高中学业水平测试数学试卷
高中学业水平测试数学试卷(一)
一、选择题(每题4分,共40分)
1.设集合A ={0,1,2,4,5,7},集合B ={1,3,6,8,9},集合C={3,7,9},则集合(A ∩B )∪C 等于
A .{0,1,2,6,9}
B .{3,7,9}
C .{1,3,7,9}
D .{3,6,7,9} 2.下列各组1=y 函数中,表示相同函数的是 A .x
x y =
与 B .x y =与2)(x y = C .2+=x y 与2
4
2--=x x y D .||x y =与2x y =
3.cos3000
的值等于 A .
21 B .-2
1
C .23
D .-23
4.已知5
3
cos =α,则α2cos 等于 A .
257 B .257- C .2516 D .25
16- 5.函数x y 2sin 4=是 A .周期为
2π的奇函数 B .周期为2
π
的偶函数 C .周期为π的奇函数 D .周期为π的偶函数 6.在空间下列命题中正确的是
A .同平行于同一个平面的两条直线平行
B .垂直于同一直线的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行 D .与同一个平面成等角的两条直线平行 7.“两条直线a 、b 为异面直线”是“直线a 、b 不相交”的 A. 充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 8.将x y sin =的图象上所有点向左平移
3
π
个单位长度,再把所得图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍,则得到的图象解析式为
A .)32sin(π
+
=x y B .)32sin(π-=x y C .)62sin(π-=x y D .)3
2sin(π
+=x y 9.如果直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,那么a 的值等于 A .1 B .31-
C .3
2
- D .-2 10.在△ABC 中,已知a=4,A=45°B=60°则b 等于 A .
3
6
4 B .22 C .32 D .62 二、填空题(每题4分,共16分)
11.45与80的等比中项是
12.已知一个球的半径R=3cm ,那么它的体积是 cm 3
13.函数)34(log 5.0-=
x y 的定义域是
14.已知双曲线 12222=-b
y a x 离心率 45
=e ,虚半轴长为3,则双曲线方程为
三、解答题(本大题共4个小题,共44分) 15.已知cos α=-
54,α∈),2(ππ,试求(1)sin (α-3
π
)的值;(2)cos2α的值。 16.已知等差数列{n a }中, 3a =9, 9a =3,求⑴1a 和公差d ;⑵前15项的和S 15。 17. 如图,四棱锥P-ABCD 中,底面是正方形,边长为a ,PD=a ,PA=PC=2a ⑴求证:PD ⊥平面ABCD ;⑵求异面直线PB 与AC 所成角; (3)二面角A-PB-D 的平面角的大小
18.已知直线l :mx+ny=1与椭圆C :122
22=+b
y a x )
0(>>b a 交于P 、Q 两点
① 求证:12
2
2
2
>+n b m a ;
②若O 为坐标原点且OP ⊥OQ ,求证:2
22
222n m b
a b a +=+
B
A C
D P
高中学业水平测试数学试卷(一)
参考答案
21.±60;22.π36;24.]1,4
3
(;25.191622=-y x ;26.-2 三、解答题(共42分,27-30每题8分,31题10分)
27.(本小题满分8分) 解:∵cos α=-54,α∈),2(ππ∴sin α=5
3
(1分) sin )3
(π
α-
=)3
sin cos 3cos
(sin π
απ
α- (3分)
=
103
43+ (5分) cos2α=1cos 22
-α (7分)
=25
7 (8分) 29.(本小题满分8分) 解:设首项为1a ,公差为d ,???=+=+3
89
211d a d a (3分)
解得1a =11,d =-1(5分) S 15=2
)
1()115(1511152)1(1-?-+
?=-+
d n n na =60(8分) 30.(本小题满分8分)
解:⑴∵AD=DC=a ,PD=a ,PA=PC=2a
∴AD 2+PD 2=PA 2,DC 2+PD 2=PC 2
(1分)
∴∠PDA=900,∠PDC=900
(2分) ∴PD ⊥平面ABCD (3分) ⑵连结AC 、BD 交于O ,
∵ABCD 是正方形∴AC ⊥BD (4分) ∵PD ⊥平面ABCD ∴AC ⊥PB (5分)
∴异面直线PB 与AC 所成角为900
(6分) ⑶作AE ⊥PB 于E ,连结EO ,
∵AC ⊥PB ,AE ⊥PB ∴PB ⊥平面AEO ∴PB ⊥EO
B
A
C
D
P
O
E
∴∠AEO 为二面角A-PB-D 的平面角(7分) 在Rt △PAB 中,a PB a AB A PA 3,,2===
∴a a
a AE 3
6322=
=
a OA 2
2
=
,∵AC ⊥平面PBD ∴AO ⊥OE , ∴在Rt △AOE 中,23
6
322sin =
?==∠AE OA AEO ∴ο
60=∠AEO (8分) 31.(本小题满分10分)
解:①???=+=+2
222221b
a y a x
b ny mx 消去x 得02)(2222222222=-+-+m b a b ny b y n b m a
(2分)
04442222242424>-+=?m b a n m b a m b a
即0)1(42
222222>-+n b m a m b a
∴12
2
2
2
>+n b m a (4分)
②设P (x 1,y 1)Q(x 2,y 2), 分别消去①中方程组x ,y ,由韦达定理可知y 1y 2=2
2222
222n b m a m b a b +-,
(6分)x 1x 2=2
2222
222n b m a n b a a +-,(8分)
由OP ⊥OQ 得02121=+y y x x (9分) 代入化简得222
22
2n m b
a b a +=+ (10分) 14.直线043=+y x 与圆9)4()3(2
2=-++y x 的位置关系是
A .相切
B .相离
C .相交但不过圆心
D .相交且通过圆心 16.已知向量a=(1,2),b=(-4,x ),且a ⊥b ,则x 的值是 A .-8 B .-2 C .2 D .8
17.已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等,则侧棱与底面所成的角等于 A .30° B .45° C .60° D .70°
20.若偶函数)(x f y =在]1,(--∞上是增函数,则下列各式成立的是 A .)2()2(->f f B .)3()2(f f >-.)()3(πf f < D .)3()2(f f <- 26.已知∣a ∣=4,∣b ∣=3,且a ⊥b ,则(a+b )·(a-2b )=