2018高考全国1卷理科数学与答案解析详细讲解[版本]
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷
类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U
D .A B =?I
2.如图,正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图.正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A .
14
B .
π8
C .
12
D .
π4
3.设有下面四个命题
1p :若复数z 满足1
z ∈R ,则z ∈R ;
2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;
3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .
其中的真命题为 A .13,p p
B .14,p p
C .23,p p
D .24,p p
4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为
A .1
B .2
C .4
D .8
5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值围是 A .[2,2]-
B .[1,1]-
C .[0,4]
D .[1,3]
6.6
2
1(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A .15
B .20
C .30
D .35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A .10
B .12
C .14
D .16
8.右面程序框图是为了求出满足3n
?2n
>1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入
A .A >1 000和n =n +1
B .A >1 000和n =n +2
C .A ≤1 000和n =n +1
D .A ≤1 000和n =n +2
9.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +
2π
3
),则下面结论正确的是
A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度,得到曲线C 2
B .把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线C 2
C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度,得到曲线C 2
D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线C 2
10.已知F 为抛物线C :y 2
=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直
线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16
B .14
C .12
D .10
11.设xyz 为正数,且235x y z ==,则
A .2x <3y <5z
B .5z <2x <3y
C .3y <5z <2x
D .3y <2x <5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20
,接下来的两项是20
,21
,再接下来的三项是20
,21
,22
,依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440
B .330
C .220
D .110
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |= .
14.设x ,y 满足约束条件21
210x y x y x y +≤??
+≥-??-≤?
,则32z x y =-的最小值为 .
15.已知双曲线C :22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径做圆A ,圆A 与双曲线C
的一条渐近线交于M 、N 两点。若∠MAN =60°,则C 的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上
的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC ,
CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D 、E 、F 重合,得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时,
所得三棱锥体积(单位:cm 3
)的最大值为_______。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为2
3sin a A
(1)求sin B sin C ;
(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长. 18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o .
(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;
(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A -PB -C 的余弦值. 19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
2(,)N μσ.
(1)假设生产状态正常,记X 表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;
(2)一天抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96
9.96 10.01 9.92
9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑,16162
22211
11()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =???.
用样本平均数x 作为μ的估计值?μ,用样本标准差s 作为σ的估计值?σ,利用估计值判断是否需对当
天的生产过程进行检查?剔除????(3,3)μ
σμσ-+之外的学科网数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,
160.997 40.959 2=0.09≈.
20.(12分)
已知椭圆C :22
22=1x y a b
+(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1),P 4(1三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程;
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 21.(12分)
已知函数)f x =(a e 2x
+(a ﹣2) e x
﹣x . (1)讨论()f x 的单调性;
(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=??=?(θ为参数),直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+??
=-?
(为参数). (1)若a =?1,求C 与l 的交点坐标;
(2)若C 上的点到l a. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f (x )=–x 2
+ax +4,g (x )=│x +1│+│x –1│. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值围.
2017高考全国Ⅰ卷数学答案及解析
1 正确答案及相关解析
A
解析
由{}{}{}{},,所以,即,则可得由0|0|1|0|033130<=<<=<=<< 故选A. 考查方向 (1)集合的运算(2)指数运算性质. 解题思路 应先把集合化简再计算,再直接进行交、并集的定义运算. 易错点 集合的交、并集运算灵活运用 2 正确答案及相关解析 正确答案 B 解析 考查方向 几何概型 黑白部分面积相等,再由几何概型概率的计算公式得出结果 易错点 几何概型中事件A 区域的几何度量 3 正确答案及相关解析 正确答案 B 解析 由R i R i ?∈-=,12 知,2P 不正确; 由不正确;知321211,P R z z i z z ∈-=?== 4P 显然正确,故选B. 考查方向 (1)命题及其关系;(2)复数的概念及几何意义. 解题思路 根据复数的分类,复数运算性质依次对每一个进行验证命题的真假,可得答案 易错点 真假命题的判断 4 正确答案及相关解析 正确答案 C 解析 设公差为,247243,11154=+=+++=+d a d a d a a a d ,联立 ,48 156a 24 72a 11{ =+=+d d 解得d =4,故选C. 考查方向 等差数列的基本量求解 解题思路 设公差为d ,由题意列出两个方程,联立 ,48 156a 24 72a 11 {=+=+d d 求解得出答案 易错点 数列的基本量方程组的求解 5 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 成立, 单调递减,要使为奇函数且在因为1)(1),()(≤≤-+∞-∞x f x f 1 2111≤-≤-≤≤-x x x ,从而由满足则[]311)2(131,取值范围为成立的,即满足得x x f x ≤-≤-≤≤, 选D. 考查方向 (1)函数的奇偶性;(2)函数的单调性 解题思路 由函数为奇函数且在)(∞+-∞,单调递减,单调递减.若1)(1≤≤-x f ,满足11≤≤-x ,从而由 121≤-≤-x 得出结果 易错点 函数的奇偶性与单调性的综合应用 6 正确答案及相关解析 正确答案 C 解析 因为()()()62 6621111111x x x x x +?++?=+??? ? ?+ ,则()61x +展开式中含2 x 的项为2226151x x C =?,()6211x x +?展开式中含2x 的项为2 4462151x x C x =?,故2x 的系数为15+15=30,选C. 考查方向 二项式定理 解题思路 将第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,再分析好2 x 的项的系数,两项进行加和即可求出答案 易错点 准确分析清楚构成2 x 这一项的不同情况7 正确答案及相关解析 正确答案 B 解析 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图,则该几何体各面只有两个相同的梯形,则这些梯形的面积之和为()122 1 2422=? ?+?,故选B. 考查方向 简单几何体的三视图 解题思路 由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,则该几何体各面只有两个相同的梯形,由边的关系计算出梯形的面积之和 易错点 根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量 8 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 由题意,因为100023>-n n ,且框图中在“否”时输出,所以判定框不能输入1000>A ,故填1000≤A ,又要求n 为偶数且初始值为0,所以矩形框填2+=n n ,故选D. 考查方向 程序框图的应用。 解题思路 通过程序框图的要求,写出每次循环的结果得到输出的值. 易错点 循环结构的条件判断 9 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 因为2,1C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则 考查方向 (1)诱导公式;(2)三角函数图像变换. 解题思路 首先利用诱导公式将不同名函数转换成同名函数, 易错点 对变量x 而言进行三角函数图像变换 10 正确答案及相关解析 正确答案 A 解析 设直线1l 方程为()11-=x k y , 取方程() ?????-==1412x k y x y ∴ 由抛物线定义可知 当且仅当121=-=k k (或1-)时,取得等号. 考查方向 (1)抛物线的简单性质;(2)均值不等式 解题思路 易错点 抛物线焦点弦公式 11 正确答案及相关解析 正确答案 D 解析 令)1(532>===k k z y x ,则k z k y k x 532log ,log ,log ===, 考查方向 指、对数运算性质 解题思路 易错点 比较数的大小 12 正确答案及相关解析 正确答案 A 解析 由题意得,数列如下: 1, 1,2 1,2,4 … 1,2,4,…,12-k … 设122 2121 -=+?++=+-t t k , 所以1432≥-=t k ,则5≥t ,此时29325 =-=k , 考查方向 等差数列、等比数列的求和. 解题思路 由题意列出数列,即为 1, 1,2 1,2,4 … 1,2,4,…,1 2-k , 此时29325 =-=k ,进而求出最小的整数N 易错点 观察所给定数列的特征,进而求数列的通项和求和 13 正确答案及相关解析 正确答案 解析 考查方向 平面向量的运算. 解题思路 易错点 平面向量中求模长的通常是见模平方14正确答案及相关解析 正确答案 -5 解析 不等式组表示的可行域如图所示, 易求得())3 1,31(),31,31(,1,1C B A ---, 由y x z 23-=得2 23z x y -= 在y 轴上的截距越大,z 就越小, 所以,当直线y x z 23-=过点A 时,Z 取得最小值, 所以Z 的最小值为512)1(3-=?--?. 考查方向 线性规划的应用 解题思路 作出不等式组对应的平面区域,根据z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 易错点 z 的几何意义 15 正确答案及相关解析 正确答案 3 3 2 而MN AP ⊥,所以? =∠30PAN , 由2 22b a c +=得b c 2=, 考查方向 双曲线的简单性质. 解题思路 易错点 双曲线渐近线性质的灵活应用 16 正确答案及相关解析 正确答案 解析 如下图,设正三角形的边长为x,则x x OG 6 3 2 3 3 1 = ? =. x SG FG 6 3 5- = = ∴,?? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = - = = 3 3 5 5 6 3 6 3 5 2 2 2 2x x GO SG h SO ∴三棱锥的体积5 4 3 3 5 12 15 3 3 5 5 4 3 3 1 3 1 x x x h S V ABC - = ? ? ? ? ? ? - ? ? = ? = ? . 令5 4 3 3 5 ) (x x x n- =,则4 3 3 3 5 20 ) (x x x n- = ', 令3 4 ,0 3 4,0 ) ( 4 3= = - = 'x x x x n, 15 4 4 5 48 12 75 max = - ? ? = V. 考查方向 简单几何体的体积 解题思路 设正三角形的边长为x,则x x OG 6 3 2 3 3 1 = ? =. 的最大值 易错点 利用导函数求体积的最大值 17正确答案及相关解析 正确答案 解析 考查方向 (1)正弦定理;(2)余弦定理;(3)三角函数及其变换. 解题思路 易错点 解三角形 18 正确答案及相关解析 正确答案 解析 (1)由已知? =∠=∠90CDP BAP ,得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB//CD ,故AB ⊥PD ,从而AB ⊥平面PAD . 又AB ? 平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)在平面PAD 作AD PF ⊥,垂足为F , 由(1)可知,PAD AB 平面⊥,故PF AB ⊥,可得ABCD PF 平面⊥平面.