最新人教版高中数学必修4第一章《第一章三角函数复习》示范教案

第一章三角函数复习

整体设计

本章网络结构

1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．

2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．

《三角函数》一章知识网络图

三维目标

1．通过全章复习，要求学生切实掌握三角函数的基本性质，掌握判定三角函数奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及五组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．

2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明，会由已知y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的三角函数值求角．

3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数的基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．

重点难点

教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．

教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.让学生先来阅读教材的小结，了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用．并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．

思路2.你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何

提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．

推进新课

知识巩固

提出问题

①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？

②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？

③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？

④你是如何得到正弦线、余弦线和正切曲线的？

⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？

活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．

问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．

sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α

＝tan α. 问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前

要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯片(如图1、图2、图3)：

图1

图2

图3

问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，应要牢固掌握，但不要死记硬背．

讨论结果：①～⑤略．

应用示例

例1已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sin α＋cos α的值．

活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同，是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．

解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：

①若角α终边过点P (4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋45

＝2； ②若角α终边过点P (－4,3)，则2sin α＋cos α＝2×35＋(－45)＝25

； ③若角α终边过点P (－4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×(－35)＋(－45

)＝－2； ④若角α终边过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α＝2×(－35)＋45＝－25

. 点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P 在角

(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α

； (2)2sin 2α－3sin αcos α＋2的值．

活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sin α与cos α的值，由sin α＋3cos α＝0及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组即得sin α与cos α的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sin α与cos α的值，需作怎样的变形即可，对看出本题由已知可得tan α＝－3的同学给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生教师再给予进一步引导，直至其独立解出此题．

解：(1)3cos α－sin α3cos α＋sin α＝3－tan α3＋tan α＝3＋33－3

＝－2－ 3. (2)2sin 2α－3sin αcos α＋2＝4sin 2α－3sin αcos α＋2cos 2α

＝cos 2α(4tan 2α－3tan α＋2)＝11＋tan 2α

(4tan 2α－3tan α＋2) ＝11＋(－3)2(4×9＋3×3＋2)

＝47 10.

点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，

(函数取最大值的点)为M(2，2)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．

活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用，及训练学生分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M、N恰是函数y＝A sin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期

的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A 、T .但要注意指导φ的求法．

解：方法一：

根据题意，可知T 4＝6－2＝4，所以T ＝16.于是ω＝2πT ＝π8

. 将点M 的坐标(2,22)代入y ＝22sin(π8

x ＋φ)， 得22＝22sin(π8×2＋φ)，即sin(π4

＋φ)＝1. 所以满足π4＋φ＝π2的φ的最小正数解为φ＝π4

. 从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4

)，x ∈R . 方法二：

将两个点M (2,22)，N (6,0)的坐标分别代入y ＝22sin(ωx ＋φ)并化简，

得?????

sin (2ω＋φ)＝1，sin (6ω＋φ)＝0. 所以，在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，有?????

2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π.

从而所求的函数解析式是y ＝22sin(π8x ＋π4

)，x ∈R . 点评：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x 轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的．

例4已知函数f (x )＝log 12

(sin x －cos x )． (1)求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．

图4

活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.

图5 正、余弦线

解：(1)x 必须满足sin x －cos x >0，利用图4单位圆中的三角函数线或图5中的正、余弦

线，知2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4

(k ∈Z )， ∴函数定义域为(2k π＋π4，2k π＋5π4

)(k ∈Z )． ∵sin x －cos x ＝2sin(x －π4

)，

∴当x ∈(2k π＋π4，2k π＋5π4)时，0＜sin(x －π4

)≤1. ∴0＜sin x －cos x ≤ 2.

∴y ≥log 122＝－12

. ∴函数值域为[－12

，＋∞)． (2)∵f (x )定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，

∴f (x )不具备奇偶性．

(3)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π.

点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知，以第一、二象限的角平分线为标准，可区分sin x －cos x 的符号．以第二、三象限的角平分线为标准，可区分sin x ＋cos x 的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的图6

的三角函数表示C 点的坐标；2＝1，点C (cos α

本章复习参考题A 组题1、4、12.

课堂小结

提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．

作业

已知函数f (x )＝sinπx 图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为( )

图7 A ．y ＝f (2x －12

) B ．y ＝f (2x －1) C ．y ＝f (12x －1) D ．y ＝f (12x －12

) 答案：B

设计感想

1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处．在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．

2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．

3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．

备课资料

备用习题

1．已知集合A ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝60°＋k ·720°，k ∈Z }，C ＝{γ|γ＝60°＋k ·180°，k ∈Z }，那么集合A 、B 、C 之间的关系是( )

A ．

B ?A ?

C B ．A ?B ?C

C ．B ?C ?A

D ．C ?B ?A

答案：A

2．若α是第四象限角，则π－α是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

答案：C

3．把函数y ＝4cos(x ＋π3

)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )

A.π6

B.π3

C.2π3

D.5π6

答案：C