离散数学期末试卷及部分答案
离散数学试题(A 卷及答案）
一、证明题（10分）
1)(?P ∧(?Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)?R
证明: 左端?(?P ∧?Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)?((?P ∧?Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)
?(?(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)?(?(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ?(?(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ?T ∧R(置换)?R
2)?x(A(x)→B(x))? ?xA(x)→?xB(x)
证明 ：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x ?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）
证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)??(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))
?（?P ∧(?Q ∨?R)）∨(P ∧Q ∧R) ?(?P ∧?Q)∨(?P ∧?R))∨(P ∧Q ∧R)
?(?P ∧?Q ∧R)∨(?P ∧?Q ∧?R)∨(?P ∧Q ∧?R))∨(?P ∧?Q ∧?R))∨(P ∧Q ∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6
三、推理证明题（10分）
1） C ∨D, (C ∨D)→ ?E, ?E →(A ∧?B), (A ∧?B)→(R ∨
S)?R ∨S
证明：(1) (C ∨D)→?E
(2) ?E →(A ∧?B)
(3) (C ∨D)→(A ∧?B) (4) (A ∧?B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)
(6) C ∨D
(7) R ∨S
2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))
证明（1）?xP(x) (2)P(a)
(3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))
四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍
证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，
1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整
数倍。
五、已知A 、B 、C 是三个集合，证明A-(B ∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）
证明 ∵x ∈ A-（B ∪C ）? x ∈ A ∧x ?（B ∪C ）? x ∈ A ∧（x ?B ∧x ?C ）? （x ∈ A ∧x ?B ）∧（x ∈ A ∧x ?C ）? x ∈（A-B ）∧x ∈（A-C ）? x ∈（A-B ）∩（A-C ）∴A-（B ∪C ）=（A-B ）∩（A-C ）
六、已知R 、S 是N 上的关系，其定义如下：R={
}，S={
、R*S 、S*R 、R {1,2}、S[{1,2}]（10分）
解：R -1
={
}，R*S={
+1}，S*R={
}， 七、若f:A →B 和g:B →C 是双射，则（gf ）-1
=f -1g -1
（10分）。
证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。
因为
R{1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。
八、（15分）设
(1)对A中每个元a，有a*a＝a。
(2)对A中任意元a和b，有a*b*a＝a。
(3)对A中任意元a、b和c，有a*b*c＝a*c。
证明由题意可知，若a*b＝b*a，则必有a＝b。
(1)由(a*a)*a＝a*(a*a)，所以a*a＝a。
(2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a，所以有a*b*a＝a。
(3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c＝a*c。
九、给定简单无向图G＝
C＋2，则G是哈密尔顿图
证明若n≥21-m
C＋2，则2n≥m2－3m＋6 （1）。
若存在两个不相邻结点u、v使得d(u)＋d(v)＜m，则有2n＝∑
∈V
w
w
d)
(＜m＋(m－2)(m－3)＋m＝m2－3m＋6，与（1）矛
盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d(u)＋d(v)≥m，所以G是哈密尔顿图。
离散数学试题(B卷及答案）
一、证明题（10分）
1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T
证明左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ? ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ? ((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ?T (代入)
2)?x(P(x)→Q(x))∧?xP(x)??x(P(x)∧Q(x))
证明?x(P(x)→Q(x))∧?xP(x)??x((P(x)→Q(x)∧P(x))??x((?P(x)∨Q(x)∧P(x))??x(P(x)∧Q(x))??xP(x)∧?xQ(x)??x(P(x)∧Q(x))
二、求命题公式(?P→Q)→(P∨?Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）
解：(?P→Q)→(P∨?Q)??(?P→Q)∨(P∨?Q)??(P∨Q)∨(P∨?Q)?(?P∧?Q)∨(P∨?Q) ?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q)?(P∨?Q)?M1?m0∨m2∨m3
三、推理证明题（10分）
1)(P→(Q→S))∧(?R∨P)∧Q?R→S
证明：（1）R 附加前提
(2)?R∨P P
(3)P T(1)(2),I
(4)P→(Q→S) P
(5)Q→S T(3)(4),I
(6)Q P
(7)S T(5)(6),I
(8)R→S CP
2) ?x(P(x)∨Q(x))，?x?P(x)??x Q(x)
证明：(1)?x?P(x) P
(2)?P(c) T(1),US
(3)?x(P(x)∨Q(x)) P
(4)P(c)∨Q(c) T(3),US
(5)Q(c) T(2)(4),I
(6)?x Q(x) T(5),EG
四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超
过1/8（10分）。
证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）
面积不超过小正方形的一半，即1/8。
五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）
证明：∵x∈ A∩（B∪C）? x∈ A∧x∈（B∪C）? x∈ A∧（x∈B∨x∈C）?（ x∈ A∧x∈B）∨（x∈ A∧x∈C）? x∈（A∩B）
∨x∈ A∩C? x∈（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
六、π={A1，A2，…，A n}是集合A的一个划分，定义R={
证明：?a∈A必有i使得a∈A i，由定义知aRa，故R自反。
?a,b∈A，若aRb ，则a,b∈A i，即b,a∈A i，所以bRa，故R对称。
?a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈A i及b,c∈A j。因为i≠j时A i∩A j=Φ，故i=j，即a,b,c∈A i，所以aRc，故R传递。
总之R是A上的等价关系。
七、若f:A→B是双射，则f-1:B→A是双射（15分）。
证明:对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使
对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得
以，f-1是单射。因此f-1是双射。
八、设
证明假设A≠G且B≠G，则存在a∈A，a?B，且存在b∈B，b?A（否则对任意的a∈A，a∈B，从而A?B，即A∪B＝B，得B＝G，
矛盾。）
对于元素a*b∈G，若a*b∈A，因A是子群，a-1∈A，从而a-1 * (a*b)＝b∈A，所以矛盾，故a*b?A。同理可证a*b?B，综合
有a*b?A∪B＝G。
综上所述，假设不成立，得证A＝G或B＝G。
九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的（10分）。
证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为1G、2
G、…、k G。任取结点u、v∈G，若u和v不在图G的同一个连通分
支中，则[u，v]不是图G的边，因而[u，v]是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支i G（1
≤i≤k）中，在不同于i G的另一连通分支上取一结点w，则[u，w]和[w，v]都不是图G的边，，因而[u，w]和[w，v]
都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。
一、选择题.(每小题2分，总计30)
1.给定语句如下：
（1）15是素数（质数）
（2）10能被2整除，3是偶数。
（3）你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！
（4）2x+3>0.
（5）只有4是偶数，3才能被2整除。
(6)明年5月1日是晴天。
以上6个语句中，是简单命题的为（A）,是复合命题的为（B）,是真命题的为（C）,是假命题的是（D）,真值待定的命题是（E）
A: ①(1)(3)(4)(6) ②(1)(4)(6) ③(1)（6） B: ①(2)(4) ②(2)(4)(6) ③(2)(5)
C: ①(1)(2)(5)(6) ②无真命题③（5） D: ①(1)(2) ②无假命题③(1)(2)(4)(5)
E: ①(4)(6) ②（6）③无真值待定的命题
2.将下列语句符号化：
（1）4是偶数或是奇数。（A）设p：4是偶数，q：4是奇数
（2）只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。（B ）设p ：王荣努力学习，q ：王荣取得好成绩 （3）每列火车都比某些汽车快。（C ）设F(x):x 是火车，G(y):y 是汽车，H(x,y):x 比y 快。 A: ① p ∨q ② p ∧q ③ p →q B: ① p →q ② q →p ③ p ∧q
C: ①?x ?y ((F(x) ∧G(y)) → (H(x,y))②?x (F(x) →?y (G(y)∧H(x,y)))③?x (F(x) ∧?y (G(y)∧H(x,y))) 3. 设S={1,2,3},下图给出了S 上的5个关系,则它们只具有以下性质:R 1是（A ）,R 2是(B),R 3是(C)。
A B C:①自反的，对称的，传递的 ②反自反的，对称的 ③自反的
④
反对称的 ⑤对称的 ⑥自反的，对称的，反对称的，传递的
4. 设S={Ф，{1}，{1，2}}，则有
（1）（A ）∈S （2） (B)?S
（3） P(S)有（C ）个元数。 （4）（D ）既是S 的元素，又是S 的子集 A: ① {1,2} ② 1 B: ③{{1,2}} ④{1} C: ⑤ 3 ⑥ 6 ⑦ 7 ⑧ 8 D: ⑨ {1} ⑩Ф
二、证明（本大题共2小题，第1小题10分，第2小题10分，总计20分） 1、用等值演算算法证明等值式 (p ∧q)∨(p ∧?q)?p 2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。
三、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2小题10分，第3小题15分， 总计30分） 1、设()(){}212,，，个体域为为，整除为 ，求公式： ()()()()()x Q y x P y x →??,的真值。 2、设集合{}A A ,4,3,2,1=上的关系 {}4,3,3,21,2,2,1,1,1=R ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。 3、设{},24,12,8,4,2,1= A 上的整除关系{}2 1212 1,,,a a A a a a a R 整除∈=，R 是否为A 上的偏序关系？若是，则： 1、画出R 的哈斯图；（10分） 2、求它的极小元，最大元，极大元，最大元。（5分） 四、用推导法求公式()()p q p →→的主析取范式和主合取范式。（本大题10分） 答案： 一、 选择题 1. A:③ B: ③ C:③ D:① E:② 2.A:① B: ② C:② 3.A:③ B: ④ C:⑥ 4.A:① B: ③ C:⑧ D:⑩ 二、证明题 1. 证明 左边?（(p ∧q)∨p ）∧（(p ∧q)∨?q)） （分配律） ? p ∧（(p ∧q)∨?q)） (吸收律) ? p ∧（(p ∨?q) ∧ (q ∨?q)） （分配律） ? p ∧（(p ∨?q)∧1） （排中律） ? p ∧ (p ∨?q) （同一律） ? p （吸收律） 2.解：p ：今天是星期三。 q ：我有一次英语测验。 r ：我有一次数学测验。 s ：数学老师有事。 前提：p →(q ∨r) , s →?r , p ∧s 结论：q 证明：①p ∧s 前提引入 ②p ①化简 ③p →(q ∨r) 前提引入 ④q ∨r ②③假言推理 ⑤s ①化简 ⑥s →?r 前提引入 ⑦?r ⑤⑥假言推理 ⑧q ④⑦析取三段论 推理正确。 三、计算 1. ()()()()() ()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()() ,1,12,21,112,121,212,22x y P x y Q x y P y Q P y Q P Q P Q P Q P Q ??→??→Λ→? →Λ→∨→Λ→ ()()()()()()()()()()()()1,11,1,21,2,10,2,21,11,20110011101 P P P P Q Q ======∴?→Λ→∨→Λ→? 该公式的真值是1，真命题。 或者()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()T T T F T T T F T F F T T T T Q P Q P Q P Q P x Q x P x Q x P x x Q y x P y x ?∧?∨∧∨?→∨→∧→∨→?→∨→∧→∨→?→∨→??→??22,221,212,111,12,1,, 2、{4,43,32,24,3,21,22,1,1,1) (=R r {}3,4,2,4,3,21,2,2,1,1,1)(=R s {}4,14,22,2,3,14,33,21,2,2,1,1,1)(=R t 3、（1） R 是 A 上的偏序关系。 （2）极小元、最小元是1,极大元、 最大元是24。 四、 ()()()() ()() ()()()()() 2301p q p p q p p q p p p q q p q p q →→???∨∨?∧?∨??∧∨??∧?∨∧?∴∑ ∏， 主合取范式， 安徽大学2004-2005学年第二学期《离散数学》期末考试试卷（A 卷）参考答案 一、单项选择 1 在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A. b a b a -=* B. },max{*b a b a = C. b a b a 2*+= D. )3(mod *b a b a ?= 2 下列代数系统 A. }5,3,1,0{=S ，*是模7加法 B. Q S =（有理数集合） ，*是一般乘法 C. Z S =（整数集合） ，*是一般减法 D. }9,5,4,3,1{=S ，*是模11乘法 3 若 n H =，m G =，则有（ ） 。 A. n 整除m B. m 整除n C. n 整除m 且 m 整除n D. n 不整除m 且 m 不整除n 4 下面哪个集合关于指定的运算构成环？（ ） A. },|2{3Z b a b a ∈+，关于数的加法和乘法 B.n {阶实数矩阵}，关于矩阵的加法和乘法 C. },|2{Z b a b a ∈+，关于数的加法和乘法 D. ?? ? ???????∈? ??? ??Z b a a b b a ,，关于矩阵的加法和乘法 5 在代数系统中，整环和域的关系为（ ）。 A. 域一定是整环 B.域不一定是整环 C. 整环一定是域 D. 域一定不是整环 6 N 是自然数集，≤是小于等于关系，则),(≤N 是（ ）。 A. 有界格 B.有补格 C. 分配格 D. 有补分配格 7 图1-1给出的哈斯图表示的格中哪个元素无补元？（ ） A. a B. c C. e D. f 图1-1 8 给定下列序列，可构成无向简单图的结点度数序列的是（ ）。 A.（1，1，2，2，3） B.（1，3，4，4，5） C.（0，1，3，3，3） D.（1，1，2，2，2） 9 欧拉回路是（ ）。 A.路径 B.简单回路 C.既是基本回路也是简单回路 D.既非基本回路也非简单回路 10 哈密尔顿回路是（ ）。 A.路径 B.简单回路 C.既是基本回路也是简单回路 D.既非基本回路也非简单回路 二、填空题（以下每个下划线为一空，请按要求填入合适的内容。每空2分，共30分）。 1 设S 是非空有限集，代数系统）I Y ,),((S P 中，)(S P 对Y 运算的单位元是＿＿＿＿，零元是＿＿＿＿，)(S P 对I 运算的单位元是＿＿＿＿。 2 在运算表2-1中空白处填入适当符号，使)},,,({οc b a 成为群。 ①＿＿＿＿，②＿＿＿＿，③＿＿＿＿，④＿＿＿＿。 3 设}8,4,0{=H ，>+<12,H 是群>+<1212,N 的子群，其中 }11,,2,1,0{12???=N ，12+是模12加法，则>+<1212,N 有＿＿＿＿ 个真子群，H 的左陪集=H 3＿＿＿＿，=H 4＿＿＿＿。 4设>-∧∨<,,,A 是一个布尔代数，如果在A 上定义二元运算⊕为： )()(b a b a b a ∧∨∧=⊕，则>⊕<,A 是一个＿＿＿＿。 表2-1 5 任何一个具有n 2个元素的有限布尔代数都是＿＿＿＿。 6 若连通平面图G 有4个结点，3个面，则G 有＿＿＿＿条边。 7 一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，它有＿＿＿＿个度数为1的结点。 8 无向图G 是由k （2≥k ）棵数组成的森林，至少要添加＿＿＿＿条边才能使G 成为一棵树。 三、求解题（20分） 1 试写出>+< 66,N 中每个子群及其相应的左陪集。 （6分） 2 若一个有向图G 是欧拉图，它是否一定是强连通的？若一个有向图G 是强连通的，它是否一定是欧拉图？说明理由。 （6分） 3 有向图G 如图3-1所示。 （1）求G 的邻接矩阵 A ； （2分） （2）G 中1v 到4v 长度为4的路径有几条？ （2分） （3）G 中1v 到自身长度为3的回路有几条？ （2分） （4）G 是哪类连通图？ （2分） 图3-1 四、证明题（30分） 1 设><,*G 是一群，G x ∈。定义：b x a b a **=ο，G b a ∈?,。证明><ο,G 也是一群。 2 证明：（1）证明在格中成立：)(*)()*()*(d b c a d c b a ⊕⊕≤⊕。 （5分） （2）证明布尔恒等式：)*()*()*()*()*(b a c a c b b a c a '⊕=⊕'⊕。 （5分） 3 证明：（1）在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面由3条边围成。 （5分） 7 4 v 3 e （2）证明当每个结点的度数大于等于3时，不存在有7条边的简单连通平面图。 安徽大学2004-2005学年第二学期《离散数学》期末考试试卷（A 卷）参考答案 一、单项选择 1．B; 2.D; 3.A; 4.C; 5.A; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.C. 二、填空题 1 Φ，S ，S ； 2 c ，b ，b ，a ； 3 5，}11,7,3{，}0,8,4{； 4 交换群； 5 同构； 6 5； 7 9； 8 1-k 。 三、求解题 1 解：子群有：>+<6 },0{，>+<6},3,0{，>+<6},4,2,0{。 >+<6},0{的左陪集为：}0{，}1{，}2{，}3{，}4{，}5{ >+<6},3,0{的左陪集为：}3,0{，}4,1{，}5,2{ >+<6},4,2,0{的左陪集为：}4,2,0{，}5,3,1{ 2 答：（1）一个有向欧拉图一定是强连通图。因为G 是欧拉图，存在欧拉回路C ，G 中的每个结点至少在C 中出现一次。因而G 中任意两点u ，v 都在C 中，相互可达，故G 是强连通的。（2）一个强连通图不一定是有向欧拉图。因为强连通图中每个结点的入度不一定等于其出度。 3 解： （1）????????? ???=0100 10000100 0121 A ??????? ?? ???=10 00 0100 1000132 1 2A ????????? ???=01 00 10000100342 1 3A ????? ???? ???=10 00 010******** 1 4A （2）由 4A 中44 14 =a 可知，1v 到4v 长度为4的路径有条（6411e e e e ，6764e e e e ，6521e e e e ，6531e e e e ）。 （3）由 3A 中13 11 =a 可知，1v 到自身长度为3的回路有1条（111e e e ）。 （4）G 是单向连通图。 四、证明题 1 证明：显然ο是G 上的二元运算（即满足封闭性），要证G 是群，需证结合律成立，同时有单位元，每个元素有逆元。 G c b a ∈?,,，有 )()**(****)**()(c b a c x b x a c x b x a c b a οοοο=== 运算是可结合的。 其次，1 -x 是><ο,G 的单位元。事实上，G a ∈?，有 a x x a x a ==--11**ο；a a x x a x ==--**11ο 最后证明，G a ∈?，111 **---x a x 是a 在><ο,G 中的逆元。事实上， 1111111****)**(-------==x x a x x a x a x a ο 1111111****)**(-------==x a x x a x a x a x ο 由以上证明，><ο,G 是群。 2 证明：（1）))*((*))*(()*()*(d b a c b a d c b a ⊕⊕≤⊕ （公式(13)分配不等式） 又因为a b a ≤*，b b a ≤*，所以)(*)()*()*(d b c a d c b a ⊕⊕≤⊕。 （2）因为1='⊕a a ，)*()*(*1c b c b =，所以有， ))*(*)(()*()*()*()*()*(c b a a b a c a c b b a c a '⊕⊕'⊕=⊕'⊕ ))**()**(()*()*(c b a c b a b a c a '⊕⊕'⊕= ))**()*(())**()*((c b a b a b c a c a '⊕'⊕⊕= （吸收律） )*()*(b a c a '⊕= 即等式成立。 3 证明：（1）因图中结点数和边数分别为 6 =n ， 12=m ，根据欧拉公式2 =+-k m n ，得 8 =k 。又 ∑==242)deg(m v i ，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个 面由3条边围成。 （2）设),(m n 图为简单连通平面图，有k 个面。（反证法） 若7=m ，由欧拉公式知92=+=+m k n ，而每个面至少由3条边围成，有m k 23≤，则3 14 32=≤ m k ，且k 是整数，所以4≤k ；又对任结点V v ∈，3)deg(≥v ，有m n 23≤，故3 14 32=≤ m n ，且n 是整数，所以4≤n 。这样就有844=+≤+k n ，与9=+k n 矛盾，所以结论正确。 安徽大学2007— 2008学年第 2 学期 《离散数学（下）》考试试卷（A 卷） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列集合关于数的加法和乘法运算不能构成环的是（ ） A.自然数集合； B.整数集合； C.有理数集合； D.实数集合。 2. 设I 为整数集合，则下列集合关于数的加法运算不能构成独异点的是（ ） A.I ； B.{2|}k k I ∈； C.{21|}k k I +∈； D.{35|,}m n m n I +∈。 3. 设6{0,1,,5}N =L ，6+为模6加法，则下列元素是66,N <+>的生成元的是（ ） A.2； B.3； C.4； D.5。 4. 设>?+< ,,F 是整环，则>?+<,,F 不一定是（ ） A.可交换环； B.无零因子环； C.含么环； D.域。 5. 格不一定具有（ ） A.交换律； B.结合律； C.分配律； D.吸收律。 6. 设{1,2,4,8}S =，o 和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算，则,,S <*>o 是（ ） A.有补格； B.分配格； C.有补分配格； D.布尔代数。 7. 一个含4个结点的无向图中有3个结点的度数分别为1,2,3，则第4个结点的度数不可能是（ ） A.0； B.1； C.2； D.4。 8. 设连通的简单平面图G 中有10条边和5个面，则G 的结点数为（ ） A.6； B.7； C.8； D.9。 9. 设无向树T 中有1个结点度数为2，2个结点度数为3，3个结点度数为4，则T 中的树叶数为（ ） A.10； B.11； C.12； D.13。 10.设G 为连通的无向图，若G 仅有2个结点的度数是奇数，则G 一定具有（ ） A 、欧拉路径； B 、欧拉回路； C 、哈密尔顿路径； D 、哈密尔顿回路。 二、填空题（每小空2分，共20分） 1. 设R 为实数集合，{|01}S x x R x =∈∧≤≤，则在代数,max S <>中， S 关于max 运算的么元是＿ ＿＿，零元是＿ ＿＿。 2. 设10+为模10加法，则在10{0,1,,9},<+>L 中，元素5的阶为 ，6的阶为＿ ＿＿。 3. 设110 {1,2,5,10,11,22,55,110}S =，gcd 和lcm 分别为求最大公约数和最小公倍数运算， 则在布尔代数110,gcd,lcm S < >中，原子的个数为＿ ＿＿，元素22的补元为＿ ＿＿。 4. 在格,,L <*⊕>中，,a b L ?∈，a b ≤当且仅当a b *=＿ ＿＿当且仅当a b ⊕=＿ ＿＿。 5. 一个具有n 个结点的简单连通无向图的边数至少为＿ ＿＿，至多为＿ ＿＿。 三、解答题（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1. 设图G 如图1所示， (1) 求G 的邻接矩阵A ； (2) 求(2) (3)(4),,A A A ，说明从1v 到4v 的长为2,3,4的路径各有几条； (3) 求G 的可达矩阵P ； (4) 求G 的强连通分图。 2. 求群88,N < +>的所有子群及由元素5确定的各子群的左陪集，其中8{0,1,,7}N =???，8+是模8加法。 四、证明题（每小题10分，共40分） 1. 证明布尔恒等式：()()()()a b a c b c a b c ''*⊕*⊕*=*⊕。 2. 设R 为实数集合，+和?为数的加法和乘法运算，对,a b R ?∈，b a b a b a ?++=*， 证明：,R < *>为独异点。 3. 证明：若),(m n 简单无向图G 满足)2)(1(2 1 --> n n m ，则图G 是连通图。 4. 设,G <*>是一个群，a G ∈；定义一个映射 :f G G →，使得对于x G ?∈有1()f x a x a -=**； 证明： f 是,G <*> 安徽大学2007— 2008学年第 2 学期 《离散数学（下）》考试试卷（A 卷） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.A ； 2.C ； 3.D ； 4.D ； 5.C ； 6.B ； 7.B ； 8.B ； 9.A ； 10.A 。 二、填空题（每小空2分，共20分） 1.0，1； 2.2，5； 3.3，5； 4.a ，b ； 5.1n -，(1)/2n n -。 三、解答题（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1. (1) G 的邻接矩阵0 1110 01001010 01 0A ?? ? ? = ? ??? ； 2分 (2) (2) 0121010100200 101A ?? ? ?= ? ???；(3) 02 220020020200 20A ?? ? ?= ? ???；(4) 02 4 20202004002 2A ?? ? ? = ? ??? ； 5分 从1v 到4v 的长为2,3,4的路径的条数分别为1,2,2； 8分 (3) G 的可达矩阵为01110 1110111011 1P ?? ? ? = ? ??? ； 10分 (4) 因0000011101110 111T P P ?? ? ? ∧= ? ? ?? ，故G 的强连通分图的结点集为1{}v ，234{,,}v v v 。 12分 2. 88,N < +>的子群为：8{0},<+>，8{0,2,4,6},<+>，8{0,4},<+>，88,N <+>； 4分 元素5确定的各子群的左陪集对应为：{5}，{1,3,5,7}，{1,5}，8N 。 8分 四、证明题（每小题10分，共40分） 1. ()()()()(())a b a c b c a b a b c ''''*⊕*⊕*=*⊕⊕* 2分 ()(())(()())(())a b a b c a b a b a b c ''=*⊕**=*⊕***⊕ 6分 1(())()a b c a b c =**⊕=*⊕。 10分 2. 因R 对+和?运算封闭，故R 对*运算封闭；对,,x y z R ?∈， 2分 xyz yz xz xy z y x z xy y x z xy y x z y x y x z y x ++++++=++++++=?++=)(*)(*)*(, xyz yz xz xy z y x yz z y x yz z y x z y z y x z y x ++++++=++++++=?++=)()(*)*(* 故()()x y z x y z **=**，从而R 上的*运算满足结合律； 6分 因对x R ?∈，x x x x =?++=00*0，x x x x =?++=000*，故0为*运算的么元； 综合以上，*为R 上的可结合的二元运算，且R 关于*运算有么元，所以,R <*>为独异点。 10分 3. 假设G 有(2)k k ≥个连通分图，则因G 为简单无向图，故12()(1)m n k n k ≤--+， 4分 因为2k ≥，所以02n k n ≤-≤-，011n k n ≤-+≤-， 8分 所以1 12 2()(1)(1)(2)m n k n k n n ≤ --+≤--，这与1 2(1)(2)m n n >--矛盾！ 所以图G 是连通图。 10分 4. 对12,x x G ?∈，若 12()()f x f x =，则1112a x a a x a --**=**，故12x x =，从而f 为单射； 3分 y G ?∈，1a y a G -**∈且1()f a y a y -**=，因此x G ?∈，使()f x y =，所以f 为满射； 6分 ,x y G ?∈，111()()()()()()f x y a x y a a x a a y a f x f y ---*=***=*****=*，故f 为同态； 9分 所以 f 是,G <*>的群自同构。 10分 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2013-2014学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生，r:他可以在宿舍使用电脑，下列命题“除非他不是新生，否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集，下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x 2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系，它可以既满足对称性，又满足反对称性 B 、存在这样的关系，它可以既不满足对称性，又不满足反对称性 C 、存在这样的关系，它可以既满足自反性，又满足反自反性 D 、存在这样的关系，它可以既不满足自反性，又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系，当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是：______。 A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的，则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是：______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列，能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1，2，2，3，4，5 离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ). 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={ 安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 离散数学期末测验试题（有几套带答案1) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） １)(?P∧(?Q∧Ｒ)）∨(Q∧R）∨(P∧R）?Ｒ 证明：左端?(?P∧?Q∧R)∨（(Q∨Ｐ)∧R)?（(?P∧?Q)∧R))∨((Ｑ∨Ｐ)∧R） ?(?(P∨Q）∧R)∨((Q∨P)∧Ｒ)?(?(P∨Q)∨(Ｑ∨Ｐ))∧R ?(?(P∨Q)∨(Ｐ∨Ｑ))∧R?T∧R(置换）?R 2）?x(Ａ（ｘ)→B(x)）??xＡ(x）→?xB(x) 证明:?x(A(x)→Ｂ(x））??x（?A（x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA（x)∨?xB(x)??xA(x)→?xＢ(ｘ） 二、求命题公式(P∨(Q∧Ｒ))→(Ｐ∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式(１０分) 证明:(P∨（Ｑ∧Ｒ））→(P∧Q∧R)??(P∨(Ｑ∧Ｒ）)∨（P∧Q∧R)) ?（?P∧（?Q∨?R)）∨(Ｐ∧Q∧Ｒ） ?(?P∧?Ｑ)∨(?P∧?R)）∨(Ｐ∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Ｑ∧?R）∨(?Ｐ∧Q∧?R)）∨(?P∧?Q∧?R)）∨(Ｐ∧Ｑ∧R) ?m0∨ｍ1∨m2∨ｍ７ ?Ｍ3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1）Ｃ∨D， (C∨D)→?E, ?Ｅ→(A∧?B), (A∧?B)→(R ∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D）→?E (２) ?E→（A∧?Ｂ) ?? (3）（C∨D）→（A∧?Ｂ) （４) （Ａ∧?B)→(R∨Ｓ) ?? (5) （C∨D）→（R∨Ｓ) ? (6) C∨Ｄ?? (7) R∨S 2) ?x(P(ｘ)→Q(ｙ）∧R(x)），?xP(x)?Q(y）∧?x（P(x)∧R(x)) 证明（1)?xP(ｘ) (2）P(a) （3)?ｘ(P(x)→Q(y）∧R(x)) (4）P（a)→Q(y)∧R(a) (５)Q(y)∧Ｒ(a) (6)Q(y) （７)R(a） (8)P(a) (9)P(ａ)∧R(a) （10)?x(Ｐ(x)∧R(ｘ)) (11)Q（ｙ)∧?x(P（x）∧R(x)） 五、已知Ａ、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （１5分) 证明∵x∈A-（Ｂ∪C)?x∈A∧x?（Ｂ∪C)?x∈A∧(x?Ｂ∧ｘ?C）?(x∈A∧x?B)∧（x∈A∧x?C）?x∈（Ａ-B)∧ｘ∈(A－C）?x∈(A－B）∩（A-Ｃ)∴A-(B∪Ｃ）=（A-B)∩(A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：Ｒ=｛＜x，ｙ>| x，y∈N∧y=x2｝，Ｓ={ 一（6%）选择填空题。 (1) 设S = {1，2，3}，R 为S 上的二元关系，其关系图如右图所示，则R 具有（ ）的性质。 A. 自反、对称、传递； B. 反自反、反对称； C. 自反、传递； D. 自反。 (2) 设A = {1, 2, 3, 4}， A 上的等价关系 R = { (4)没有不犯错的人。 五（10%）在自然推理系统Ｐ中构造下面推理的证明： 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，则他一定学过DELPHI语言且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者Ｃ++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。 六（10%）在自然推理系统中构造下面推理的证明（个体域：人类）： 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。 七（14%）下图给出了一些偏序集的哈斯图，判断其是否为格，对于不是格的说明理由，对于是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格（布尔代数）。 八（12%）设S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}，“ ”为S上整除关系， (1)画出偏序集> ,S的哈斯图； < (2)设B = { 2, 3, 4, 6, 12}，求B的极小元、最小元、极大元、最大元，下界，上界。 九（8%）画一个无向图，使它是： (1)是欧拉图，不是哈密尔顿图； (2)是哈密尔顿图，不是欧拉图； (3)既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图； 并且对欧拉图或哈密尔顿图，指出欧拉回路或哈密尔顿回路，对于即不是欧拉图也不是哈密尔顿图的说明理由。 十（8%）设6个字母在通信中出现的频率如下： 12 13 :c :b% 45 :a% % :e% :f 9 5 : d% % 16 用Huffman算法求传输它们的最佳前缀码。要求画出最优树，指出每个字母对应的编码，n个按上述频率出现的字母需要多少个二进制数字。 并指出传输)2 ( n 10≥ 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{中，哪个是群？（ ）华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
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