高考文科数学试题汇编不等式

E 单元 不等式

E1 不等式的概念与性质

2．E1[2013·北京卷] 设a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1

b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3

2．D [解析] ∵函数y ＝x 3在R 上是增函数，a>b ， ∴a 3>b 3.

8．B7，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )

A ．a>c>b

B ．b>c>a

C ．c>b>a

D ．c>a>b

8．D [解析] a －b ＝log 32－log 52＝1log 23－1

log 25＝log 25－log 23log 23log 2

5>0

a>b ，c ＝log 23>1，a<1，b<1，所以c>a>b ，答案为D.

15．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．

15.??????0，π6∪????

??5π

6，π [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝

(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤1

2.因为0≤α≤π，

故α∈??????0，π6∪??

??

??

5π6，π. 10．E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A.? ????2 33，2

B.??????2 33，2

C.? ????2 33，＋∞

D.????

??2 33，＋∞ 10．A [解析] 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线

的渐近线的斜率b a 必须满足33

??b a 2≤3，4

3<1＋? ????b a 2≤4，即有2

3 3<1＋? ????b a 2≤2.又双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋? ??

??b a 2，所以2

3 3

E2 绝对值不等式的解法

4．E2[2013·全国卷] 不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1，1) B ．(－2，2)

C ．(－1，0)∪(0，1)

D ．(－2，0)∪(0，2)

4．D[解析] |x2－2|<2等价于－2

E3一元二次不等式的解法

20．E3，B12[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．

(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；

(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．

20．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2

＝

a

1＋a2

，

故f(x)>0的解集为{x|x1

因此区间I＝0，

a

1＋a2

，区间长度为

a

1＋a2

.

(2)设d(a)＝

a

1＋a2

，则d′(a)＝

1－a2

（1＋a2）2

，令d′(a)＝0，得a＝1，

由于0

当1－k≤a<1时，d′(a)>0，d(a)单调递增；

当1

因此当1－k≤a≤1＋k时，d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．

而d （1－k ）d （1＋k ）＝ 1－k 1＋（1－k ）2 1＋k 1＋（1＋k ）2

＝2－k 2－k 3

2－k 2＋k 3

<1，故d(1－k)

因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间[1－k ，1＋k]上取得最小值1－k

2－2k ＋k 2

.

11．B1，E3[2013·安徽卷] 函数y ＝ln1＋1

x ＋1－x 2的定义域为________．

11．(0，1] [解析] 实数x 满足1＋1x >0且1－x 2≥0.不等式1＋1x >0，即x ＋1

x >0，解得x>0或x<－1；不等式1－x 2≥0的解为－1≤x ≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．

15．C6、E1和E3[2013·重庆卷] 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．

15.??????0，π6∪????

??5π

6，π [解析] 根据二次函数的图像可得Δ＝

(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2 α－cos 2α≤0，转化为2sin 2 α－(1－2sin 2 α)≤0，即4sin 2α≤1，即－12≤sin α≤1

2.因为0≤α≤π，

故α∈?

?????0，π6∪??

????5π

6，π. 7．E3[2013·重庆卷] 关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )

A.52

B.72

C.154

D.152

7．A [解析] 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a)2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝5

2(负值舍去)，故选A.

E4 简单的一元高次不等式的解法

13．E4[2013·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件????

?x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则

x ＋y 的最大值为________．

13．6 [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图， 可知在点B(4，2)处x ＋y 取最大值为

6.

6．E4[2013·江西卷] 下列选项中，使不等式x<1x

成立的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1，0)

C ．(0，1)

D ．(1，＋∞)

6．A [解析] x －1x <0 x 2－1x <0 x<－1或0

－1x >0 x<0或x>1，求交集得x<－1，故选A.

14．E4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件

?????1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，

则z ＝2x －y 的最大值为________． 14．3 [解析] 点(x ，y)是平面内平行线x ＝1，x ＝3与平行线x －y ＝－1，x －y ＝0围成的平行四边形区域，区域的四个顶点坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，4)，(3，3)，分别代入得z ＝0，1，2，3，所以z ＝2x －y 的最大值为3.

E5 简单的线性规划问题

2．E5[2013·天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件????

?3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则

目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )

A ．－7

B ．－4

C ．1

D ．2

2．A [解析] 可行域如图：

联立?????y ＝3，x －y －2＝0，

得A(5，3)，当目标函数线过可行域内A 点时，

目标函数有最小值z ＝3－2×5＝－7.

8．E5[2013·四川卷] 若变量x ，y 满足约束条件?????x ＋y ≤8，

2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，

且z

＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )

A ．48

B ．30

C ．24

D ．16

8．C [解析] 画出约束条件表示的可行域，如图，

由于目标函数z ＝5y －x 的斜率为1

5，可知在点A(8，0)处，z 取得最小值b ＝－8，在点B(4，4)处，z 取得最大值a ＝16.故a －b ＝24.

7．E5[2013·陕西卷] 若点(x ，y)位于曲线y ＝|x|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值是( )

A ．－6

B ．－2

C ．0

D ．2

7．A [解析] 结合题目可以作出y ＝∣x ∣与y ＝2所表示的平面区域，令2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，在封闭区域内平移直线y ＝2x ，当经过点A(－2，2)时，z 取最小值，为2×(－2)－2＝－6.

14．E5[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组????

?2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．

14.2 [解析] 可行域如图，当OM 垂直于直线x ＋y －2＝0时，|OM|最小，故|OM|＝|0＋0－2|1＋1

＝

2.

图1－5

3．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件????

?x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，

则z ＝2x －3y 的最小值是( )

A ．－7

B ．－6

C ．－5

D ．－3

3．B [解析] 画出可行域如图△ABC ，易得A(3，－2)，B(3，

4)，C(0，1)，作出直线y ＝2

3x ，平移易知直线过B 点时直线在y 轴上的截距最大，此时z 最小．故选B.

图1－1

7．E5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 执行右面的程序框图1－2，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )

A ．1＋12＋13＋14

B ．1＋12＋13×2＋1

4×3×2

C ．1＋12＋13＋14＋1

5

D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋1

5×4×3×2

图1－2

7．B [解析] k ＝1，T ＝1，S ＝1；k ＝2，T ＝12，S ＝1＋1

2；k ＝3，T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3；k ＝4，T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋

1

2×3×4

，k ＝5>4成立，输出S ，答案为B.

9．E5[2013·江苏卷] 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．

9.?

??

?

??－2，12 [解析] 由y ＝x 2得y′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜

率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面

直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A(0，－1)，B ? ??

??12，0. 作直线l 0：x ＋2y ＝0.

当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2(－1)＝－2； 当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝1

2. 故x ＋2y 的取值范围是???

?

??－2，12.

9．E5[2013·湖北卷] 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，

且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )

A ．31 200元

B ．36 000元

C ．36 800元

D ．38 400元

9．C

[解析] 由题意知????

?36A ＋60B ≥900，A ＋B ≤21，B －A ≤7，

其可行域如图中阴影

部分，令z ＝1 600A ＋2 400B B ＝－23A ＋z

2 400，过点M(5，12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝

36 800.

13．E5[2013·广东卷] 已知变量x ，y 满足约束条件????

?x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，

y ≥1，则z ＝x ＋y 的最大值是________．

13．5 [解析] 根据图知，线性目标函数z ＝x ＋y 在点C 处取得最大值，易求点C(1，4)，故z max ＝

5.

6．E5[2013·福建卷] 若变量x ，y

满足约束条件????

?x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，

则

z

＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )

A ．4和3

B ．4和2

C ．3和2

D ．2和0

6．B [解析] 可行域如图所示，直线z ＝2x ＋y 过点A(1，0)时，z min ＝2，过点B(2，0)时，z max ＝4，故选

B.

12．E5[2013·北京卷] 设D

为不等式组????

?x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0

表示的平面

区域，区域D 上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．

12.

2 5

5 [解析] 在平面直角坐标系中画出可行域，如图所示．根据可行域可知，区域D 内的点到点(1，0)的距离最小值为点(1，0)到直线2x －y ＝0的距离，即d ＝|2－0|5

＝2 5

5.

12．E5[2013·安徽卷] 若非负变量x ，y 满足约束条件???

??x －y ≥－1，

x ＋2y ≤4，

则x ＋y 的最大值为________．

12．4 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z ＝x ＋y ，则z 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距，结合图形，可知当直线y ＝－x ＋z 通过点A(4，0)时z 最大，此时z ＝

4.

15．E5[2013·浙江卷] 设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足????

?x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.

若z 的最大值为12，则实数k ＝________． 15．2 [解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC 及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(2，3)，要使z 的最大值为12，只能经过B 点，此时12＝4k ＋4，k ＝

2.

E6 基本不等式

7．E6[2013·福建卷] 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[－2，0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 7．D [解析] 1＝2x ＋2y ≥2

2x ＋y 2x ＋y ≤2－2 x ＋y ≤－2，当

且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立，故选D.

14．E6[2013·陕西卷] 在如图1－3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为______(m)．

图1－3

14．20 [解析] 利用所给的图形关系，由图形关系可知三角形相似，设矩形的另一边长为y ，则x 40＝40－y

40，所以y ＝40－x ，又有xy

≤? ??

??x ＋y 22

＝400，当且仅当x ＝y 时等号成立，则x ＝40－x ，即x ＝20，故矩形面积最大时x 的值为20.

13．E6[2013·四川卷] 已知函数f(x)＝4x ＋a

x (x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.

3．36 [解析] 由基本不等式性质，f(x)＝4x ＋a

x (x>0，a>0)在4x ＝a x ，即x 2＝a 4时取得最小值，由于x ＞0，a ＞0，再根据已知可得a 4＝32，故a ＝36.

E7 不等式的证明方法

E8 不等式的综合应用

12．E8[2013·山东卷] 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z

xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )

A ．0 B.9

8 C ．2 D.9

4

12．C [解析] 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，

∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2

xy

＝x y ＋4y x －3≥2 x y ·4y

x －3＝1，

当且仅当x y ＝4y

x ，即x ＝2y 时，等号成立，

∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －()4y 2－6y 2＋4y 2

＝－2(y －1)2＋2≤2.

20．H4，E8，B1[2013·四川卷] 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2

＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．

(1)求k 的取值范围；

(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1

|ON|2.请将n 表示为m 的函数．

20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4，得 (1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)

由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2>3. 所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．

(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则

|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 2

2.

又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2， 由2|OQ|2＝1|OM|2＋1

|ON|2，得

2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1

（1＋k 2）x 22

，

即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2

－2x 1x 2x 21x 2

2

. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝12

1＋k 2，

所以m 2＝

36

5k 2－3

. 因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2

＝365k 2－3中并化

简，得5n 2－3m 2＝36.

由m 2

＝36

5k 2－3

及k 2>3，可知0

根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0， 所以n ＝

36＋3m 25＝15m 2＋180

5

. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋180

5(m ∈(－3，0)∪(0，3))．

15．H1，C8，E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．

E9 单元综合

19．D5，E9[2013·广东卷] 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项

和为S n ，满足4S n ＝a 2

n ＋1－4n －1，

n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3

＋…＋1a n a n ＋1<1

2.

19．解：