高中数学数列知识点总结97942
1. 等差数列的定义与性质
定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+-
等差中项:x A y ，，成等差数列2A x y ?=+
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列
(1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
(2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2;
(3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，
(４)若n n a b ，是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ，,则2121
m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ，为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数)
n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，
即：当100a d ><，，解不等式组1
00n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，,由100
n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S
nd S S =-奇偶，1
+=n n a a S S 偶奇. (７)项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ,
有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-,
n a S S =-偶奇，
1
-=n n S S 偶奇.
2. 等比数列的定义与性质
定义：1n n
a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=． 等比中项:x G y 、、成等比数列2G xy ?=
，或G =
前n 项和:()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =??=-?≠?-?
(要注意!） 性质：{}n a 是等比数列
（1)若m n p q +=+,则m
n p q a a a a =·· (2)232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q ．
注意：由n S 求n a 时应注意什么？
1n =时,11a S =；
2n ≥时,1n n n a S S -=-.
3．求数列通项公式的常用方法
(１)求差（商)法
如：数列{}n a ,12211125222
n n a a a n +++=+……，求n a
（2）叠乘法
如:数列{}n a 中，1131
n n a n a a n +==+，，求n a
（3)等差型递推公式
由110()n n a a f n a a --==，,求n a ,用迭加法
[练习］数列{}n a 中，()11113
2n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312n n a =-）
（4）等比型递推公式
1n n a ca d -=+（c d 、为常数,010c c d ≠≠≠，，)
可转化为等比数列,设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+-
令(1)c x d -=,∴1d x c =-,∴1n d a c ??+??-?
?是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -??+=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -??=+- ?--??
（5)倒数法
如:11212
n n n a a a a +==
+，,求n a
附: 公式法、利用{1(2)1(1)
n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或
1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
) ４． 求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项．
如：{}n a 是公差为d 的等差数列,求111n k k k a a =+∑
(2)错位相减法
若{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,求数列{}n n a b (差比数列)前n 项和，可由n n S qS -,求n S ，其中q 为{}n b 的公比.
如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②
①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……
1x ≠时,()()2111n n n x nx S x x -=---,1x =时，()11232
n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++??=++++?
…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++…… ［练习]已知2
2()1x f x x
=+,则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??????++++++= ? ? ???????
(附: ａ．用倒序相加法求数列的前ｎ项和
如果一个数列{ａｎ}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两
个和式相加，就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果,更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n 项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
ｂ．用公式法求数列的前n 项和
对等差数列、等比数列,求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后,再计算。
ｃ.用裂项相消法求数列的前n 项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n 项和。
d.用错位相减法求数列的前n 项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{ａｎ·
b ｎ}中，｛a ｎ}成等差数列，{ｂｎ｝成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。
e.用迭加法求数列的前ｎ项和
迭加法主要应用于数列｛a ｎ}满足ａn+１=ａｎ+f(n ），其中f(ｎ)是等差数列或等比数列的条件下,可把
这个式子变成a ｎ＋1-a n ＝f(ｎ)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理,可求出a n ，从而求出Ｓn 。
f.用分组求和法求数列的前ｎ项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和,再将其合并。
g ．用构造法求数列的前ｎ项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n 项和。