高考数学考情分析

一、考情分析

填空题是高考数学的三种基本题型之一，高考题的命制对于填空题来说，涉及的知识点较多，几乎可以渗透到高中数学的每个章节，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题创新改革的“试验田”，将各类新定义题、开放题、探索题等来命制题目，出题灵活，注重对能力的考查。近年高考对填空题的题量及分值有增无减的趋势。预测20XX年创新型的填空题将会出现情境创新题，因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备。填空题是高考题中客观性题型之一，具有小巧灵活，结构简单，概念性强,运算不大，不需要写出求解过程而只需直接写出结论等特点。虽然量少（目前只有题），但考生的得分率较低，不很理想。究其原因，考生还不能达到《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求：“正确、合理、迅速”。那么，怎样才能做到“正确、合理、迅速”地解答填空题，为做后面的题赢得宝贵的时间呢？要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不

要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意

二、高考数学填空题的特点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1.与选择题相比填空题缺少选择项的信息，更像一道解答题,故解答题的求解思路可以原封不动地移

植到填空题上，如解答填空题的直接运算推理法.

2.与解答题相比，填空题又不用说明理由,又无需书写过程，在这一方面，填空题更接近于选择题,因

而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.

3.由于填空题常用来考查基本概念、基本运算、大多是一些能在课本中找到原型或背景的题目,故可以通过观察、分析、转化、变为已知的题目或非常熟悉的基本题型,这是填空题区别于某些高档综合题的重

要所在.

4. 填空题无需解答过程，因而解答过程的每一步必须百分之百地准确，一步失误，全题零分，从考

试的角度看，填空题相比选择题和解答题更容易失分.

三、解答策略

同选择题一样，填空题也属于“小灵通”题，其解题“不讲道理”，所以解答填空题的基本原则是“不择手段”、“小题不能大做”，小题需小做、繁题会简做、难题要巧做，解答大部分填空题的基本方法是“直接运算推理法”，部分填空题也可用等价转化法、特例求解法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、特殊位置法、特殊模型法等)、数形互助法、合理构造法、以题攻题法、规律发现法、逐一判断法、验证法。解题应突出转化的思想(转化为图象、转化为特殊图形、转化为易于解决的问题等)，力争小题小做或小题

巧做。

1.直接运算推理法

对所给问题比较简单或比较熟悉时,可直接利用课本中的定义,性质,定理,公式等,进行推理演算而得到

正确答案.

【例1】（20XX年，辽宁卷）设则函数的最小值为 .

【分析及解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得：

= ，

∵∴，利用均值定理，，当且仅当

时取“=”，∴，所以应填 .

【评述】运用直接法，必须根据题设条件联想相应的知识进行求解，本题的关键是明确化简变形的方向，即将式子化为只含一个变量，利用齐次式化为正切进行统一变量，然后根据特点运用均值定理进行

求解。

2.等价转化法

对所给的问题较为复杂或较为陌生时，可通过等价转化为另一种容易理解的语言，或通过适当的变

形转化为容易求解的形式,再求解

【例2】(20XX年,全国I卷)过点（1，）的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，

直线l的斜率k= 。

【分析及解】由已知点在圆的内部,圆心为,要使得劣弧所对的圆心角最小,等价于过点的弦最短,

显然只能是直线,由斜率关系,得,所以应填 .

【评述】本题初看很难,运用等价转化,即过点的弦最短,可迅速解决问题.

3.特例求解法

当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。一般用于所给的问题比较抽象，或具有一般性时，可通过具体化和特殊化而获得解决。

【例3】（20XX年，江西卷）已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1= ，则a

36＝．

【分析及解】取特殊数列，又a1= ，得，即，∴，故应填

【评述】运用常规方法费时费力，取特殊值数列即可轻松解决。

4.数形互助法

借助图形的直观形，通过数形结合的方法，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。数形互助法是以数形结合的数学思想为指导的一个解题方法.由于填空题不必写出论证过程，因而画出辅助图像、方程的曲线或借助表格等进行分析并解答。

【例4】(20XX年,湖北卷)方程的实数解的个数为 .

【分析及解】∵,∴,

O

x

y

3

1

令和,其两函数的图象如图所示,

由图可得方程的实数解的个数为2.

【评述】求方程解的个数，可以画出方程两边的函数的图象，

通过观察图象的交点的个数来研究方程解的个数.

5.合理构造法

是指根据题意合理构造函数、方程、数列、复数及图形和有关命题，使问题转化，特别适合解决开

放性的填空题。

S

A

B

C

【例5】（20XX年,福建卷）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积

是.

【分析及解】如图所示，以侧棱为棱长补成正方体,

则正方体的对角线恰为外接球的直径，

所以( 为正方体棱长).即,

所以

【评述】对于共点三条棱两两垂直的三棱锥，可以此三条棱为边补成正方体，从而使线面关系纳入

正方体中解决。

6.以题攻题法

由于填空题不需要过程，故可挖掘课本例题、习题潜在的功能及常用结论，可以达到以题攻题，直

接得出结果。

【例6】(20XX年,广东卷)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .

【分析及解】由正方体的对角线恰为球的直径，，所以，

则球的表面积为

【评述】本题利用长方体、正方体、直四棱柱的外接球直径恰为其对角线的长（即）直接解答，

简洁明快。

7.规律发现法

对所给问题有的比较熟悉，但直接求解又比较费时，费力;而有的问题比较新颖，如情境创新题中定义新概念、定义新图形、定义新数表等问题可通过观察，分析题目特征，探索规律，发现关系进而再求解。

【例7】（20XX年，江苏卷）将全体正整数排成一个三角形数阵：

20080813

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

。。。。。。。。。。。。。。。。

按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 .

【分析及解】该数阵的第1行有1个数，第二行有2个数，。。。第行有个数，故第行的最后一

个数为，故第行的第3个数为

【点评】数表是对数列的一种拆分，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是

对正整数的一种重排，只要找出其规律便不难求得答案。近年来“数表问题”频频出现在高

考试卷上，它与组合数知识、数列知识强强联手，奏出一曲曲优美的“乐章”，而杨辉三角

的规律很多，内容丰富，设问较多且题型灵活，解法巧妙。希望读者试着总结。

【例8】(20XX年,全国卷)已知函数

那么 .

【分析及解】因为，，于是所求，应填

【评述】容易发现，这就是我们找出的有用的规律。而不是把每个值都代入函数解析式算一算，然

后在加一加而得.

8.开放题的解法

填空题中的开放题有结论开放（含组合型多选题）、条件开放、综合开放，答案往往不唯一，解题

时注意数学思想的应用.

【例9】(20XX年,全国II卷)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件；

充要条件①；

充要条件② .

（写出你认为正确的两个充要条件）

【分析及解】本题给出四边形为平行四边形的充要条件，,类比空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件，这类结论开放性题目,往往结论是不唯一的，如: 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等等均是其充要条件。

【点评】本题是归纳类比型问题，这种题目的特点是给出一个数学情景或一个数学命题，要求解题者用发散思维去联想、类比、推广、转化,在解题中发现属性、发现关系、发现相似性，从而找出类似的命题,推广的命题、深入的命题或根据一些特殊的数据，特殊的情况去归纳出一般的规律.

四.教学建议

数学填空题的特点是只注重结果，不考虑过程，虽然省去过程给解题带来了速度，但是一旦结果有误就“全军覆没”，结果有误通常都是“会而不对，对而不全”所致，教学中应引导学生注意以下几点。

1．审题要仔细

这是解答好填空题的前提，要从看清题目中的每一个字、词、数据、符号到理解题意、分析隐含条件，寻求简洁的解题方法，以及推理运算做到准确无误。

2．明确要求,看清题意

要作答的要求要看清楚，如：“正确的是”、“不正确的是”、“精确到”、“用数字作答”、

“填上你认为正确的一种条件即可”、“把你认为正确的命题的序号都填上”、“结果保留”等等，由于填空题没有解答过程，没有步骤分，一笔失误，则徒劳无功，前功尽弃。

3．书写要规范

是指以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求，如：不能写成或等；②所填结果要完整，如：条件型填空题，不能漏

填，有条件限制的求反函数，不能缺少定义域；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺少，如集合

不能写为

③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求

函数的定义域、值域，结果写成集合或区间形式。

4．要重视对所求结果的检验

针对填空题错误的个有效的招术，就是检验，根据题型的不同，检验的方式各不相同，有特殊值检

验、逆代检验、图形检验等。

五、习题精选

1．(20XX年,全国I卷)设函数若是奇函数，则= .

2．(20XX年,重庆卷)在数列中, 若（n≥1）, 则该数列的通项_______．

3．(20XX年,全国I卷)已知函数若为奇函数，则a= .

4．（20XX年，湖北卷）设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，

则q的值为 .

5．（20XX年，天津卷）设等差数列的公差是2，前项的和为，则．6．（20XX年,上海卷）设函数是定义在R上的奇函数，若当时则满足的的取值范围是

7．（20XX年,江西卷）不等式的解集为．

8．(20XX年,四川卷)在三棱锥O—ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是

（用反三角函数表示）.

9．(20XX年,北京卷)已知函数的反函数的图象经过点（－1，2），那么a的值等于 .

10．（20XX年，湖南卷，理15）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是 .

11．（20XX年，福建卷）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“~ ”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意，都有；

（2）对称性：对于，若，则有；

（3）传递性：对于，若，，则有．

则称“~ ”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．

参考答案及提示

1．由导数定义及法则,

= ,又是奇函数，则有,即

,又,故,所以应填 .

2．由已知可等价转化为，即是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以该数列的通项为

3．取，由于函数在上为奇函数，则，即，解之得

4．本题的隐含条件是运算过程与首项的取值无关，即任意都行，∴取特值，，则转化为, ，成等差数列。即，即有，整理为：，解之得：（舍去）或，故应填

5．一般的解法是,

,

这样解,有一定的运算量,实际上,如果概念清楚,算理清楚,就可以简化运算,因为是填空题,题意表明极限是存在且唯一的,由此可设特殊值,进行简算，

即设则, 故应填

6．根据题意画出函数的草图,

由图可知的的取值范围是

或

7．原不等式即,从而,

即,画出函数和的图象,

由图可知不等式的解集为

M

O

A

C

B

8．如图所示，将此三棱锥补成正方体，连结，则OM与平面ABC所成角的大小就是，在中，有

，

即

9．依题意，由互为反函数的结论，则有

即，解之得

10．由0—1三角数表可知：从上向下数，全行的数都为1的是第1、3、7，行，由此猜测第次全行的数都为1的是第行，验证成立，由上可知第行的数全为1，依据0—1三角数表和杨辉三角的性质，

可得第61、62、63行数表如下：

第61行：1 1 0 0 1 1 0 0 。。。。。1 1

第62行：1 0 1 0 1 0 1 0 。。。。。1 0 1

第63行：1 1 1 1 1 1 1 1 。。。。。1 1 1

可知61行有62个数，数字为1的有30+2=32个，故应填，32

11．题设定义了数学中“等价关系”的这一新概念，对于中学生比较陌生，有着高等数学背景，但是中学数学中又接触了相等、相似等“等价关系”的概念，要求考生联想平时以学过的各种数学关系，通过比较，验证是否满足题中的三个条件作出答案，本题是结论开放性问题，答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等均是“等价关系”。