2006年高考重庆卷理科数学试题及参考答案

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）

数学试题（理工农医类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡

皮擦干净后，再选涂共他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字后，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ?=?．

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

k n k k n n P P C k P --=)1()(．

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个备选项中, 只

有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合U ={1，2，3，4，5，6，7}，A = {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（C U A ）∪（C U B ）=

（A ）{1，6}

（B ）{4，5}

（C ）{2，3，4，5，7} （D ）{1，2，3，6，7}

（2）在等差数列{a n }中，若a 4+ a 6=12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为

（A ）48

（B ）54

（C ）60

（D ）66

（3）过坐标原点且与圆02

5

2422=+

+-+y x y x 相切的直线的方程为 （A ）y =－3x 或x y 31

=

（B ）y = 3x 或x y 31

-=

（C ）y =－3x 或x y 3

1

-=

（D ）y = 3x 或x y 3

1

=

（4）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l

（A ）平行 （B ）相交

（C ）垂直

（D ）互为异面直线

（5）若n

x x ???? ?

?-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 （A ）－540 （B ）－162

（C ）162

（D ）540

（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18

岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是

（A ）20 （B ）30 （C ）40

（D ）50

（7）与向量??

? ??-=??? ??=27,21,21,27b a 的夹角相等, 且模为1的向量是

（A ）??

? ??-53,54

（B ）??? ??-53,54或 ???

?

?-

53,54

（C ）??

?

?

??-31,322 （D ）????

??-31,322或???

?

??-31,322

（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2

名，则不同的

分配 方案有 （A ）30种 （B ）90种 （C ）180种

（D ）270种

（9）如图所示, 单位圆中弧AB

的长为)(,x f x 表示弧AB 与弦AB 所围 成的弓形面积的2倍，则函数)(x f y =的图象是

（10）若a , b , c > 0且324)(-=+++bc c b a a ,则c b a ++2的最小值为

（A ）13-

（B ）13+

（C ）232+

（D ）232-

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）复数 的值是_______．

（12）=+--+++∞

→12)

12(312

lim n n n n _______．

（13）已知=??? ?

?+=??? ??--=+???

??∈4cos ,13124sin ,53)sin(,,43,παπββαππβα则_______．

（14）在数列{}n a 中, 若32,111+==+n n a a a （n ≥1）, 则该数列的通项=n a _______． （15）设,1,0≠>a a 函数)

32lg(2)(+-=x x a

x f 有最大值, 则不等式0)75(log 2

>+-x x a 的

⌒ ⌒

1 + 2i 3 + i 3

解集为_______．

（16）已知变量y x ,满足约束条件41≤+≤y x ,22≤-≤-y x , 若目标函数y

ax z +=（其中0>a ）仅在点（3,1）处取得最大值，则a 的取值范围为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分13分) 设函数2cos 3)(=

x f ωx + sin ωxcos ωx + a （其中ω> 0, a ∈R ）, 且)(x f 的图象在

y

轴右侧的第一个最高点的横坐标为6

π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果)(x f 在区间???

??

?-

65,3ππ上的最小值为3, 求a 的值．

（18）(本小题满分13分)

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5

位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为3

1

, 用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列；

（Ⅱ）随机变量ξ的期望．

（19）(本小题满分13分)

如图, 在四棱锥ABCD P -中, ⊥PA 底面ABCD ,

DAB ∠为直角, ,2,//AB CD AD CD AB == E 、F 分

别为PC 、CD 的中点．

（Ⅰ）试证：⊥CD 平面BEF ；

（Ⅱ）设AB k PA ?=, 且二面角C BD E --的平面角大于30°, 求k 的取值范围． （20）(本小题满分13分

)

已知函数x

e c bx x x

f )()(2++=, 其中R c b ∈,为常数．

（Ⅰ）若)1(42

->c b , 讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若)1(42-≤c b , 且,4)(lim 0

=-→x

c

x f x 试证：26≤≤-b ．

（21）(本小题满分12分)

已知定义域为R 的函数)(x f 满足x x x f x x x f f +-=+-2

2

)())((． （Ⅰ）若3)2(=f , 求)1(f ； 又若)(,)0(a f a f 求=；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数0x , 使得00)(x x f =,求函数)(x f 的解析表达式．

（22）(本小题满分12分)

已知一列椭圆,1:22

2

=+n

n b y x C

10<

P n , 使P n 到右准线l n 的距离d n 是| P n F n |与 | P n G n |的等差中项, 其中F n 、G n 分别是C n 的左、右焦点．

（Ⅰ）试证：2

3≤

n b （n ≥1）； （Ⅱ）取2

32++=n n b n ,并用S n 表示△P n F n G n 的面积,试证：121+>

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分. （1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C

（7）B

（8）B

（9）D

（10）D

二、填空题：每小题4分，满分24分. （11）

i 10

7

101+ （12）

2

1

（13）65

56-

（14）321

-+n

（15）（2，3） （16）a >1

三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分）

解：（Ⅰ）a x x x f +++=

|2

3

|2sin 212cos 23)(ωω .2

3

)3

2sin(a x ++

+

=π

ω 依题意得 .2

3

6

2π

π

π

ω=

+

?

解得.2

1=

ω （Ⅱ）由（Ⅰ）知，.2

3

)3

sin()(a x x f ++

+=π

又当]6

5,3[π

π-∈x 时，]6

7,

0[3

ππ

∈+

x 故1)3

sin(21≤+≤-

π

x ， 从而]6

5,3[)(π

π-

在x f 上取得最小值.2

3

21a ++-

因此，由题设知2

1

3 ,32321+==++-a a 故. （18分）（本小题满分13分）

解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.

由等可能性事件的概率公式得

.24380

3

2)1(,

24332

32)0(5

41

555=?=====C P P ξξ

.24340

32)3(,

24380

32)2(5

43

55325=?===?==C P C P ξξ

.2431

3

1)5(,24310

3

2)4(5

5

45==

==?==ξξP C P

从而ξ的分布列为

（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为

.3

52434052431

5243104243403243802243801243320==?+?+?+?+?+?

=ξE

解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验. 故),3

1

,5(B =ξ即

.5,4,3,2,1,0 ,)3

2

()31()(545===-k C k P k k ξ

由此计算ξ的分布列如解法一.

（Ⅱ）.3

5315=?

=ξE 解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二

（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.

即,53=ξE 从而.3

5

=

ξE （19）（本小题13分） 解法一：

（Ⅰ）证：由已知AB DF =

//且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD ⊥BF .

又P A ⊥底面ABCD , CD ⊥AD , 故由三垂线定理知CD ⊥P D . 在△P DC 中, E 、F 分

别为P C 、CD 的中点，故EF //P D ，从而CD ⊥EF ，由此得CD ⊥面BEF .

（Ⅱ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接 EG ，则在△P AC 中易知EG //P A ，又因 P A ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD . 在底 面ABCD 中，过G 作GH ⊥BD ，垂足为H ，连接 EH ，由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为 二面角E —BD —C 的平面角.

设AB =A ，则在△P AC 中，有

ka PA BG 2

121== 以下计算GH ，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD ，

因DF GB GH BD S GBD ?=?=

?21

21 故.BD

DF

GB GH ?=

在△ABD 中，因AB =a ，AD =2a ，得.5a BD =

而AB DF a AD FB GB ====

,2

1

21，从而得 a a

a a BD AB GB GH 55

5=?=?=

因此.255

5

21

tan k a ka

GH EG EHG === 由k >0知∠EHG 是锐角，故要使∠EHG >30°，必须

,3

330tan 25=?>k

解之得，k 的取值范围为.15

15

2>

k 解法二：

（Ⅰ）如图，以A 为原点, AB 所在直线为x 轴, AD 所在直线为y 轴, A P 所在直线为z 轴建立 空间直角坐标系，设AB =a ，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为 A （0，0，0），B （a ，0，0），C （2a ，2a ，0），

D （0，2a ，0），F （a ，2a ，0）

从而)0,2,0( ),0,0,2(a BF a DC ==，

. ,0BF DC BF DC ⊥=?故

设P A =B ，则P （0，0，b ），而E 为P C 中点，故

)2,,(b a a E . 从而).2,,0(b a BE =

. ,0BE DC BE DC ⊥=?故

由此得CD ⊥面BEF .

（Ⅱ）设E 在xOy 平面上的投影为G , 过G 作为GH ⊥BD 垂足为H , 由三垂线定理知EH ⊥BD . 从而∠EHG 为二面角E —BD —C 的平面角. 由)0,,( ),2

,

,( ),,0,0(a a G ka

a a E ka P AB k PA 得?=. 设)0,,(y x H ，则)0,2,(),0,,(a a a y a x -=--=，

由0)(2)(0=-+--=?a y a a x a 得，即

a y x -=-2 ① 又因)0,,(y a x BH -=，且BD BH 与的方向相同，故

a

y

a a x 2=

-，即

a y x 22=+ ②

由①②解得a y a x 5

4

,53==

. 从而a a a 55||),0 ,51 ,52(=

--=.

.25

5

52tan k a ka

EHG ===

由k >0知∠EHG 是锐角，由∠EHG >30°，得?>30tan tan EHG ，即.3325>k

故k 的取值范围为.15

15

2>

k （20）（本小题13分）

解：（Ⅰ）求导得2

2

])2([)(c c b x b x x f ++++='

因0)2(0)( ),1(42

2=++++='->c b x b x x f c b 即故方程有两根；

2

)1(422

2)1(4222221--++-=<---+-=c b b x c b b x

令21 ,0)(x x x x x f ><>'或解得； 又令21 ,0)(x x x x f <<<'解得，

故当)( ,),(1x f x x 时-∞∈是增函数；当)( ,),(2x f x x 时+∞∈是增函数；

但

当)( ,),(21x f x x x 时∈是减函数.

（Ⅱ）易知c b f c f +='=)0( ,)0(，因此 .)0()

0()(lim )(lim 00

c b f x

f x f x c x f n n +='=-=-→→

所以，由已知条件得

?

??-≤=+),1(4,

42c b c b

因此.01242

≤-+b b

解得26≤≤-b .

（21）（本小题12分）

解：（Ⅰ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈2

2

)())(( ,有，所以 .22)2()22)2((2

2

+-=+-f f f 又由3)2(=f ，得.1)1( ,223)223(2

2

=+--+-f f 即

若.)( ,00)00( ,)0(2

2

a a f a a f a f =+-=+-=即即

（Ⅱ）因为对任意x x x f x x x f f R x +-=+-∈2

2

)())(( ,有， 又因为有且只有一个实数,)( ,000x x f x =使得

所以对任意,)( ,02

x x x x f R x =+-∈有，

在上式中令,)( ,002000x x x x f x x =+-=有

又因为.10 ,0 ,)(002

0000===-=x x x x x x f 或故所以 若0)( ,02

0=+-=x x x f x 则，即

.)(2x x x f -=

但方程02

x x x =-有两个不同实根，与题设条件矛盾，故.00≠x 若0x =1, 则有.1)( .1)(22+-==+-x x x f x x x f 即易验证该函数满足题设

条件.

综上，所求函数为

)(1)(2

R x x x x f ∈+-=

（22）（本小题12分） 证：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有 1 ,2||||2==+=n n n n n n d C P F P d 故.

设2

1n n b c -=，则右准线方程为

.1

:n

n c x l =

因此，由题意d n 应满足

.1111+≤≤-n

n n c d c

即.121 ,1

0111

<≤??

???<<≤-n n n c c c 解之得

即

,112

12

<-≤n b

从而对任意.2

3 ,1≤

≥n b n （Ⅱ）设点P n 的坐标为1 ),,(=n n n d y x 则由及椭圆方程易知 ,11-=n

n c x

).

122(1))11

(

1)(1()1(2

32

22222-++-=

---=-=n n n n

n

n n n n c c c c c c x b y

因n n n n n n C F P c C P ?=故 ,2||的面积为||n n n y c S =，从而

)12

1( 1222

32<<-++-=n n n n n c c c c S

令122)(2

3

-++-=c c c c f ，由

0226)(2

=++-='c c c f

得两根

.6

131± 从而易知函数)23

1

,21()(+在c f 内是增函数，而在

)6

13

1(+内是减函数.

现在由题设取n n n n c n n n b c n n b ,2

11211 ,2322

+-=++=-=++=则是

增数列，又易知 325

4

613143c c =<+<=，

故由前已证，知S 1

≥>+n S S n n .