2020-2021学年数学文科高三最后一卷检测题及答案解析
最新高考模拟最后一卷
文科数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1．复数
122i
i +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35
i
- C ．i D ．i -
2．已知直线l 1：ax+ 2y +1=0，l 2：（3－a ）x －y+a=0，则条件“a=1”是“l 1⊥l 2"
的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不必要也不充分条件
3．已知抛物线)0(2
a ＞ax y =的焦点到准线的距离为2，则a =（）
A ．4
B ．2
C ．
41 D ．2
1
（第4题图） 4．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5. 设,43tan π=a ,52cos π=b 0)56
sin 1(π+=c ，则,,a b c 的大小关系是
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．b c a >> 6.在面积为S 的ABC ?内部任取一点P ，则PBC ?的面积大于
4
S
的概率为( ) A.41B.43C.94D.16
9 （第7题图） 启用前·绝密
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
643 B. 163 C.803 D.433
8. 已知函数()sin(2)6
f x x m π
=-
-在0,2π??????
上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）
A. 1, 12?? ??? B 1, 12??????
C.
1, 12??
???? D. 1, 12??
???
9．已知奇函数)(x f y =的导函数()0f x '<在R 恒成立，且y x ,满足不等式
0)2()2(22≥-+-y y f x x f ，则22y x +的取值范围是( )
A.]22,0[
B.]2,0[
C.]2,1[
D.]22,2[
10.已知点A 是抛物线y x 42
=的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线
上且满足PB m PA =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A ．
21
5- B ．2
12+ C ．12+ D ．15-
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上。
11. 式子 ο
ο
ο70sin 220sin 10cos 2-的值为
12.若正项数列{}n a 满足1lg lg 1n n a a +-=,且20152010200320022001=++++a a a a Λ，则
2020201320122011a a a a ++++Λ的值为
13.已知(,)M x y 为由不等式
组02x y x ?≤≤?
≤??
≤?所确定的平面区域上的动点，若
点
)
A ，则z OM OA =?u u u u r u u u r
的最大值为
14.已知命题P :[]0,1,x x a e ?∈≥，命题q :2
,40,x R x x a ?∈++=若命题“q p ∧”是真
命题，则实数a 的取值范围是 15. 给出以下五个命题： ①点(
,0)()tan(2)84
f x x ππ
=+为函数的一个对称中心 ②设回时直线方程为?2 2.5y
x =-，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位 ③命题“在△ABC 中，若sin sin A B =，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题 ④把函数3sin(
)6
y x π
=-的图像向右平移
6
π
个单位长度得到函数3sin y x =-的图像； ⑤设m l ,及两直线平面α，α?m ，则“m l //”是 “α//l ” 成立的充分不必要条件. 不正确的是（将正确命题的序号全填上）
三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(sin x －cos x)sin 2x
sin x .
(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间。
17．（本小题满分12分）
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
415
． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由； （Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据：
18. （本小题满分12分） 已知数列}{n a ， }{n c 满足条件：11,a =121+=+n n a a ，
)
32)(12(1
++=
n n c n ．
（1）求证数列}1{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；
（2）求数列}{n c 的前n 项和n T ,并求使得1n m
T a >对任意n ∈N *
都成立的正整数m 的最小值。
19. (本小题满分12分)
如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上,矩形DCBE 所 在的平面垂直于圆O 所在的平面,4=AB ，1=BE ． （1）证明：平面⊥ADE 平面ACD ；
（2）当三棱锥ADE C -的体积最大时，求点C 到平面ADE
的距离。
20.（本小题满分13分）
设函数()()22ln ,f x x m x h x x x a =-=-+.
(1)当0=a 时，)()(x h x f ≥在),1(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围;
(2)当2=m 时，若函数)()()(x h x f x k -=在]3,1[上恰有两个不同零点，求实数a 的取
值范围。
21.（本小题满分14分）
已知直线3
:1l y x =+过椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的一个焦点和一个顶点。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴交于点M ，求常数λ使得BD AM k k λ=
文数参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
12. 2015×1010 13.4 14. [],4e ；15.④⑤
三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本大题满分12分）解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}．
因为f(x)＝(sin x －cos x)sin 2x
sin x ＝2cos x(sin x －cos x)
＝sin 2x －2cos 2
x ＝sin 2x －(1＋cos 2x) ＝2sin ? ????2x －π4－1，
所以f(x)的最小正周期T ＝2π
2
＝π.……6分
(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ???
???2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)．
由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2，x ≠k π(k ∈Z)，
得k π－π8≤x ≤k π＋3π
8
，x ≠k π(k ∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为 ??????k π－π8，k π和? ?
???k π，k π＋3π8(k ∈Z)． ……12分
17．(12分)
解：（I ）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，
24
,6
x x +==. ……1分 ……3分
（II ）由已知数据可求得：2
2
30(61824)8.5227.8791020822
K ?-?=≈>???……6分
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ……8分
（III ）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有 AB ，AC ，
AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种.……9分 其中一男一女有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ， DE ，DF.共8种. ……10分
故抽出一男一女的概率是8
15
p =
……12分
18. (12分) 【答案】解：（Ⅰ）∵121+=+n n a a
∴)1(211+=++n n a a ，∵11=a ，1120a +=≠……2分 ∴数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列．
∴1
221-?=+n n a ∴12-=n n a ……4分
（Ⅱ）∵)321
121(21)32)(12(1+-+=++=
n n n n c n ，……6分
∴)321
12171515131(21+-++???+-+-=n n T n
9
6)32(3)32131(21+=
+?=+-=n n
n n n ．……8分 ∵212216961599
11615615615n n T n n n n T n n n n n n
+++++=?==+>+++，又0n T >， ∴1,n n T T n +<∈N *
，即数列{}n T 是递增数列．
∴当1=n 时，n T 取得最小值
15
1
． ……10分 要使得1n m T a >对任意n ∈N *
都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需111521
m
>-，由此得4m >．∴正整数m 的最小值是5…………12分
19．(12分)
（1）证明：∵AB 是直径，∴AC BC ⊥……………1分，
又四边形DCBE 为矩形,DE CD ⊥,DE BC //,∴AC DE ⊥
∵C AC CD =I ，∴⊥DE 平面ACD …………4分
又?DE 平面ADE ，∴平面⊥ADE 平面ACD ……………6分
（2）由⑴知DE S V V ACD ACD E ADE C ??==?--31DE CD AC ????=2
1
31 BC AC ??=613
4
121)(121222=?=+?≤AB BC AC ，
……………………8分， 当且仅当22==BC AC 时等号成立 ………………9分，
∴当22==BC AC 三棱锥ADE C -体积最大为34
………………10分，
此时，3)22(12
2=+=AD ，2321=??=?DE AD S ADE
设点C 到平面ADE 的距离为h ，则3
4
31=??=?-h S V ADE ADE C
3
22=h ……………12分
20.（满分13分）
解:（1）当0,a =由)()(x h x f ≥可得ln m x x -≥- ，即ln x
m x
≤
……1分 记ln x
x
?=
，则)()(x h x f ≥在），（∞+1上恒成立等价于min ()m x ?≤. 求得2
ln 1
'()ln x x x
?-= 当(1,)x e ∈时;'()0x ?<;当(,)x e ∈+∞时，'()0x ?>
故()x ?在e x =处取得极小值，也是最小值，
即min ()()x e e ??==，故m e ≤. -----------6分
（2）函数)()()(x h x f x k -=在[]3,1上恰有两个不同的零点等价于方程a x x =-ln 2，
在[]3,1上恰有两个相异实根。 ……………8分
令x x x g ln 2)(-=,则2'()1g x x
=- 当[1,2)x ∈时，'()0g x <,当(2,3]x ∈时，'()0g x >
)(x g 在[]2,1上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数。………………10分
故min ()(2)22ln 2g x g ==- 又3ln 23)3(,1)1(-==g g
∵)3()1(g g >,∴只需)3()2(g a g ≤≤
故a 的取值范围是(]3ln 23,2ln 22--………………13分
21. (14分)
解：（1）直线:1l y x =
+过两点()()
0,1, ………………1分
因为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦点在x 轴时，
故焦点为()
，顶点为()1,0 ……………2分.
3,1==∴c b ……………3分.
222=+=∴c b a ……………4分. 所以，所求椭圆C 的方程为2
214
x y += …………5分 （2）设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，直线AB 的斜率11
AB y
k x =，…6分
又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11
x
k y =-， …………7分
设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠， ……………8分
由22
14
y kx m x y =+???+=??，可得222
(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122
814mk
x x k +=-+， …………9分
因此12122
2()214m
y y k x x m k +=++=+， 由题意知，12x x ≠，所以1
211211
44BD y y y k x x k x +==-=+， …………11分 所以直线BD 的方程为1111
()4y
y y x x x +=+，
令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x
可得11
2AM y
k x =-. …… …13分
所以2AM BD k k =-，即2λ=-.因此存在常数2λ=-使得结论成立. …………14分