安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题

（上）期末数学试卷

一. 精心选一选：(每小题5分,共60分.)

1.命题“()0000,,ln 1x x x ?∈+∞=-”的否定是（ ）

A ．()0,,ln 1x x x ?∈+∞≠-

B ．()0,,ln 1x x x ??+∞=-

C ．()0000,,ln 1x x x ?∈+∞≠-

D ．()0000,,ln 1x x x ??+∞=-

2.已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，动点P 满足12||||4PF PF -=，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．不存在 3．“0m n >>”是“方程2

2

1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）

A ．充而分不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4. 已知双曲线

2219x y m -=的一条渐近线方程为23

y x =，则双曲线的焦距为（ ） A.

13 B. 10 C. 52 D. 132

5.已知)1(2)('

xf e x f x

+=，则()0'

f 等于（ ）

A. e 21+

B. e 21-

C. e 2-

D. e 2

6．已知命题,:R m p ∈?关于x 的方程012

=--mx x 有解，命题,:0N x q ∈?012020≤--x x ，则

下列选项中是假命题的为（ ）

A. p q ∧

B. ()p q ∧?

C. p q ∨

D. ()p q ∨? 7.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）

A. 16π

B. 228π+

C. 12π

D. 14π

8. 设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ， P 是C 上的点，

212PF F F ⊥， 1230PF F ∠=?，则C 的离心率为（ ）

A.

36 B. 13 C. 1

2

D. 33 9．已知点P 是抛物线2

14

x y =

上的-个动点，则点P 到点)1,0(A 的距离与点P 到y 轴的距 离之和的最小值为（ ） A. 2 B.

2 C. 21- D. 21+

10．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC 且

1==BC AB ，2=SA ，则球O 的表面积是（ ）

A. 4π

B.

34π C. 3π D. 43

π 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中 ，点P 在线段1BC 上运动(含端点)，则下列命

题中，错误的命题是（ ）

A.三棱锥1A CD P -的体积恒为定值

B.11

//A P ACD 平面

C. 11PB D ACD ⊥平面平面

D. 1A P 与1AD 所成角的范围是32ππ??

????

，

12. 已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，

则 （ ）

A.4(1)(2)f f <

B.4(1)(2)f f >

C.(1)4(2)f f <

D.(1)4(2)f f '<

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知直线043=++a y x 与圆12

2

=+y x 相切，则a 的值为__________．

14. 双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的离心率为2, 有一个焦点与抛物线2

4y x =的焦点

重合,则ab 的值为 .

15.若函数R x ax e x f x

∈-=,)(有极值，则实数a 的取值范围是 . 16. 若直线y kx b =+是曲线1y x

=

的切线，也是曲线2

y x =-的切线，则直线的方程是 .

三. 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程及演算步骤）

17. （本题满分10分）已知函数()3

2

39f x x x x a =-+++.其中R a ∈.

（1）求函数()f x 的单调递减区间；

（2）函数()y f x =在区间[]

-2,2上的最大值是20，求它在该区间上的最小值.

18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD , 90BAD ∠=，

//AD BC ， 1,2AB BC AD ===， PD 与底面成30， E 是PD 的中点.

（1）求证： CE ∥平面PAB ； （2）求三棱锥A CED -的体积．

19．（本题满分12分)如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中， PB AB ⊥. （1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）若4

43

PB AB BC ==

=，平面PAB ⊥平面ABCD ，求三棱锥A PBD -与三棱锥 P BCD -的表面积之差.

20．（本题满分12分）已知抛物线)0(22

>=p py x 焦点是F ，点)1,(0x D 是抛物线上的

点，且2||=DF ．

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）若B A ,是抛物线上的两个动点，O 为坐标原点，且OB OA ⊥，求证：直线AB 经

过一定点.

21．(本题满分12分)

在平面直角坐标系xoy 中,动点P 到两点()(

)

3,0,

3,0-的距离之和等于4,设动点P 的轨迹为曲

线C ,直线l 过点()0,1-E 且与曲线C 交于B A ,两点. (1)求曲线C 的方程；

(2)ΔAOB 的面积是否存在最大值？若存在，求此时ΔAOB 的面积，若不存在，说明理由.

22．（本题满分12分）已知函数()f x lnx ax =-.R a ∈. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当函数()f x 有两个不相等的零点12,x x 时,证明:212x x e ?>.

2017-2018学年舒城中学高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案

1-5ABCDB 6-10 BDDCA 11-12 DB 13. 5± 14.

4

3 15.0>a 16.44y x =-+

17【答案】（1）(),1-∞-， ()3,+∞为减区间， ()1,3-为增区间;（2）-7

【解析】试题分析：（1）利用导数求得函数的单调递减区间。（2）由（1）可得函数(),1-∞-， ()3,+∞为减区间， ()1,3-为增区间。所以最大值只可能是f(2),f(-2),比较两个值的大小，可得f(2)=20.求得参数a ，进一步求的函数在区间[]

-2,2上的最小值。

试题解析：（1）()()()23693310f x x x x x =-++=--+<'

(),1-∞-， ()3,+∞为减区间， ()1,3-为增区间

（2）()28349222f a a =-+?+?+=+

()()2834922f a a -=+?+?-+=+

∴()2834922220f a a =-+?+?+=+= ∴a =-2 ∴函数()y f x =的最小值为()()11319127f -=+?+?--=-

18.【答案】（1）见解析；（2）

3

（1）证明：取AD 的中点O ，连接,OC OE

∵OE ∥AP ， OE ?面PAB ， AP ?面PAB ，∴OE ∥平面PAB ，同理OC ∥平面PAB ，

又∵OE OC O ?=，∴平面OCE ∥平面PAB ，又∵CE ?平面OCE ，∴CE ∥平面PAB . （2）∵PD 与底面成30，∴30ADP ∠=，又∵PA ⊥底面ABCD ， OE ∥PA ， 2AD =，

∴OE ⊥底面ABCD ， 33

OE =

， ∴1111133213323239A ECD E ACD ACD V V S OE AD OC OE --?==

?=???=????=

19【答案】(1)见解析；(2) 628-. 【解析】试题分析：

(1)由题中的几何关系可证得CD ⊥平面PBC ，结合面面垂直的判断定理即可证得平面PBC ⊥平面

PCD ；

(2)由题意分别求得三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积，两者做差可得结果为628-. 试题解析：

（1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥， ∵PB AB ⊥， PB BC B ?=，∴AB ⊥平面PBC . 又//CD AB ，∴CD ⊥平面PBC .

∵CD ?平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD .

（2）解：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD AB =， AD AB ⊥，

∴AD ⊥平面PAB ，∴AD PA ⊥，∴PAD ?的面积为1

342622

??=. 又//AD BC ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC PB ⊥，∴PBC ?的面积为1

4362

??=.

又CD ⊥平面PBC ，∴CD PC ⊥，∴PCD ?的面积为221

443102

??+=.

又PB AB ⊥，∴PAB ?的面积为8.

而ABD ?的面积与BCD ?的面积相等，且三棱锥P BCD -与三棱锥A PBD -的公共面为PBD ?， ∴三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积之差为(()862106628+-+=. 20【答案】(1) y x 42

=；(2) )4,0(.

21【答案】(1)

22 1.4

x y += (2) 3

2

(2)设直线

:1l x my =-，则2

2

1

{ 14

x my x y =-+=，

()

2

24230

m

y my +--=，

22412480m m ?=++>， 12224m y y m +=

+， 12

23

4

y y m ?=-+ ∴2212221232

12433

AOB

m S OE y y m m m +=-==+++

+,

令23,3,t m t =

+≥则

∴()1,3,g t t t t

=+≥ ∵())

3,,g t ∞?+?

在为增函数

∴()43

,3

g t ≥

∴()302AOB S m ≤=等号成立，则max 3().2

AOB S =

22【答案】

试题解析：（Ⅰ）当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞单调递增； 当0a >时， ()f x 在10,

a ?

? ???单调递增； ()f x 在1,a ??

+∞ ???

单调递减；

（Ⅱ）不妨设120x x >>，由题意得1122

{

lnx ax lnx ax ==

相加，相减得： 1212

ln ln x x a x x -=

-，要证2

12x x e >，只需证12ln ln 2x x +>

12ln ln x x += ()12a x x +=12

12ln ln x x x x -- ()12x x + 2>，只需证()121212

2ln ln x x x x x x -->+

只需证12112

2

21ln 1x x x x x x ??

- ?

??>

+，设12x t x = (1)t >，只需证()21ln 01t t t -->+

设()()21ln 1

t g t t t -=-+，则()()

()

2

2

101t g t t t +'-=>， ()()10g t g >=，所以原命题成立.