惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

截面图形的几何性质

一.重点及难点：

(一).截面静矩和形心

1.静矩的定义式

如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 y

ydA

dSx xdA dS y == x dA

整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 x ×C y

??==A

A

y ydA

Sx xdA

S （I-1） A y x

2.形心与静矩关系 图I-1

设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0

A

S y x

=

， A S x y = （I-2）

推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。

推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心

设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为

∑∑∑∑========n

i n

i i

i xi x n

i i

i n i yi y y A S S x A S 1

1

11S （I-3）

截面图形的形心坐标为

∑∑===

n

i i

n

i i

i A

x

A x 1

1 ， ∑∑===

n

i i

n

i i

i A

y

A y 1

1 （I-4）

4.静矩的特征

(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。

(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径

1. 惯性矩

定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为

?=A

p dA I 2ρ （I-5）

图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为

?=A

y dA x I 2 ， dA y I A

x ?=2 （I-6）

惯性矩的特征

（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐

标轴定义的。

（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。

（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。

（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原

点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即

??+=+==A

x y A

p I I dA y x dA I )(222ρ （I-7）

（5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，

分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即

∑==n

i i I I 1

ρρ ，∑==n

i yi y I I 1

， ∑==n

i xi I Ix 1

（I-8）

y

1x 1C 1A y 2x 2C x dA

2A y n x n C n A 1y 0 x

0 n y 2y x

图I-2 图I-3

2. 惯性积

定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对y 轴和x 轴的惯性积定义为

?=A

xy xydA I （I-9）

惯性积的特征

（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。 （2） 惯性积的单位为4m 。

（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有

一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。

（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一

坐标轴的惯性积之和，即

∑==n

i xyi xy I I 1 （I-10）

3. 惯性半径

定义： 任意形状的截面图形的面积为A （图I-3）,则图形对y 轴和x 轴的惯性半径分别定义为

A

I i y y =

， A

I i x

x =

（I-11） 惯性半径的特征

（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的。 （2） 惯性半径的单位为m 。 （3） 惯性半径的数值恒取证之。

（三）.惯性矩和惯性积的平行移轴公式

平行移轴公式

A

b I I A a I I yC y xC x 2

2+=+= （I-12）

abA I I xCyC xy += （I-13）

平行移轴公式的特征

（1）意形状界面光图形的面积为A （图（I-4）；C C y x ， 轴为图形的形心轴；x ，y 轴为分别与C C y x ，形心轴相距为a 和b 的平行轴。 （2）两对平行轴之间的距离a 和b 的正负，可任意选取坐标轴x ，y 或形心C C y x ，为参考轴加以确定。

（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。

C y dA b

C C x

a

图I-4

(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩

转轴公式 αα2sin 2cos 221xy y

x y

x x I I I I I I --++=

αα2sin 2cos 2

2

1xy y

x y

x y I I I I I I +--

+=

αα2cos 2sin 2

11xy y

x y x I I I I +-=

转轴公式的特征

(1) 角度α的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴11,y x ，以逆时

针转向者为正（图5）。

(2) 原点O 为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无

关。

(3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯

性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即 P y x y x I I I I I =+=+11

主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点O 为坐标原点的坐

标轴0x 、0y 的惯性积为零（00

0=y x I ），则坐标轴0x 、0y 称为图形通过

点O 的主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩0

,y x I I ，称为

主惯性矩。

主惯性轴、主惯性矩的确定

(1) 对于某一点O ，若能找到通过点O 的图形的对称轴，则以点O

为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O 的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。

(2) 若通过某一点o 没有图形的对称轴，则可以点o 为坐标原点，

任作一坐标轴x ，y 为参考轴，并求出图形对参考轴x ，y 的惯性矩y x I I ,和惯性积xy I 。于是，图形通过点o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为

y

x xy I I I --

=22tan 0α （I-16）

2

2

22

xy y x y

x y x I I I I I I I +???

? ?

?-±+= (I-17) 主惯性轴、主惯性矩的特征

（1）图形通过某一点O 至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点O 所有轴的惯性矩中最大和最小。 （2）主惯性轴的方位角0α，从参考轴x ，y 量起，以逆时针转向为正。

（3）若图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点

o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。 （4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。

1y 1x

0y

0x

α

x 0 x

A α

图I-5 图I-6

二.典型例题分析

例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。

解：计算此截面对于x 轴的静矩x S 时，可以去平行于x 轴的狭长条(见图)作为面积元素（因其上各点的y 坐标相等），即dy y b dA )(=。由相似三角形关系，可知:

)()(y h h b y b -=

,因此有dy y h h

b

dA )(-=。将其代入公式（I-1）的第二式，即得 ????

=-=-==A

h h h x bh dy y h b ydy b dy y h h b ydA S 002

20

6

)(

y

dy

h b(y)

y 0 x 例题I-a 图

解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。

? Ⅱ 10

例I-2 试确定图示Ⅰ-b 截面形心C 的位置

解：将截面分为?、П两个矩形。为计算方便，取x 轴和y 轴分别与界面的底边和左边缘重合（见图）。先计算每一个矩形的面积i A 和形心坐标（i i y x ,）如下： 矩形? 2120012010mm A =?=I mm x 5210==

I ，mm y 602

120

==I 矩形П 27007010mm A =?=∏

mm x 4527010=+

=∏ ，mm y 52

10

==∏ 将其代入公式（I-4），即得截面形心C 的坐标为

mm

A A y A y A y mm

A A x A x A x 401900

75500201900

37500

≈=++=≈=++=

∏I ∏∏I I ∏I ∏∏I I

解题指导： 此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心，

计算不规则图形的形心。

y 10

120

· I x

I y

·

∏x x 80 图Ⅰ-b

例I-3 试求图I-c 所示截面对于对称轴x 轴的惯性矩x I

解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x 轴的惯性矩为

I x I ，每一个半圆形对于x 轴的惯性矩为I I x I ，则由公式（I-11）的第一式可知，

所给截面的惯性矩：

I I I +=x x x I I I 2 （1）

矩形对于x 轴的惯性矩为：

443

310533012

2008012)2(mm a d I x ?=?==I （2）

半圆形对于x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此，先求出每个半圆形对于与x 轴平行的形心轴C x （图b ）的惯性矩xC I 。已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x '（图b ）的惯性据之半，即128

4

d I x π=

'。而半圆形的面积

为8

2

d A π=

，其形心到底边的距离为

π

32d

（图b ）。故由平行移轴公式（I-10a ），可以求出每个半圆形对其自身形心轴C x 的惯性矩为：

8

)32(128)32(2

242d d d A d I I x xC

ππππ-=-=' （3）

由图a 可知，半圆形形心到x 轴距离为π

32d

a +，故在由平行移轴公式，求得每个半圆形对于x 轴的惯性矩为：

8

)32(8)32(128)32(2

22242d d a d d d A d a I I xC

x ππππππ++-=++=I I

)32232(422

2π

πa ad a d d ++=

将d=80mm 、 a=100mm （图a ）代入式（4），即得

422

2103460)380

100221003280(4)80(?=??++=

I I π

πx I mm 4 将求得的I x I 和I I x I 代入式（1），便得

44410122501034602105330?=??+?=x I mm 4

解题指导： 此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，利用已有的规则图形的面积、

形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。

xc

100 d

图I-c

40

a=100 π32d a +

x π32d x '

图I-c 40

d=80

常用截面惯性矩计算公式