a 2 12
3
( x 1 x 2 )
3x 2
所以 f ( x) 2ax
4. 在
, x 1 和 x 2 ,
上非负 .
由题意可知 ,当 x ≤-2
或 x ≥2时 ,
f (x) ≥ 0, 从而 x ≥-2, x
≤ 2,
1
2
即
a 2 12 a 6 解不等式组得 : --2 ≤ a ≤ 2.
a
2
12 6 a.
∴ a 的取值范围是 [--2,2].
10、【解】（1） f ( x) 3x 2
2x 1 ，若 f ( x)
0 ，则 x
1
,1
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：
3
x , 1 )
1 ( 1 ,1) 1
(1, )
(
3
3
3
f ( x) ＋
0 －
0 ＋
f ( x)
Z
极大值
]
极小值
Z
所以 f (x) 的极大值是 f (
1) 5 a ，极小值是 f (1) a
1 .
x 3
x 2 3 27 ( x 1)2 (x
（2）函数 f (x)
x
a 1) a 1.
由此可知 x 取足够大的正数时，有 f (x) 0 ， x 取足够小的负数时，有 f ( x) 0 ，所以曲
线 y f ( x) 与 x 轴至少有一个交点 .结合 f (x) 的单调性可知：
当 f (x) 的极大值
5 a 0 ，即 a (
,
5
) 时，它的极小值也小于
0，因此曲线
27
27
y f ( x) 与 x 轴仅有一个交点，它在 (1,
) 上；
当 f (x) 的极小值 a 1 0 时，即 a (1,
) 上时，它的极大值也小于
0， y f ( x) 与 x 轴
仅有一个交点， 它在 1
5
( , ) . a ( ,
) U (1, ) 时，曲线 y
f (x)
与
x
3
上 所以，当
27
轴仅有一个交点 .
9
导数概念及其几何意义
导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2 B．4+2Δx C．4Δx+Δx2 D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（） A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导．
导数的计算及其几何意义
导数的计算及其几何意义 一、导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率： 定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=- 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商 00()()f x x f x y x x +?-?=??称 作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注意：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2.函数的瞬时变化率、函数的导数： 定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化 00()()f x x f x y x x +?-?=??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0 x ?→时， 00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ?→时， 000()() ()f x x f x f x x +?-'→?” 或 “0000 ()() lim ()x f x x f x f x x ? →+?-'=?”． 注：0'()f x 是个数． 3.可导与导函数： 定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构
高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．． 的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B
3.1.3 导数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案及联系解答)
3.1.3导数的几何意义 教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学过程： 情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角. .tan , ,:β=???=?=x y y MQ x MP 则 展示目标：见学案 检查预习：见学案 合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化 趋是什么？ y x ??请问：是割线PQ 的什么?
新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数 就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 新知： 函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 精讲精练： 例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。 例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
导数的计算与导数的几何意义高考试题汇编(含答案)
专题三 导数及其应用 第七讲 导数的计算与导数的几何意义 2019年 1.（2019全国Ⅰ文13）曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 2.（2019全国Ⅱ文10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 3.（2019全国三文7）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1 B ．a=e ，b =1 C ．a=e -1，b =1 D ．a=e -1，1b =- 4.（2019天津文11）曲线cos 2 x y x =- 在点()0,1处的切线方程为__________. 5.（2019江苏11）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的 切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)=+-+f x x a x ax ．若()f x 为奇函数，则曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为 A ．2=-y x B ．y x =- C ．2=y x D ．=y x 2．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 A ．()2 x f x -= B ．2 ()f x x = C ．()3 x f x -= D ．()cos f x x = 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．e x y = D ．3y x = 4．（2016年四川）设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01 ()ln , 1x x f x x x -<?，图象上点1P ，2P 处
导数的几何意义的教学设计
导数的几何意义 【教学目标】 1.理解切线的定义 2.理解导数的几何意义 3.学会应用导数的几何意义。 【教学重点与难点】 重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】
第二步：求瞬时变化率()0000 () ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. （即0x ?→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．． ） (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数()y f x =的图象，平均变化 率()00() f x x f x y x x +?-?=?? 的几何意义是什么 生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率 教师板书，便于学生 数形结合探究导数的几何意义。 突破平均变化率的 几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么 二、引导探究、获得新知 1.得到切线的新定义 要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ?→，割线的变化趋势．．．．．．． ， ◆多媒体显示： 曲线上点P 处的切线PT 和割线n PP ，演示点n P 从右边沿着曲线逼近点P ,即0x ?→，割线n PP 的变化趋势。 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢 生：先观察后发现，当0x ?→，随着点n P 沿着曲线逼近点P ，割 以求导数的两个步骤为．．．．．．．．． 依据．． ，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ?→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。 用逼近的方法体会割线逼近切线。
高中数学知识点总结导数的定义及几何意义
导数的定义及几何意义 1．x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。 注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x ?趋近 于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。③x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ?， )(00x x f ?+）的割线斜率。④导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是 曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。⑤若极限x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点 都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应 着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分： 求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若2)(0/=x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2?k x f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。 [举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'() n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明： x a x a x x y n n x ?---?+=→?)()(lim 0/ =
导数几何意义
课时跟踪训练（三） 题组一导数几何意义 1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则() A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 2.如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x ＋8，则f(5)＝________，f′(5)＝________. 3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为： f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
第3题图 第4题y＝f(x)的图象 4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．
题组二 求曲线的切线方程 题型一 求曲线上某点处的切线方程（已知切点求切线方程） 5．曲线y ＝12x 2 －2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．165° 6．曲线f (x )＝2 x 在点(－2，－1)处的切线方程为________． 7．已知点P (－1,1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，若k PQ 当Δx →0时的极限为－2，则在点P 处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3 D ．y ＝－2x －2 8．曲线y ＝1 x 在点? ?? ??12，2处的切线的斜率为( ) A ．2 B ．－4 C ．3 D ．1 4 9．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a
导数的概念及其几何意义教案
§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，
∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近
导数的概念、运算及几何意义
导数的概率、运算以及几何意义 １．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）上的平均变化率．2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率 00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数，那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→” 读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 考点1： 导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +?，和[]33x +?，上的平均变化率 ①()f x x = ②2()f x x = 【例1】 平均变化率与瞬时变化率 ⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +?，上的平均变化率． ① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1 ()f x x = ⑤ ()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率． ① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x =④1 ()f x x =⑤()f x 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出 对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快． 【总结】由例1⑵看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快， 提高班学案1 【拓1】 求函数3()2f x x x =-在[]11x +?，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与 导数．
导数的概念及导数的几何意义
§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率
高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
导数的几何意义及运算
导数的几何意义及运算复习 一、 导数的几何意义： )(0x f ?=x y ??=x x x x x f x f 0 000)()()(-?+-?+=x f x f x x ?-?+)()(00=K 当Δx----0时, )(0x f ? =K 趋近于一常数 二、 导数的求导公式及运算 典型例题： 例1、当h 无限趋近于0时,h h 4)4(22-+无限趋近于 ;h h 44-+无限趋近于 . 练习：若 )(0x f ?=3，当Δx 无限趋近于0时,x x f x f x x ??--?+)3()(00= . 例2.已知函数y=f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线方程是x-2y+1=0,则'(1)2(1)f f += 训练1：已知函数y=f(x)的图像在点（0，f(0)）处的切线方程是2x-y+2=0,则'(0)(0)f f += 2.曲线 '2(1) 1().(0)2x f x f x e f e x =-+在点（1，f(1)）处的切线方程为 题型二：求切线方程 例3、已知曲线y=3 4313+x , (1)、求曲线在点P （2,4）处的切线方程; (2)、求斜率为4的曲线的切线方程； (3）、求过点P （2,4）的切线方程；
练习1：已知曲线3 y x = （1） 求曲线在点P （1,1）处的切线方程； （2） 求与直线3x-y=0平行的直线方程； （3） 求过点P(1，1)处的直线方程； 练习2：已知kx+1=㏑x 有实数解,求k 的取值范围 题型三：告诉切线方程求参数的值 例4：函数y=12+x a 图像与直线y=x 相切,则a= . 练习： 曲线y= 13++ax x 的一条切线方程为y=2x+1则实数a= 题型四：两个曲线的公切线 例5.若存有过点（1,0）的直线与曲线3y x =和21594 y ax x =+-都相切，则实数a= 例6已知曲线C 1：y=x 2与C 2：y=-)2(2-x ,直线l 与C 1,C 2都相切,求直线l 的方程.
导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)
导数的概念和几何意义同步练习题 一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12 a =，所以1 2()f x x ==() f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为2 2 (2)y e e x -=-，即2 2 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】 试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 11,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2
导数的几何意义教案
导数的几何意义教案
导数的几何意义教案 曾垂乐 【教学目标】 知识与技能目标: （1）使学生掌握函数f （x ）在x X 0处的导数f /X o 的 几何意义就是函数 住）的图像在 x X 0 处的切线的斜率。（数形结合），即: （2）会利用导数的几何意义解释实际生活问题， 体会“以直代曲”的数学思想方法。 过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探 索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决 问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力， 应用能力和创新能力的目的。 【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint ）, 实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观 性，有效提高教学效率和教学质量。 【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲” 的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 f / X o l X m o X0 X f （X0）=切线的斜率 X
【教学过程】 （一）作业点评，承上启下： 问题：在高台跳水运动中，t 秒（s ）时运动员相 对于水面的高度是h （t ） 4.9t 2 6.5t 10 （单位:m ），求 运动员在t 1s 时的瞬时速度，并解释此时的运动 状态；在t 0.5s 时呢？ 教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释 t 1s ， t 0.5s 时运动员的运动状态。 （说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接 过渡） （二）课题引入，类比探讨： 由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数 的本质。 ?问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达 式。 学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出： 导数f ，（X 0）的本质是函数f （x ）在x x o 处的瞬时变化 率 ，即： （说明：教师不能代替学生的思维活动， 学生将f / X o f X o X f(X o )
导数的概念及几何意义运算
一、选择题 1．若f ′(x 0)＝2，则 f (x 0－k )－f (x 0)2k 等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D.12 答案：A 3． 曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1, 则P 0点的坐标为( ) A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)或(－1，－4) D ．(2,8)或(－1，－4) 解析：设P 0点的坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2得：f ′(x )＝3x 2＋1， 令f ′(x 0)＝4，即3x 2 o ＋1＝4得x 0＝1或x 0＝－1，∴P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 答案：C 4．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线 的斜率为( ) A ．－15 B ．0 C.15 D ．5 解析：由已知f ′(x )是R 上以5为周期的奇函数，则f ′(5)＝f ′(0)＝0. 答案：B 5． 设f (x )在x 0处可导，则 f (x 0＋t )－f (x 0－t )t 的值等于________． 答案：2f ′(x 0) 6． 过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ＝e x 知y ′＝e x ，则y ′|x ＝x 0＝e x 0， ∴y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0 ＝e x 0，则x 0＝1，因此切点坐标为(1，e)．斜率为e. 答案：(1，e) e 7． 曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形面积为16 ， 则a ＝________. 解析：由y ＝x 3知y ′＝3x 2，则y ′|x ＝a ＝3a 2.因此切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a ) 即y ＝3a 2x －2a 3，令y ＝0得：x ＝2a 3，令x ＝a 得y ＝a 3根据已知条件12|a －2a 3|·|a 3|＝16 ， 解得：a ＝±1. 答案：±1 1． 函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )
8导数的计算及其几何意义 - 难 -讲义
导数的计算及其 几何意义 知识讲解 一、导数的概念及其几何意义 1.函数的平均变化率： 定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=- 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，则当0x ?≠时，商 00()()f x x f x y x x +?-?=??称 作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注意：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2.函数的瞬时变化率、函数的导数： 定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．如果当x ?趋近于0时，平均变化 00()()f x x f x y x x +?-?=??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0 x ?→时， 00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ?→时， 000()() ()f x x f x f x x +?-'→?” 或 “0000 ()() lim ()x f x x f x f x x ? →+?-'=?”． 注：0'()f x 是个数．
导数的运算及几何意义
个性化教学辅导教案 1、某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均数为________． 2、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且 椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 3、如图已知圆的半径为，其内接的内角分别为和，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在内的概率为（ ） A. B. C. D. 10ABC ?,A B 6045ABC ?3316π+334π+433π+1633 π +
1、导数的概念： 用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 2.导数的几何意义: 曲线221y x =+在P （－1，3）处的切线方程是______________ 3.导数的运算: 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ????x 2＋1x ＋1x 3 (3)y ＝sin 2????2x ＋π 3 (4)y ＝ln(2x ＋5) 1.学生对导数的概念不理解，没有学会利用定义求函数的导数； 2.本节课的知识点对于学生而言开始引入导数内容，难度中等，需要在对导数的定义理解的基础上，通过老师的总结引导，能够进行函数的导数运算，同时掌握导数的几何意义； 3.学生在学习导数时对公式的记忆不够熟练，对函数求导的练习量不够，学生学习比较积极，但是缺乏将知识融汇在一起的能力，总结归纳能力还需提高。
导数的概念与几何意义
导数的概念与几何意义、导数的运算 小题基础练⑧ 一、选择题 1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0⑧(a ，b )，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0－h h 的值为( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0) C ．－2f ′(x 0) D ．0 2．[2019·河南平顶山调研]设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2 3．[2019·河南濮阳第一高级中学检测(二)]已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′? ?? ??π4＝24，则实数a 的值为( ) A.23 B.12 C.34 D ．1 4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29
C．212D．215 6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是() A．y＝3ln x－x B．y＝e x＋x C．y＝3x＋2D．y＝x3－x2＋2x 7. 已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列选项正确的是() A．0 导数的概念及其几何意义同步练习题 一、选择题 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t +?+? C ．3t +? D ．9t +? 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ ） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)?⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0) 4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则 等于（ ） A.4 B.4x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x ) 2 5. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A. 3Δt ＋6 B. －3Δt ＋6 C. 3Δt －6 D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h ?+-的值（ ） A.与x 0，h 有关 B.仅与x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h 都无关 7. 函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 8.设函数f (x )=，则()()lim x a f x f a x a ?--等于( ) A.1a - B.2a C.21a - D.21a 9. 下列各式中正确的是( ) A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)Δx B. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx C. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx D. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13 f ′(1) D. 以上都不对 11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定 12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A. 194 B. 174 C. 154 D. 134 13.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题： ①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在； ③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )(完整版)导数的概念及其几何意义同步练习题(学生版)