〖附16套高考模拟卷〗辽宁省沈阳市2019-2021年高三一模数学试卷含解析

辽宁省沈阳市2019-2021年高三一模数学试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）

A ．2

B ．5

C 13

D 22

2． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252

D ．1272

3．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =

A ．{|34}x x <<

B ．{|4x x <或6}x >

C ．{|21}x x -<<-

D ．{|14}x x -<<

4．若函数f(x)＝13

x 3＋x 2－2

3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是

A ．[－5，0)

B ．(－5，0)

C ．[－3，0)

D ．(－3，0)

5．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=?==，则AD BE ?=（ ）

A ．1

B ．2-

C ．

12

D ．12

-

6．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）

A ．221155x y -=

B ．22

1515x y -=

C ．22

1312y x -=

D ．22

1217

y x -=

7．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ?是边长为23角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．

34

B ．

7 C 377

D 78．在ABC ?中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12

-

B ．-2

C ．

12

D ．2

9．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支

于点P ，若线段1PF 的中点在圆2

2

2

:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A 2

B ．2

C 21

D ．221

10．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种

C ．24种

D ．64种

11．已知三棱柱

1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )

A 317

B ．10

C ．

132

D ．31012．已知x ，y 满足不等式00224

x y x y t x y ≥??≥?

?+≤??+≤?，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范

围（ ） A ．[2，4]

B ．[4，6]

C ．[5，8]

D ．[6，7]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正项等比数列|{}n a 满足135

4a a +=，且2431

2,,2

a a a 成等差数列，则1223()()a a a a ??1()n n a a +?取得

最小值时n 的值为_____

14．平行四边形ABCD 中，60,4,2BAD AB AD ∠=?==，E 为边CD 上一点（不C D 、与重合），将平行四边形ABCD 沿BE 折起，使五点,,,,A B C D E 均在一个球面上，当四棱锥C ABED -体积最大时，球的表面积为________.

15．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则x y +=_____.

16．若实数x ，y 满足不等式组23023030x y x

y x y +-≥??

+-≥??+-≤?

，则23x y +的最小值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ?所在平面，且PA AB AC ==．

（1）求证：PA //平面QBC ；

（2）若PQ QBC ⊥平面，求CQ 与平面PBC 所成角的正弦值. 18．（12分）已知函数()e e x

x f x ax -=++，a R ∈.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()()(

)12

122e e

x

x f x f x a -<--.

19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝2，点P 在棱DF 上．

（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；

（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的正弦值为

6

3

，求PF 的长度． 20．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222

22x y t ?=+????=??

（t 为参数）.以原点O 为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2

6(cos sin )14ρρθθ=+-. （1）写出圆C 的直角坐标方程；

（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，()2,0P ，求2

2

||||PA PB +的值.

21．（12分） [选修4 5：不等式选讲]

已知a b c d ,,,都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222

111115

a b c d a b c d

+++

++++． 22．（10分）已知椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 和2F ，右顶点为A ，且13AF =，

短轴长为3（1）求椭圆E 的方程；

（2）若过点A 作垂直x 轴的直线l ，点T 为直线l 上纵坐标不为零的任意一点，过2F 作2TF 的垂线交椭圆E 于点P 和Q ，当

272

||24

TF PQ =时，求此时四边形1

TPFQ 的面积. 参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解析】 【分析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】

由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥

P ABC -.13PAC PAB S S ??==22PAC S ?，2ABC S ?=22选D.

【点睛】

本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现. 2、D 【解析】

分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122

所以1212(2,)n n a a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则1277712812)2a a q f === 故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：

（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1

n

n a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；

（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=?（*

3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数

列. 3、C 【解析】 【分析】 【详解】

由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ?=-<<-，故选C ． 4、C 【解析】 【分析】

求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】

由题意，f′(x)＝x 2＋2x ＝x(x ＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作

出其图象如图所示．

令

13x 3＋x 2－23＝－2

3

，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤?

解得a ∈[－3，0)，

故选C. 【点睛】

本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 5、C 【解析】 【分析】

以,BA BC 为基底，将,AD BE 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】 22

2,,33

BD DC BD BC AD BD BA BC BA ==

=-=-, 11

,22AE EC BE BC BA =∴=

+, 211

()()322AD BE BC BA BC BA ?=-?+

22

111362BC BC BA BA =-?- 111123622=-???=.

故选:C. 【点睛】

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 6、C 【解析】 【分析】

判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为3y x =或3y x =.A 选项渐近线为3

y x =，B 选项渐

近线为3y x =±，C 选项渐近线为1

2

y x =±

，D 选项渐近线为3y x =±.所以双曲线C 的方程不可能为221312

y x -=.

故选：C 【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 7、C 【解析】 【分析】

设D 为AB 中点,先证明CD ⊥平面PAB ，得出CPD ∠为所求角,利用勾股定理计算,,PA PD CD ,得出结论． 【详解】

设,D E 分别是,AB BC 的中点AE CD F =

PA ⊥平面ABC PA CD ∴⊥

ABC ?是等边三角形 CD AB ∴⊥

又PA

AB A =

CD

平面PAB CPD ∴∠为PC 与平面PAB 所成的角

ABC ?是边长为3

3CD AE ∴==，2

23

AF AE =

=且F 为ABC ?所在截面圆的圆心 球O 的表面积为20π ∴球O 的半径5OA =221OF OA AF ∴=-=

PA ⊥平面ABC 22PA OF ∴== 227PD PA AD ∴=+37

tan 77

CD CPD PD ∴∠=

==

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题． 8、A 【解析】 【分析】

设BD k BC =，用,AB AC 表示出BM ，求出,λμ的值即可得出答案. 【详解】

设BD k BC k AC k AB ==-

由2AM AD =

()

112222

k k

BM BA BD AB AC AB ∴=

+=-+- 1222k k AB AC ??

=--+ ???

，

1,222

k k

λμ∴=--=，

1

2

λμ∴+=-.

故选：A 【点睛】

本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题. 9、C 【解析】 【分析】

设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】

设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆2

2

2

:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12

F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ===，根据双曲线的定义可知

122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222

c

a

=

=+-.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 10、C 【解析】 【分析】

根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】

解：根据题意，分2步进行分析：

①，将4人分成3组，有2

46C =种分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有2

2

2A =种情况， 此时有224?=种情况，

则有6424?=种不同的安排方法； 故选：C ． 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．

11、C

【解析】

因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，

所以2R＝2

2

125

+＝13，即R＝13 2

12、B

【解析】

【分析】

作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解. 【详解】

画出不等式组

24

x

y

x y

≥

?

?

≥

?

?+=

?

所表示的可行域如图△AOB

当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意

t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在

2

24

x y t

x y

+=

?

?

+=

?

的交点（

824

33

t t

--

，）处取得最大值，此时Z＝t+16

由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6

故选：B．

【点睛】

此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。