大学高等数学知识点
大学高等数学知识点 Prepared on 24 November 2020
大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一.数列函数: 1.类型:
(1)数列:*()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数:
(3)分段函数:*0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?;*0
0()(),
x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数:(),()y f u u x ?== (5)隐式(方程):(,)0F x y =
(6)参式(数一,二):()
()x x t y y t =??=?
(7)变限积分函数:()(,)x
a F x f x t dt =?
(8)级数和函数(数一,三):0
(),n n n S x a x x ∞
==∈Ω∑
2.特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别);(()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).
3.反函数与直接函数:11()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二.极限性质:
1.类型:*lim n n a →∞
;*lim ()x f x →∞
(含x →±∞);*0
lim ()x x f x →(含0x x ±→)
2.无穷小与无穷大(注:无穷量):
3.未定型:000,,1,,0,0,0∞∞
∞-∞?∞∞∞
4.性质:*有界性,*保号性,*归并性 三.常用结论:
11n n →,1(0)1n a a >→,1()max(,,)n
n
n n
a b c a b c ++→,()00!
n
a a n >→
1(0)x x
→→∞,0lim 1x
x x +→=,lim 0n x x x e →+∞=,ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0n x x x +
→=,0,x
x e x →-∞?→?+∞→+∞? 四.必备公式:
1.等价无穷小:当()0u x →时,
sin ()()u x u x ;tan ()
()u x u x ;2
11cos ()
()2
u x u x -; ()1()u x e u x -;ln(1())()u x u x +;(1())1()u x u x αα+-;
arcsin ()()u x u x ;arctan ()()u x u x
2.泰勒公式:
(1)2
211()2!x e x x o x =+++; (2)221
ln(1)()2x x x o x +=-+;
(3)341
sin ()3!x x x o x =-+;
(4)24511
cos 1()2!4!
x x x o x =-++;
(5)2
2(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=++
+. 五.常规方法:
前提:(1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞?∞∞);(2)变量代换(如:1
t x
=)
1.抓大弃小()∞
∞
,
2.无穷小与有界量乘积(M α?)(注:1
sin 1,x x
≤→∞) 3.1∞处理(其它如:000,∞) 4.左右极限(包括x →±∞):
(1)1
(0)x x
→;(2)()x e x →∞;1
(0)x e x →;(3)分段函数:x ,[]x ,max ()f x 5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子) 6.洛必达法则
(1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比:1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x
x →-)
(2)幂指型处理:()
()ln ()
()v x v x u x u x e
=(如:1
11111
1(1)x x x x x
e
e e e
-++-=-)
(3)含变限积分; (4)不能用与不便用
7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小 8.极限函数:()lim (,)n f x F x n →∞=(?分段函数)
六.非常手段 1.收敛准则:
(1)()lim ()n x a f n f x →+∞
=?
(2)双边夹:*?n n n b a c ≤≤,*,?n n b c a →
(3)单边挤:1()n n a f a +=*21?a a ≥*?n a M ≤*'()0?f x >
2.导数定义(洛必达):00lim
'()x f
f x x
→= 3.积分和:10112lim [()()()]()n n
f f f f x dx n n n n →∞+++=?,
4.中值定理:lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞
→+∞
+-=
5.级数和(数一三):
(1)1
n n a ∞
=∑收敛lim 0n n a →∞
?=,(如2!
lim n n n n n →∞)(2)121
lim()n n n n a a a a ∞
→∞=++
+=∑,
(3){}n a 与11
()n n n a a ∞
-=-∑同敛散
七.常见应用:
1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?n f x kx x →
(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====?()()!!
n
n n
a a f x x x x n n α=
+ (2)00
()x
x
n f t dt
kt dt ??
2.渐近线(含斜):
(1)()
lim
,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞→∞==-()
f x ax b α?++
(2)()f x ax b α=++,(1
0x →)
3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,'()f x 连续性) 八.[,]a b 上连续函数性质
1.连通性:([,])[,]f a b m M =(注:01λ?<<,“平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)
2.介值定理:(附:达布定理)
(1)零点存在定理:()()0f a f b <0()0f x ?=(根的个数); (2)()0(())'0x
a f x f x dx =?=?.
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一.基本概念:
1.差商与导数:'()f x =0
()()
lim x f x x f x x
→+-;0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--
(1)0
()(0)'(0)lim
x f x f f x →-=(注:0()
lim
(x f x A f x
→=连续)(0)0,'(0)f f A ?==) (2)左右导:''00(),()f x f x -+;
(3)可导与连续;(在0x =处,x 连续不可导;x x 可导)
2.微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+?= (1)可微?可导;(2)比较,f df ?与"0"的大小比较(图示); 二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;(注:(())'f x )
2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1'
dx dy y = 三.各类求导(方法步骤):
1.定义导:(1)'()f a 与'()x a f x =;(2)分段函数左右导;(3)0
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
(注:0
0()(),
x x F x f x x x a ≠?=?=?,求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2.初等导(公式加法则):
(1)[()]u f g x =,求:0'()u x (图形题);
(2)()()x
a
F x f t dt =?,求:'()F x (注:((,))',((,))',(())'x
b
b
a
a
a
f x t dt f x t dt f t dt ???)
(3)0
10
2(),()x x f x y x x f x
dx dx
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.
4.参式导(数一,二):()()x x t y y t =??=?,求:22,dy d y
dx dx
5.高阶导()()n f x 公式:
()
()
ax n n ax
e a e =;()1
1!
()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2
n n ax a ax n π
=+?;()(cos )cos()2
n n ax a ax n π
=+
?
注:()
(0)n f
与泰勒展式:2012()n
n f x a a x a x a x =+++++
()(0)
!
n n f a n ?=
四.各类应用:
1.斜率与切线(法线);(区别:()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)
2.物理:(相对)变化率-速度;
3.曲率(数一二
):ρ=
曲率半径,曲率中心,曲率圆)
4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润) 五.单调性与极值(必求导) 1.判别(驻点0'()0f x =): (1)'()0()f x f x ≥?;'()0()f x f x ≤?;
(2)分段函数的单调性
(3)'()0f x >?零点唯一;"()0f x >?驻点唯一(必为极值,最值). 2.极值点:
(1)表格('()f x 变号);(由0
002'()'()''()
lim 0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x
→→→≠≠≠?=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)
注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);
(2)实例:由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优) 3.不等式证明(()0f x ≥)
(1)区别:*单变量与双变量*[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞ (2)类型:*'0,()0f f a ≥≥;*'0,()0f f b ≤≥
*"0,(),()0f f a f b ≤≥;*00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥
(3)注意:单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性.(如:max ()()f x M f x M ≤?=) 4.函数的零点个数:单调⊕介值 六.凹凸与拐点(必求导!): 1."y ?表格;(0"()0f x =)
2.应用:(1)泰勒估计;(2)'f 单调;(3)凹凸. 七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点) 1.结论:()()'()()0F b F a F f ξξ=?== 2.辅助函数构造实例: (1)()f ξ?()()x
a F x f t dt =?
(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=?= (3)()
'()()()'()0()()
f x f
g f g F x g x ξξξξ-=?= (4)'()()()0f f ξλξξ+=?()()()x dx
F x e f x λ?
=;
3.()()0()n f f x ξ=?有1n +个零点(1)()n f x -?有2个零点
4.特例:证明()()n f a ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)
5.注:含12,ξξ时,分家!(柯西定理)
6.附(达布定理):()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ?∈,[,]a b ξ?∈,使:'()f c ξ= 八.拉格朗日中值定理
1.结论:()()'()()f b f a f b a ξ-=-;(()(),'()0a b ??ξ?ξ)
2.估计:'()f f x ξ=
九.泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1.结论:2300000011
()()'()()"()()"'()()2!3!
f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+
-+-; 2.应用:在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计
十.积分中值定理(附:广义):[注:有定积分(不含变限)条件时使用]
第三讲:一元积分学
一.基本概念: 1.原函数()F x :
(1)'()()F x f x =;(2)()()f x dx dF x =;(3)()()f x dx F x c =+? 注(1)()()x
a F x f t dt =?(连续不一定可导);
(2)()()()()x x
a
a
x t f t dt f t dt f x -????(()f x 连续)
2.不定积分性质:
(1)(())'()f x dx f x =?;(())()d f x dx f x dx =? (2)'()()f x dx f x c =+?;()()df x f x c =+? 二.不定积分常规方法 1.熟悉基本积分公式 2.基本方法:拆(线性性)
3.凑微法(基础):要求巧,简,活(221sin cos x x =+)
如:211(),,ln ,
2dx
dx d ax b xdx dx d x a x
=
+==2=4.变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin ,,
,x t t t t x
====
(2)作用与引伸(化简):x t =
5.分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()x
a x x f t dt ?);
(2)“反对幂三指”:,ln ,n ax n x e dx x xdx ??
(3)特别:
()xf x dx ?(*已知()f x 的原函数为()F x ;*已知'()()f x F x =)
6.特例:(1)11sin cos sin cos a x b x
dx a x b x
++?;(2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ??快速法;(3)()()n v x dx u x ?
三.定积分:
1.概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*2
(0)8
a a π
>=
?
;*()02
b
a
a b
x dx +-
=? (3)附:
()()b
a
f x dx M b a ≤-?
,
()()()b
b a
a
f x
g x dx M g x dx ≤?
?)
(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重 2:变限积分()()x
a x f t dt Φ=?的处理(重点)
(1)f 可积?Φ连续,f 连续?Φ可导
(2)(())'x
a
f t dt ?()f x =;(()())'()x
x
a
a
x t f t dt f t dt -=??;()()()x
a
f x dt x a f x =-?
(3)由函数()()x
a
F x f t dt =?参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题
3.N L -公式:()()()b
a
f x dx F b F a =-?(()F x 在[,]a b 上必须连续!)
注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含()b
a f t dt ?的方程.
4.变量代换:()(())'()b a
f x dx f u t u t dt β
α
=??
(1)0
()()()a a
f x dx f a x dx x a t =-=-??,
(2)0
()()()[()()]a a a
a
a
f x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-???(如:44
1
1sin dx x π
π
-+?)
(3)220
1
sin n n n n I xdx I n
π
--==
?, (4)220
(sin )(cos )f x dx f x dx π
π
=??;20
(sin )2(sin )f x dx f x dx π
π
=??, (5)0
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
??
,
5.分部积分 (1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()x a
f x =?
时,求()b
a
f x dx ?
6.附:三角函数系的正交性: 四.反常积分: 1.类型:(1)(),
(),
()a
a
f x dx f x dx f x dx +∞+∞
-∞
-∞
?
?
?
(()f x 连续)
(2)()b a
f x dx ?:(()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断) 2.敛散;
3.计算:积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)
4.特例:(1)1
1
p dx x +∞?
;(2)101p dx x
? 五.应用:(柱体侧面积除外) 1.面积,
(1)[()()];b
a
S f x g x dx =-?(2)1()d
c
S f y dy -=?;
(3)21()2
S r d βαθθ=
?;(4)侧面积
:2(b a S f x π=? 2.体积:
(1)2
2
[()()]b
x a
V f x g x dx π=-?;(2)1
2
[()]2()d
b
y c
a
V f y dy xf x dx ππ-==??
(3)0x x V =与0y y V =
3.弧长
:ds = (1)(),[,]y f x x a b =
∈a
s =?
(2)12()
,[,]()
x x t t t t y y t =?∈?=
?21
t t s =?
(3)(),[,]r r θθαβ=∈
:s β
α
θ=?
4.物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,
5.平均值(中值定理): (1)1[,]()b
a f a
b f x dx b a
=
-?; (2)0
()[0)lim
x x f t dt f x
→+∞
+∞=?,(f 以T 为周期:0
()T
f t dt f
T
=
?)
第四讲:微分方程
一.基本概念
1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)
2.变换方程:
(1)令()'""x x t y Dy =?=(如欧拉方程)
(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =?=?(如伯努利方程) 3.建立方程(应用题)的能力 二.一阶方程:
1.形式:(1)'(,)y f x y =;(2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=;(3)()y a b =
2.变量分离型:'()()y f x g y = (1)解法:()()()()
dy
f x dx G y F x C
g y =?=+?
?
(2)“偏”微分方程:
(,)z
f x y x
?=?; 3.一阶线性(重点):'()()y p x y q x += (1)解法(积分因子法):00
()01
()[()()]()x
x p x dx
x x M x e y M x q x dx y M x ?=?=
+? (2)变化:'()()x p y x q y +=;
(3)推广:伯努利(数一)'()()y p x y q x y α+=
4.齐次方程:'()y
y x =Φ
(1)解法:'(),()y
du dx
u u xu u x
u u x =
?+=Φ=Φ-??
(2)特例:
111
222
a x
b y
c dy dx a x b y c ++=++ 5.全微分方程(数一):(,)(,)0M x y dx N x y dy +=且
N M
x y
??=?? 6.一阶差分方程(数三):1*
()()x x x x x n x
x y ca y ay b p x y x Q x b +=?-=??=? 三.二阶降阶方程
1."()y f x =:12()y F x c x c =++
2."(,')y f x y =:令'()"(,)dp
y p x y f x p dx
=?=
= 3."(,')y f y y =:令'()"(,)dp
y p y y p
f y p dy
=?== 四.高阶线性方程:()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1.通解结构:
(1)齐次解:01122()()()y x c y x c y x =+
(2)非齐次特解:1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2.常系数方程:"'()ay by cy f x ++=
(1)特征方程与特征根:20a b c λλ++=
(2)非齐次特解形式确定:待定系数;(附:()ax f x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.
3.欧拉方程(数一):2"'()ax y bxy cy f x ++=,令2"(1),'t x e x y D D y xy Dy =?=-= 五.应用(注意初始条件):
1.几何应用(斜率,弧长,曲率,面积,体积); 注:切线和法线的截距
2.积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0x
a f x dx F x F a ==?
3.导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程
4.变化率(速度)
5.22dv d x F ma dt dt
==
= 6.路径无关得方程(数一):Q P
x y
??=?? 7.级数与方程:
(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==
8.弹性问题(数三)
第五讲:多元微分与二重积分
一.二元微分学概念
1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ?=++?=+?=+
(2)lim ,lim ,lim y x x y f f
f f f x y
???==?? (3)2
2
,lim
x y f x f y
df +(判别可微性)
注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 2.特例:
(1)22
(0,0)(,)0,(0,0)
xy
x y f x y ?≠?+=??=?
:(0,0)点处可导不连续;
(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==?
:(0,0)点处连续可导不可微;
二.偏导数与全微分的计算: 1.显函数一,二阶偏导:(,)z f x y = 注:(1)y x 型;(2)0
(,)x x y z ;(3)含变限积分
2.复合函数的一,二阶偏导(重点):[(,),(,)]z f u x y v x y =
熟练掌握记号''"""
12111222,,,,f f f f f 的准确使用
3.隐函数(由方程或方程组确定):
(1)形式:*(,,)0F x y z =;*(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =??=?
(存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0x y z F dx F dy F dz ++=(要求:二阶导) (3)注:00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三.二元极值(定义); 1.二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点);
(2)充分条件(判别)
2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)
(1)目标函数与约束条件:(,)(,)0z f x y x y ?=⊕=,(或:多条件) (2)求解步骤:(,,)(,)(,)L x y f x y x y λλ?=+,求驻点即可. 3.有界闭域上最值(重点).
(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ?=⊕∈=≤ (2)实例:距离问题 四.二重积分计算:
1.概念与性质(“积”前工作): (1)D
d σ??,
(2)对称性(熟练掌握):*D 域轴对称;*f 奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标; (3)“分块”积分:*12D D D =;*(,)f x y 分片定义;*(,)f x y 奇偶
2.计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3.极坐标使用(转换):22()f x y +
附:2
2
2
:()()D x a y b R -+-≤;22
22:1x y D a b
+≤;
双纽线222222()()x y a x y +=-:1D x y +≤ 4.特例:
(1)单变量:()f x 或()f y
(2)利用重心求积分:要求:题型12()D
k x k y dxdy +??,且已知D 的面积D S 与重心(,)x y
5.无界域上的反常二重积分(数三)
五:一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ
?ΩΩΓ∑?):
1.“尺寸”:(1)D D
d S σ???;(2)曲面面积(除柱体侧面);
2.质量,重心(形心),转动惯量;
3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.
第六讲:无穷级数(数一,三)
一.级数概念
1.定义:(1){}n a ,(2)12n n S a a a =+++;(3)lim n n S →∞
(如1
(1)!n n
n ∞
=+∑
) 注:(1)lim n n a →∞
;(2)n q ∑(或1
n a
∑
);(3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ?收敛. 2.性质:(1)收敛的必要条件:lim 0n n a →∞
=;
(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→; 二.正项级数
1.正项级数:(1)定义:0n a ≥;(2)特征:n
S ;(3)收敛n S M ?≤(有界)
2.标准级数:(1)1p n ∑,(2)ln k n n α∑,(3)1
ln k n n
∑
3.审敛方法:(注:222ab a b ≤+,ln ln b a a b =) (1)比较法(原理):n
p
k a n (估计),如1
0()n
f x dx ?;()()P n Q n ∑ (2)比值与根值:*1
lim
n n n
u u +→∞
*n 应用:幂级数收敛半径计算)
三.交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)
1.“审”前考察:(1)0?n a >(2)0?n a →;(3)绝对(条件)收敛 注:若1
lim
1n n n
a a ρ+→∞=>,则n u ∑发散
2.标准级数:(1)1
1(1)n n +-∑;(2)11(1)n p n +-∑;(3)11(1)ln n p n
+-∑ 3.莱布尼兹审敛法(收敛) (1)前提:n a ∑发散;(2)条件:,0n n a a →;(3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.
4.补充方法:
(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2)221,0n n n n s s a s s s s +→→?→?→.
5.注意事项:对比n a ∑;(1)n n a -∑;n a ∑;2
n a ∑之间的敛散关系
四.幂级数: 1.常见形式:
(1)n n a x ∑,(2)0()n n a x x -∑,(3)20()n n a x x -∑ 2.阿贝尔定理:
(1)结论:*x x =敛*0R x x ?≥-;*x x =散*0R x x ?≤- (2)注:当*x x =条件收敛时*R x x ?=- 3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n
n n a na x x n
∑∑
与n n a x ∑同收敛半径 (2)n n a x ∑与20()n n a x x -∑之间的转换 4.幂级数展开法:
(1)前提:熟记公式(双向,标明敛域)
35
11sin ,3!5!
x x x x R =-
+-Ω=24
11cos 1,2!4!
x x x R =-
++Ω=;
21
1,(1,1)1x x x x
=+++∈--;
21
1,(1,1)1x x x x
=-+-∈-+
(2)分解:()()()f x g x h x =+(注:中心移动)(特别:02
1
,x x ax bx c
=++) (3)考察导函数:()'()g x f x 0
()()(0)x f x g x dx f ?=+?
(4)考察原函数:0
()
()x
g x f x dx ?
()'()f x g x ?=
5.幂级数求和法(注:*先求收敛域,*变量替换): (1)(),S x =+∑∑ (2)'()S x =
,(注意首项变化)
(3)()()'S x =∑,
(4)()"()"S x S x ?的微分方程
(5)应用:()(1)n n n n a a x S x a S ?=?=∑∑∑. 6.方程的幂级数解法 7.经济应用(数三):
(1)复利:(1)n A p +;(2)现值:(1)n A p -+ 五.傅里叶级数(数一):(2T π=)
1.傅氏级数(三角级数):01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
2.Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ?(和函数)
(2)1
()[()()]2
S x f x f x =-++
3.系数公式:01()cos 1
(),,1,2,3,
1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx ππ
π
π
ππππ
π--
-?=??=
=??=??
??
?
4.题型:(注:()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=
∈-(分段表示)
(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=)
*5.2T l =
6.附产品:()f x ?01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
第七讲:向量,偏导应用与方向导(数一)
一.向量基本运算
1.12k a k b +;(平行b a λ?=)
2.a ;(单位向量(方向余弦)01(cos ,cos ,cos )a a a
αβγ=
)
3.a b ?;(投影:()a a b b a
?=
;垂直:0a b a b ⊥??=;夹角:(,)a b a b a b
?=)
4.a b ?;(法向:,n a b a b =?⊥;面积:S a b =?) 二.平面与直线 1.平面∏
(1)特征(基本量):0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=
(2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=?+++=
(3)其它:*截距式1x y z
a b c ++=;*三点式
2.直线L
(1)特征(基本量):0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式):000
:
x x y y z z L m n p
---== (3)一般方程(交面式):111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??+++=?
(4)其它:*二点式;*参数式;(附:线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t
=+-??
=+-∈??=+-?
)
3.实用方法:
大学微积分l知识点总结 二
【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8
释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：
(新)石河子大学科学学位研究生学位论文答辩及学位申请工作细则
石河子大学科学学位研究生学位论文答辩及 学位申请工作细则 根据《中华人民共和国学位条例》和《中华人民共和国学位条例暂行办法》，结合我校实际情况，制定本工作细则。 第一章论文答辩的资格 申请论文答辩的资格： 一、完成教学计划所规定的所有环节，课程合格并取得相应的学分。 二、学位论文经过开题---论文中期检查---论文预答辩，开题至答辩原则上应有一年半的时间，如果中途因故换题，应组织参与首次论文开题的专家进行重新开题，并经导师、学科点负责人、学院主管领导签字同意后，在研究生处学位办公室备案。 三、向学院提交经导师签字认可的原始试验记录材料。 四、研究生在校期间必须达到学校规定的英语和发表学术论文的要求。 （一）英语要求：
自然科学类科学学位硕士研究生，在入学前三年或在校期间CET六级成绩达到355分(含355分)以上； 人文社科类科学学位硕士研究生，在入学前三年或在校期间CET六级成绩达到400分(含400分)以上； 自然科学类科学学位硕士研究生，在校期间CET六级成绩达到320分以上；人文社科类科学学位硕士研究生达365分以上，如果在国外学术期刊（指SCI、EI、SSCI、A&HCI收录源刊物）上用英文以第一作者且石河子大学为第一署名单位发表1篇与本学科专业研究方向内容一致的研究论文，也可通过。 （二）发表学术论文的具体要求见《石河子大学关于博士、硕士研究生发表学术论文的暂行规定》。 五、通过学位论文学术不端行为检测系统的检测。 第二章论文答辩的准备 一、研究生学位论文的答辩由研究生所在学院组织，一般在每年的5月下旬至6月上旬进行。如有特殊情况需要延期者，由本人申请，经导师、院主管研究生工作的负责人批准，报送研究生处审批。
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
大学高等数学第一章函数(习题精讲)
第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；
大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
大学高等数学阶段测验卷
第一章函数与极限阶段测验卷 学号 班级 成绩 考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型 划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。 一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（ ） A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.（ ） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（ ） A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.（ ） A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于1 3 .（ ） A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时，函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.（ ） A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-（ ） A 、正确 B 、错误
10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误 二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5- 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞ (含x →±∞);*0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 石河子大学关于研究生发表学术论文的暂行规定(修订) 为了切实保证和提高我校研究生的培养质量和学位授予质量，根据我校授予学位的有关要求和研究生培养方案的有关规定，特对我校研究生申请博士、硕士学位应发表的学术论文做如下规定： 一、学术论文数量和层次要求 （一）博士研究生发表学术论文的要求: 1、自然科学类博士研究生至少在SCI收录期刊上发表1篇学术论文或在EI收录期刊上（不包括会议论文）发表2篇学术论文； 2、人文社科类博士研究生发表学术论文应达到以下条件之一: （1）在SSCI收录刊物上发表1篇学术论文； （2）在CSSCI收录期刊上发表2篇学术论文； （3）在EI收录期刊上（不包括会议论文）发表2篇学术论文； （4）在《中国社会科学》、《经济研究》、《管理世界》发表论文1篇学术论文。 （二）全日制科学学位硕士研究生发表学术论文应达到以下条件之一: 1、在SCI、EI（不包括会议论文）、ISTP、SSCI、CSSCI等检索收录期刊发表1篇本专业研究领域内的学术论文； 2、在全国中文核心期刊上发表1篇本专业研究领域内的学术论文（不包括综述性论文）。 （三）全日制专业学位硕士研究生和在职攻读硕士学位研究生在公开正式刊物上发表1篇本专业研究领域内的学术论文或其项目（产品）设计、调研报告、文学艺术作品等获得省部级以上奖励，其中国家级奖排名前六位，省部级一等奖排名前四位、二等奖前三位、三等奖前二位；或获得国家实用新型专利（已获得专利号），排序前两名。 二、学术论文发表的具体说明 1、全日制博士、硕士研究生要求发表学术论文的第一署名单位必须是“石河子大学”，且为在学期间（指正式入学之日后）的学术论文。研究生发表论文作者署名要求如下：自然科学类：研究生为第一作者，导师为通讯作者；人文社科类：研究生为第一作者，导师为第二作者或导师为第一作者，研究生为第二作者均可。申请人发表的学术论文必须与其学位论文内容相关。 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 《高等数学》考试知识点 一、函数、极限、连续 考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 二、一元函数微分学 考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径； 考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数； 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。 一、环境保护与人和自然和谐发展 1.人和自然协调发展地必要性 随人工自然地迅速扩展,一方面,人从自然中获得巨大利益,推动了社会进步；另一方面,人与自然地关系也发生着变化.有专家认为：当前世界存在着“五个最终决定和限制我们星球增长地基本问题”,即：人口问题；粮食问题；不可再生地资源问题；工业化问题；环境问题.这些问题由于带有普遍性,又被称为“全球问题”. 2、人和自然协调发展地可能性 （1）对人与自然关系地反思 从主观来看：对于人在自然中地位置,只看到人是自然界地主人,能征服和改造自然,忽视了人也是自然中地一部分,存在于自然界中,必须服从自然规律.过分强调了人地能动性,对受动性认识不足,而实际上真正自觉地能动性地发挥应当是以对受动性认识为约束条件地,如果不以对受动性地认识为基础,能动性地发挥必带盲目性,且最终必摆脱不了受动性地制约.过去人们只追求有利地一面,忽视了有害地一面,只注重自己活动所带来地局部利益.眼前利益,忽略了整体利益和长远利益. 从客观方面看,造成人与自然关系不协调地原因在于科技发展水平有限,社会需求与当时自然界地承受力不平衡,以及各种社会因素等.当科学发展还不足以使人类更深刻地认识自然规律,认识自然界内部地复杂联系时,人类也就难以预见自己行为第一步.第二步地后果,这是产生盲目性地根本原因.认识有限.改造手段有限,使得人们在物质追求上受主观意志支配,从而造成不协调,当然,社会性质和社会制度在这一关系中也起相当重要地作用. （2）重建自然平衡地可能性 从客体方面看：自然界地平衡是动态地,这样人就有可能创造条件促使自然平衡向利于自己地方向发展.这是一个追求新地.更高级地有序化地过程. 《高等数学》试卷（同济六版上） 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________. 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d . 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 1. 中国父母教育方式 中国的父母往往过于关注孩子的学习，以至于不要他们帮忙做家务。他们对孩子的首要要求就是努力学习，考得好，能上名牌大学。他们相信这是为孩子好，因为在中国这样竞争激烈的社会里，只有好成绩才能保证前途光明。中国父母还认为，如果孩子在社会上取得大的成就，父母就会受到尊重。因此，他们愿意牺牲自己的时间，爱好和兴趣，为孩子提供更好的条件。 参考译文： Chinese parents tend to place so much emphasis on their children’s learning that they won’t let their kids do any housework。 The primary demands that they want to make of their childre n are to study hard， to achieve high grades in order to enter top universities。 They believe it is good for their children because in such a highly competitive society， only the best achievement can ensure a bright prospect。 Also， Chinese parents claim that they will be respected if their c hildren get significant status in the society。 Therefore， they are willing to sacrifice time， habi ts and interest of their own to provide their children with better living conditions. 2 水资源 中国的供水与卫生情况正在经历一次大规模转型，同时也面临着许多挑战，诸如快速城市化、贫富差距和城乡差距扩大等。水资源短缺和水污染也给中国带来极大的挑战。随着社会的发展，人类对水的需求不断增加，但可以供人类使用的水资源却急剧减少。水资源危机所带来的生态系统恶化的问题严重威胁着人类的生存。如何更有效地利用水资源，推进水资源的可持续开发和保护，已经成为世界各国共同面对的紧迫问题。 参考译文： Water supply and sanitation in China is undergoing a massive transition while facing numerous challenges such as rapid urbanization, a widening gap between the rich and the poor as well as urban and rural areas. Water scarcity and water pollution in China also pose great challenges. With the development of the society, people's demand for water has been constantly increasing, but the water resource available for human is sharply decreasing. The deterioration of ecosystem brought about by the water resource crisis threatens human's existence seriously. How to make use of the water resource more effectively and promote the sustainable development and protection of water resource has become an urgent problem that all the countries in the world face. 3. 新意与创意 原文： 在吸收外国文化精华的时候，我们不应满足于一味模仿，没有创造。沉溺于简单的模仿将扼杀创造力，我们也不可能攀登艺术的新高峰，也不再可能问世界展示我们自己创作的优秀作品。简单的模仿与新意和创意完全是两回事，事实上，新意和创意是现代风格与传统风格的交融，是外国特色与本民族特色的融合，是艺术特质与教育本质的结合。 参考译文： While absorbing the essence of a foreign culture, we should not be content with imitation withou t creation. An obsession with simple imitation will sterilize creation, and as such it will be impossi ble for us to scale new heights in art and impossible to present to the world excellent works of ou 理科一类《高等数学》（上）习题参考答案 第一章 函数与极限 习题一 一、1.．224>-<<-x x 或；2．[]a a -1,； 3．1525++?x x ； 4．奇函数； 5．0，1，1，0； 6．4231,,,--e e e e ． 二(略) 三、1．1； 2．0； 3．2 1 ； 4．4． 四、1,1,1,-不存在． 五、1,1-==b a 六、都不存在． 七、;3 2 . 4; 2 21. 3; 1. 2; 0.1 5．-2； 1.8; 3.7;. 6e ． 八、2.6, 0.5, 2.4,3 2. 3,2 1. 2,2.1-. 九(略) 习题二 一、()()[] 1,0. 5,1,1.4, ,22,1. 3,2.2,.1-+∞?e 第一 二、4 1= a ． 三、361.ln 2, 2., 3.1, 4., 5.1, 6.1e e . 四、1．为可去间断点1=x ，为无穷间断点2=x ；2．为跳跃间断点1=x ． 五、()()+∞?∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、八、 (略) 九、为跳跃间断点0=x ；为无穷间断点1=x . 第一章 测验题 一、1., 2., 3., 4., 5.D A C A B . 二、[]2.5, 22.4, 2,0.3, 2.2, 2.12+-x x . 三、112 2 1 1., 2.1, 3., 4.3, 6.6 e e - . 四、x x x x p ++=232)(. 五、1 1,2,12 x x x x =-===处连续为无穷间断点，为可去间断点． 六、.3,2 1 ==b a 七、(略) . 八、lim n n x a →∞ = 第二章 导数与微分 习题一 一、)0(.2,)(,)(2,)(.1000f x f x f x f ''''；)(),(1 .300000 0x x x y y x x x y y --=--= - 二、,0 ()2,0,0x e x f x x x x ?>? '=>. 习题二 一、1．3622ln 2-++x x x ； 2．1； 3． 2 ln 1x x -； )2 (4 2 ,)2 (42. 42 2 π ππ π ππ- = - - - =- x y x y ；)(4)(2.5222x f x x f ''+'． 二、2 )1() sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-； x x x x x x x x c o s s i n l n c o s 2s i n .2+-+； 211 arcsin 2.3x x -?；12ln (ln )4.n x n x x --；a a x x x ax a a a 21 211sec ln .5+?+-； 21sec 222116.3ln3ln ;8.sec tan x x y y y e x x x -?'''===?? 三、()[]{}()[]()x f x f f x f f f '?'?'. 1, )()(2.22 2 x x x x x e f e e e f xe '+大学高等数学知识点
石河子大学关于研究生毕业条件(修订)
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
高等数学考试知识点
大一上学期高数期末考试题
石河子大学研究生自然辩证法
《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]
同济大学___高数上册知识点
石河子大学研究生英语汉译英5篇
大学理科一类高等数学(上)参考答案