【必考题】数学高考试卷及答案

【必考题】数学高考试卷及答案

一、选择题

1．若43i z =+，则z

z

=（ ） A ．1 B ．1-

C ．

4355

i + D ．

4355

i - 2．设5sin

7a π=，2cos 7b π=，2tan 7

c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

3．

()()3

1i 2i i --+=（ ）

A ．3i +

B ．3i --

C ．3i -+

D ．3i -

4．若满足

sin cos cos A B C a b c

==，则ABC ?为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．有一个内角为30的等腰三角形

5．如图，12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线

C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．23y x =±

B ．22y x =±

C ．3y x =±

D ．2y x =±

6．函数()1

ln 1y x x

=

-+的图象大致为( ) A ． B ．

C ．

D ．

7．已知()

3

sin 30,601505

αα?+=?<

310

10

B ．310

10

-

C ．

433

10

- D ．

343

10

- 8．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺

序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

9．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.

A ．6500元

B ．7000元

C ．7500元

D ．8000元

10．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2

f x x x m π

=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是

A ．（1,2）

B ．[1,2）

C ．（1,2]

D ．[l,2]

11．已知,a b ∈R ，函数32

,0()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++≥??，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）

A ．1,0a b <-<

B ．1,0a b <->

C ．1,0a b >-<

D ．1,0a b >->

12．

sin 47sin17cos30

cos17-

A ．3-

B ．12

-

C ．

12

D ．

32

二、填空题

13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2

21y ax a x =+++相切,则a= ．

14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在

西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________ m.

15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2

EF =

，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；

③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，

其中正确结论的序号是______．

17．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1

sin 3

α=

，则cos()αβ-=___________. 18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则

ABC 的面积为______．

19．已知函数sin(2)()22y x ??ππ

=+-<<的图象关于直线3

x π=对称，则?的值是________．

20．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________．

三、解答题

21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α

α=+??=-?

（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，

x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1

sin 2cos θθρ

-=

，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.

22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知

,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.

求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .

23．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ??

<

，求不等式22510ax x a -+->的解集．

24．如图，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，将AED ，

DCF 分别沿DE ，DF 折起，使得A ，C 两点重合于点M ．

(1) 求证：MD EF ⊥； (2) 求三棱锥M EFD -的体积．

25．已知函数()()2

f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．

()1求()f x 的单调区间；

()2若()f x 0≤在区间[]1,e 上恒成立，求实数a 的取值范围．

26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为6

3

，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点

为顶点的三角形的面积为22 （1）求椭圆的方程；

（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =5，求直线l 的方程．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得 ：22435z =

+=，且：43z i =-，

据此有：4343555

z i i z -==-. 本题选择D 选项.

2．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为

，

，所以，

，且，所以

，

，所以

,

故选D.

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果.

【详解】 由题意得，复数()()()3

1i 2i 13i i 13i 3i i i

i i

--+-+?-+===----?．故应选B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住

2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实

数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】

由正弦定理可知

sin sin sin A B C

a b c ==，又sin cos cos A B C a b c

==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.

所以45B C ==.所以180454590A =--=. 所以ABC ?为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.

5．A

解析：A 【解析】 【分析】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b

y x a

=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，

由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，

所以12||F F =

=c ?=

因为2521a x a =-=?=，所以b =

所以双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±=±. 【点睛】

本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】

0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．

故选：A. 【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．

7．D

解析：D 【解析】

分析：先求出()cos 30α?+的值，再把cos α变形为0

cos[(30)30]α+-，再利用差角的

余弦公式展开化简即得cos α的值. 详解：∵60150α?<

4

5

， ∵c os α=00

cos[(30)30]α+-,

∴c os α=-453152?=， 故选D.

点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，0

(30)30αα=+-，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一

棒，不合题意．

【详解】

由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，

∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，

当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；

当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．

故跑第三棒的是丙．

故选：C．

【点睛】

本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．

9．D

解析：D

【解析】

【分析】

设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．

【详解】

设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x＝8000．

故选D．

【点睛】

本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．

10．B

解析：B

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：利用辅助角公式化简函数为

=+-,令,则,所以此()3sin2cos2

f x x x m

时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,

.

考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，

32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】

当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b

x a

=

-；()y f x ax b =--最多一个零点；

当0x 时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，

当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，

()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，

1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：

∴01b a <-且32

11(1)(1)(1)03

2b a a a b ->???+-++-，31

0(116

,)b a a >>-

+∴>-．

故选C ．

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

由()

sin 473017sin θ=+，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可. 【详解】

0000

sin 47sin17cos30cos17

-sin()sin cos cos 1730173017?+?-??

=? sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17??+??-??=

?

1

302sin =?=．故选C ．

【点睛】

三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

二、填空题

13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】

解析：8 【解析】

试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111

|1|2x x y x

===+

='，所以切线方程为；曲线2

(2)1y ax a x =+++的导函数的为

，因与该曲线

相切，可令

，当

时，曲线为直线，与直线

平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点

，代入切线方程即

可求得

.

考点：导函数的运用.

【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．

14．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：

【解析】

试题分析:由题设可知在

中,

,由此可得

,由

正弦定理可得,解之得,又因为,所以

,应填

.

考点：正弦定理及运用．

15．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)

【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得

44

33

b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知4013

4343b b -?

≤

，解得57b <<

16．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③

【解析】 【分析】

对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】

对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；

对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；

对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是

1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．

综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

17．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边

解析：7

9

-

【解析】

试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么

1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=），

所以()2

2

2

7

cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19

αβαβαβααα-=+=-+=-=-

. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式

【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.

18．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定

解析：

16

【解析】 【分析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】

2b =，3c =，2C B =，

∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23

sin sin B C

=，可得：

233sin sin22sin cos B B B B

==，

∴可得：3cos 4B =

，可得：sin B ==，

∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21

cos cos22cos 18C B B ==-=，

()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=

，

11sin 23221616

S bc A ∴=

=???=

．

． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

19．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间

解析：6

π-

. 【解析】

分析：由对称轴得π

π()6

k k Z ?=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13???

+=± ???

，所以2πππππ()326k k k Z ??+=+=-+∈，，因

为ππ22?-

<<，所以π

0,.6

k ?==- 点睛：函数sin()y A x B ω?=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π

T ω

=

；(3)由π

π()2

x k k ω?+=

+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ω?-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ω?+≤+≤+∈Z 求减区间.

20．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使

解析：.

【解析】

()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，

()112'2ax g x a x x

-=

-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令

()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得1

02x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >

，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a

=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ??

=> ???，解得10,2

a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为1

02

a <<

. 三、解答题

21．（1）2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】 【分析】

（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ

ρθ=??=?

，整理

即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】

（1）由3212x cos y sin αα=+??=-?，得3212x cos y sin α

α-=??-=-?

，

两式两边平方并相加，得()()2

2

314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.

将y sin x cos ρθρθ

=??=?代入得()()22

cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=

所以曲线C 的极坐标方程为2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1

sin 2cos θθρ

-=

，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=

所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=

因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离5

d ==

，

所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=+. 【点睛】

本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.

22．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.

【详解】

（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ?平面DEF ，DE ?平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．

（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以

1

32DE PA =

=，142

EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ?平

面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】

线面平行与面面垂直．

23．132x x ??-<

?

【解析】 【分析】

由不等式的解集和方程的关系，可知

1

2

，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】

解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为

1

2

，2； 由根与系数的关系得552

21a a

?-=????-=??解得2a =-．

所以原不等式化为2530x x +-<解得1

32

x -<< 所以不等式解集为132x x ??-<<

????

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值. 24．（1）见解析；（2）13

【解析】 【分析】

（1）在正方形ABCD 中，有AB AD ⊥，CD BC ⊥，在三棱锥M DEF -中，可得

MD MF ⊥，MD ME ⊥，由线面垂直的判定可得MD ⊥面MEF ，则MD EF ⊥； （2）由E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，可得1BE BF ==，求出三角形MEF 的面积，结

合()1及棱锥体积公式求解． 【详解】 （1）证明：

在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，CD BC ⊥，

∴在三棱锥M DEF -中，有MD MF ⊥，MD ME ⊥，且ME MF M ?=，

MD ∴⊥面MEF ，则MD EF ⊥；

（2）解：E 、F 分别是边长为2的正方形ABCD 中AB 、BC 边的中点， 1BE BF ∴==，

11

1122MEF BEF S S ∴==??=，

由（1）知，1111

23323

M DEF MEF V S MD -=?=??=．

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．

25．（1）见解析； （2）2e 2e

a 2e 2

-≥-.

【解析】 【分析】

()1求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求()f x 的单调区间；()2若()0f x ≤在区间[]1,e 上恒成立，则只需求出()f x 的最大值即可，求实数a 的取值范

围． 【详解】

()()()21f x x 2a 1x 2alnx(a 0)=-++>．

()()()()

22x 2a 1x 2a

2x 1x a f'x (x 0)x

x

-++--∴=

=

>，

由

得1x a =，2x 1=，

当0a 1<<时，在()x 0,a ∈或()x 1,∞∈+时 ，

在()x a,1∈时

，

()f x ∴的单调增区间是()0,a 和()1,∞+，单调减区间是()a,1；

当a 1=时，在()x 0,∞∈+时

，

()f x ∴的单调增区间是()0,∞+；

当a 1>时，在()x 0,1∈或()x a,∞∈+时，

在()x 1,a ∈时

．

()f x ∴的单调增区间是()0,1和()a,∞+，单调减区间是()1,a ．

()2由()1可知()f x 在区间[]1,e 上只可能有极小值点， ()f x ∴在区间[]1,e 上的最大值在区间的端点处取到，

即有()()f 112a 10=-+≤且()()2

f e e 2a 1e 2a 0=-++≤，

解得2e 2e

a 2e 2

-≥-．

即实数a 的取值范围是2e 2e

a 2e 2

-≥-．

【点睛】

本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．

26．（1）22

162

x y +=；（2）2y x =-或2y x =-+.

【解析】 【分析】

（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a 2＝b 2+c 2，即可求椭圆C 的方程；

（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12x x +及12x x ?，结合弦的长度为

5即可求斜率k 的值，从而求得直线方程．

【详解】

解：（1）由椭圆()222210x y a b a b +=>>6

得6c =

，3b =. 由2

122223

S c b a =??==6a = 2b =22162x y +

=． （2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．

联立方程()22

2360

y k x x y ?=-?+-=?得()2222

13121260k x k x k +-+-=， 2212122212126

,1313k k x x x x k k -+==++.()

2

2122261113k AB k x x k

+=+-=+． 所以2

02

613k x k

=+，

点M 到直线1x =的距离为22

022

316111313k k d x k k

-=-=-=++． 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =

2

22

22AB d ???-= ? ????

，所以(

)

2

2

22

22213113132k k k k ?+????-?-= ? ? ?++???

????

?， 解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12x x +及12x x ?，代入弦长公式

AB =

，考查学生的计算能力，属于中档题．