平面向量数量积的坐标表示教学设计

5．6平面向量的数量积及运算律

一、内容及其解析

1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。

2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。

二、目标及解析

1、目标

1）、掌握平面向量数量积的坐标表示

2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题

3）、掌握向量垂直的条件

2、解析：

1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积；

2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题.

3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断

本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。

四、教学支持条件分析

本节内容是全章重点内容之一，学生学习时容易混淆，在指导学生认真预习的前提下，教学中从向量的几何意义上突破难点，在通过适当的练习加以巩固。可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片，提高课堂效率。

五、教学设计过程

（一）、教学基本流程

（二）情景创设

平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算

的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？

设计意图：设置情境，引出课题，设下问题悬念，引发学生认知冲突，引起注意，唤起学生追求探索新知识的欲望.

问题1：①设单位向量,分别与平面直角坐标系中的x 轴、y 轴方向相同，O 为坐标原点，若向量j i OA 23+=，则向量的坐标是 ，若向量)2,1(-=a ，则向量可用,表示为 ；

②已知1||||==j i ，j i ⊥，且j i a 23+=，j i b -=，则=? ；

设计意图：由旧知识入手，引导学生复习已学过的知识，以便向新知识进行探索。

（三）新课讲授

1、平面向量数量积的坐标表示

问题2：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用与的坐标来表示?呢？（让学生自主推导）

设计意图：先让学生自主推导平面向量数量积的坐标表示形式，让学生能快速将所学的向量的坐标表示知识用到刚学的向量的数量积的问题上，体会知识的形成过程。

设向量,分别为平面直角坐标系的x 轴、y 轴上的单位向量，则有

y x 11+=，y x 22+=

∴ ))((2211y x y x ++=? x 1x 2i 2＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 1j 2 2121y y x x +=

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

练习：①若)3,2(=，则=? ，=|| ；

②若表示向量a 的起点和终点的坐标分别为)2,1(-和)6,2(，则=|| ；

③若)1,1(=，)3,3(-=，则=? ，与的夹角是 ； 设计意图：学生通过做练习，及时巩固所学新知识，加深理解 2、学生活动

问题3：设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，则 ①____i i ?= ②____i j ?= ③____j i ?= ④

____j j ?=

设计意图：巩固向量数量积的概念，并为下面的问题做铺垫 3、建构数学

1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ?=+，

让学生用自己的语言表达，教师归纳得：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

问题4：向量的数量积的性质如何用坐标表示？ （1）11(,)a x y =，则||a 怎么表示？ （2）若1122(,),(,)A x y B x y 则||AB 又如何表示？ （1

）||a =（2）||(AB x =问题5：你能写出向量夹角公式的坐标表示式以及向量平行和垂直的坐标表示式吗？

设计意图：仍然在帮助学生回忆有关知识点的过程中，引导他们用坐标的形式表示，通过两向量的两种特殊位置关系，体会向量的坐标表示，感受向量的数量积的作用。并帮助学生记住这些结论 （1）2

2

2

22

12

12121|

|||cos y x y x y y x x b a +?++=

?=

θ

（2）1221//0a b x y x y ?-= （3）12120

a b x x y y ⊥?+=

4、例题解析

例1．已知)3,1(-=，)1,3(-=，求?，||，||，与的夹角θ。可以接着问：,a b 的夹角怎么求？

解： 32)1(33)1(-=-?+?-=?b a 2)3()1(||22=+-= 2)1()3(||22=-+= 2

3

2232cos -=?-=

=

θ ∵ πθ≤≤0 ∴ 6

5πθ=

先让学生尝试解答，体会自主应用新知识解决问题的过程，然后给出详细解答. 例2．已知)2,1(A ，)3,2(B ，)5,2(-C ，试判断ABC ?的形状，并给出证明. 解：ABC ?是直角三角形. 证明如下：

∵ )1,1(=，)3,3(-= ∴ 031)3(1=?+-?=? ∴ ⊥

∴ ABC ?是直角三角形

先让学生画出简图，直观感知三角形的形状，然后引导学生分析解答.注重培养学生由观察——猜测——证明的思维方法.

例题引伸：

在直角OAB ?中，)3,2(=，),1(k =，求实数k 的值； 解：①若?=∠90AOB ，则OB OA ⊥

∴ 032=+k ∴ 3

2-=k

②若?=∠90OAB ，则⊥ 而 )3,1(),3,2(--=-=--=k ∴ 0)3(32=--k ∴ 311=

k ③若?=∠90OBA ，则⊥ 而 )3,1(),,1(k OB OA BA k BO -=-=--= ∴ 0)3(1=---k k ∴ 2

13

3±=

k 5、课堂小结

⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；

⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 目标检测

1.若)6,5(),3,4(=-=，则=?-4||32 ；

2.若)3,(),1,3(-==x ，且⊥，则实数=x ；

3.若)4,3(),2,5(),4,1(C B A --，则ABC ?的形状是 ；

4.若)7,4(),3,2(-==b a ，则a 在b 方向上的投影是 ；

5.若)2,4(=a ，则与垂直的单位向量的坐标是 ；

设计意图：充分做到以本为本，根据学情，能让学生把握公式特点，能利用公式进行计算。 配餐作业

一基础题（A 组题）

1.在已知a =(x ，y ），b =(－y ，x )，则a ，b 之间的关系为 （ ）C

A.平行

B.不平行不垂直

C.a ⊥b

D.以上均不对 2.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),且a ⊥b ,坐标满足条件（ ） C

A.x 1x 2-y 1y 2=0

B.x 1y 1-x 2y 2=0

C.x 1x 2+y 1y 2=0

D.x 1y 2+x 2y 1=0 3.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= . -7

4.已知a =(－2,3),b =(3,2)，求：a ·b 、（a +b ）·（a －b ）、（a +b ）2、a (a +b )、b (a +b )

设计意图：在目标检测的基础上进一步巩固所学公式，达到夯实基础的目的。 二巩固题（B 组题）

5.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ）C A.23 B.

2

23

C.

3

23 D.

4

23 6.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b 等于（ ）D. A.23 B .57 C.63 D.83

7.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A A.λ＞3

10 B.λ≥

3

10 C.λ＜

3

10 D.λ≤

3

10

8.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =CA ,则a 与b 的夹角为

。45°

9.证明：以A (-2,-3),B (19,4),C (-1,-6)为顶点的三角形是直角三角形。

10. 在△ABC 中，AB ＝(1，1)，AC ＝(2，k )，若△ABC 中有一个角为直角，求实数k 的值。

设计意图：使学生熟悉公式的变形，对所学知识有一个完整的印象，使知识系统化、条理化。 三提高题（C 组题）

11.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）D

A.)54

,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.)54,53(-或)53,54(- D.)54,53(-或)5

4,53(- 12.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ） C .13A B.

5

13

C.565

D.65

13.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（ ）A A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不等边三角形

14.已知A (1,2)?B (4,0)?C (8,6)?D (5,8)四点,则对四边形ABCD 描述最准确的是B A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形

15.计算：已知｜a ｜=3，｜b ｜=2，a ，b 夹角为60°，m 为何值时两向量3a +5b 与m a －3b 互相垂直？

设计意图：本部分是对基础知识的提升，先放手给学生自主探索，教师可做适当提示，培养学生应用解决问题的能力。

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）