高考数学专题7不等式54与不等式有关的创新题型文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题7 不等式 54 与不

等式有关的创新题型 文

n n 375系是________．

2．(2015·北京西城区一模)在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y ) * (x ＋

y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．

3．若关于x 的不等式x 2

－ax －6a <0有解且解的区间长度不超过5个单位长度，则a 的取值范围是________．

4．(2015·四川江陵第二次统考)若流程图如图所示，视x 为自变量，y 为函数值，可得函数y ＝f (x )的解析式，则f (x )>f (2)的解集为________．

取得最小

)x (f 时，a ＝x ，当∈(0,4)x ，9

x ＋1

＋4－x ＝)x (f 已知函数)重庆一诊(2015·．5．

________的图象为|

b ＋x |)1a

(＝)x (g ，则函数b 值

6．在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最

小，则这两个数构成的数对(△，○)应为__________．

7．用

C (A )表示非空集合

A 中的元素个数，定义|A －

B |＝

|

B －A |，且}a ＝3|－x 2＋2

x ||x {＝B ，{1,2}＝A 若?

????

C A －C B ，C A ≥C B ，C B －C A ，C A

B .

＝1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )＝________.

，那么称这两个不

? ??

??1b ，1a 和)b ，a (的解集分别为)<0x (g 和)<0x (f 的不等式x ．如果关于8θ

·sin 2x 4＋2

x 2与不等式2<0＋θ·cos 2x 34－2

x ．如果不等式”对偶不等式“等式为________.

＝θsin ，那么?

??

??π2，π∈θ为对偶不等式，且1<0＋ 9．(2015·通州崇川区一模)

的最小值为1

b

＋4a －1，如图所示，则

(1,3)P 的图象经过点>0)b (b ＋x

a ＝y 已知函数________．

内的格点

n D ，记n D 为所表示的平面区域????

?

x>0，y>0，

y≤－nx ＋3n

设不等式)长沙二模(2015·．10)

注：格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点(．)*

N ∈n )(n (f 的个数为)Z ∈y ，x )(y ，x ( (1)求f (1)，f (2)的值及f (n )的表达式；

的取值范围；

m 成立，求实数m ≤n T ，总有*

N ∈n ，若对于任意f

n f n ＋12n

＝

n T 记(2) Sn －tbn

Sn ＋1－tbn ＋1

，使

t ，n ，问是否存在正整数)

n (f 2

＝n b 项和，其中n 的前}n b {为数列n S 设(3)理由．；若不存在，请说明t ，n 成立？若存在，求出正整数1

16

<

答案解析

)

3

2，12－2.( 5a >27a ＋3a ．1 3．[－25，－24)∪(0,1] 4．(－∞，－2)∪(3.5,5]

解析 由流程图知

，

(2)f )>x (f ，所以由4＝(2)f 所以???

??

x2，x≤2，2x －3，2

1x ，x>5，

＝)x (f ≤5.

x 3.5<或2－

1x >4，

x>5，

或?

??

??

2x －3>4，

2

??

??

x2>4，

x≤2，得 5．②

，

1＝5－x ＋1×9

x ＋1

5≥2

－9

x ＋1

＋1＋x ＝)x (f 由基本不等式得 解析 ，

1取得最小值)x (f 时，2＝x ，即9

x ＋1

＝1＋x 当且仅当 .

1|

＋x |)12(＝|b ＋x |)1a (＝)x (g ，因此1＝b ，2＝a 故 个单位长度即可，

1的图象向左平移|

x |)12

(＝y 只需将 为偶函数，

|

x |)12

(＝y 因为 的图象，

|

x |)12

(＝y 的图象即可得到x )12(＝y 故通过 的图象．

1|

＋x |)12

(＝y 进而得到 6．(5,10)

解析 设数对为(a ，b )，则4a ＋b ＝30，

，

310≥? ????5＋b a ＋4a b 130＝)b ＋a (4? ????1a ＋1b 130＝1b ＋1a ∴ 立，

时等号成?????

a ＝5，

b ＝10

即?????

b a ＝4a b

，

4a ＋b ＝30，

当且仅当 所以满足题意的数对为(5,10)．

7．1

，

1＝|B －A |个，而4个，3个，2的根可能是a ＝3|－x 2＋2

x |由于 解析 1.

＝)S (C ，所以4＝a 个根，故3只有a ＝3|－x 2＋2

x |故 12

8.

，

2x ，1x 的两个根分别为0＝2＋θ·cos 2x 34－2x 设方程 解析 ；

2＝2x 1x ，θcos 234＝2x ＋1x 则 ，

4x ，3x 的两个根分别为0＝1＋θ·sin 2x 4＋2

x 2设方程 .

1

2

＝4x 3x ，θ2sin 2＝－4x ＋3x 则 为对偶不等式，

1<0＋θ·sin 2x 4＋2

x 2与不等式2<0＋θ·cos 2x 34－2

x 因为不等式 ，

θ2sin 2＝－θcos 232＝43cos 2θ

2

＝x1＋x2x1x2＝1x2＋1x1＝4x ＋3x 所以 ，

θsin 2＝－θcos 23所以 ，

3＝－θtan 2即 ，

2π)，∈(πθ2，所以? ??

??π2，π∈θ因为 ，

π5

6

＝θ，即π53＝θ2所以 .

12

＝θsin 所以 92

9.

解析 由已知可得3＝a ＋b ，所以(a －1)＋b ＝2(a >1，b >0)．

4a

－1.

92＝4)＋×(512)≥a －1b ＋4b a －1＋×(512＝)1b ＋4a －1](b ＋1)－a [(12＝1b ＋ 时取等号．

4

3＝b 2＝1－a 当且仅当 10．解 (1)f (1)＝3，f (2)＝6. 由x >0,0

2.

＝x 或1＝x ，所以*

N ∈x 又 当x ＝1,0

故f (n )＝n ＋2n ＝3n .

，9n

n ＋1

2n

＝n T 知(1)由(2) ，

9

n ＋1n ＋2

2n ＋1

＝

1＋n T 则

.

9

n ＋12－n

2n ＋1

＝

n T －1＋n T 则 .

n T <1＋n T 时，≥3n 所以当 .

27

2

≥m ，故272≤n T ，所以272＝3T ＝2T 9<＝1T 又 (3)假设存在满足题意的n 和t ，

.88n －1

7

＝

n S ，故n

8＝n

32＝n b 知(1)由 .

1

16

<88n －1－7t·8n 88n ＋1－1－7t·8n＋1＝Sn －tbn Sn ＋1－tbn ＋1则 ，

1

16<8n 8－7t －88n ＋18－7t －8变形得

<0.

8n 8－7t －15

2[8n 8－7t －1]

即

)<15.

t 7－(8n

1<8所以 由于n ，t 均为正整数，所以n ＝t ＝1.