(最新整理)2019重庆中考初三数学17,18,24,25题周末培优(含答案)

初三周末培优

1.春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B 礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C礼盒；丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒；丁套餐每袋装有3个A礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20%，一个乙和一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为25%，问一个丁套餐的利润率为．（利润率＝×100%）

2.某公司推出一款新产品，通过市场调研后，按三种颜色受欢迎的程度分别对A颜色、B颜色、C颜色的产品在成本的基础上分别加价40%，50%，60%出售（三种颜色产品的成本一样），经过一个季度的经营后，发现C颜色产品的销量占总销量的40%，三种颜色产品的总利润率为51.5%，第二个季度，公司决定对A 产品进行升级，升级后A产品的成本提高了25%，其销量提高了60%，利润率为原来的两倍；B产品的销量提高到与升级后的A产品的销量一样，C产品的销量比第一季度提高了50%，则第二个季度的总利润率为．

3.2018年3月全国两会政府工作报告进一步强调“房子是用来住的，不是用来炒的”定位，继续实行差别化调控．这一年被称为史上房地产调控政策最密集、最严厉的年份．因此，房地产开发公司为了环节年终资金周转和财务报表的压力，通常在年底大量促销．重庆某房地产开发公司一方面在“高层、洋房、别墅”三种业态的地产产品中作特价活动；另一方面，公司制定了销售刺激政策，对卖出特价的员工进行个人奖励：每卖出一套高层特价房奖励1万元，每卖出一套洋房特价房奖励2万元，每卖出一套别墅特价房奖励4万元．公司将销售人员分成三个小组，经统计，第一组平均每人售出6套高层特价房、4套洋房特价房、3

套别墅特价房；第二组平均每人售出2套高层特价房、2套洋房特价房、1套别墅特价房；第三组平均每人售出8套高层特价房、5套洋房特价房．这三组销售人员在此次活动中共获得奖励466万元，其中通过销售洋房特价房所获得的奖励为216万元，且第三组销售人员的人数不超过20人．则第三组销售人员的人数比第一组销售人员的人数多人．

4.小亮和小明在同一直线跑道AB上跑步，小亮从AB之间的C地出发，到达终点B地停止运动，小明从起点A地与小亮同时出发，到达B地休息20秒后立即以原速度的1.5倍返回C地并停止运动，在返途经过某地时小明的体力下降，并将速度降至3米/秒跑回终点C地，结果两人同时到达各自的终点．在跑步过程中，小亮和小明均保持匀速，两人距C地的路程和记为y（米），小亮跑步的时间记为x（秒），y与x 的函数关系如图所示，则小明在返途中体力下降并将速度降至3米/秒时，他距C地还有米．

5.松松和东东骑自行车分别从迎宾大道上相距9500米的A、B两地同时出发，相向而行，行驶一段时间后松松的自行车坏了，立刻停车并马上打电话通知东东，东东接到电话后立刻提速至原来的倍，碰到松松后用了5分钟修好了松松的自行车，修好车后东东立刻骑车以提速后的速度继续向终点A地前行，松松则留在原地整理工具，2分钟以后松松以原速向B走了3分钟后，发现东东的包在自己身上，马上掉头以原速的倍的速度回A地；在整个行驶过程中，松松和东东均保持匀速行驶（东东停车和打电话的时间忽略不计），两人相距的路程S（米）与松松出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，则东东到达A地时，松松与A地的距离为米．

6.某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前往救援，与故障渔船会合后马上熄火随渔船漂流（漂流方向与救援船航行方向一致），并立即对故障进行了8分钟的修理，然后立刻以另一速度返回港口，同时渔船沿直线往相反方向远离港口行驶，且渔船前进的速度是救援船前往救援速度的3倍．如图，O→B→C→E为救援船离港口的距离y（海里）与时间x（分钟）的函数图象，A→B→C→D为渔船离港口的距离y（海里）与时间x（分钟）的函数图象，其中A→B→C表示渔船在漂流过程中的变化规律，它是抛物线y＝ax2+k的部分图象．若救援船返程时间是前往救援时间的，则

7.已知，在?ABCD中，AB⊥AC，点E是AC上一点，连换BE，延长BE交AD于点F，BE＝CE．（1）如图1，当∠AEB＝60°，BF＝2时，求?ABCD的面积；

（2）如图2，点G是过点E且与BF垂直的直线上一点，连接GF，GC，FC，当GF＝GC时，求证：AB ＝2EG．

8.已知，等边△ABC和底角是30°的等腰△DFB且BF＝DF，按如图1所示的位置摆放，点F在线段BC 上，连接AD，点E是AD中点，连接EF．

（1）如图1，已知EF＝，求线段FC的长；

（2）将图1中的△DFB绕着点B顺时针旋转任意角度至如图2的位置时，连接CE．求证：CE⊥EF且CE＝EF

9.在平行四边形ABCD中，∠ABE＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H，交BF于点M．

（1）若BE＝3，AE＝，求△ABE的面积；

（2）若∠ABC＝3∠EBC．CA＝CB，求证：CM＝FG．

10.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．即已知三角形的三边长，求它的面积．

用现代式子表示即为s＝……①（其中a，b，c为三角形的三边长，s 为面积．）

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s＝…②（其中a，b，c为三角形的三边长，p＝）

（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，请在上述两种公式中选择一种你喜欢的公式，计算该三角形的面积；

（2）事实上，“三斜求积术”与海伦公式是等价的，可以由“三斜求积术”直接推导出海伦公式，其部分推导过程如下：

∵[a2b2﹣（）2]＝[4a2b2﹣（a2+b2﹣c2）2]

＝…

请将上述推导过程补充完整；

（3）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x，试利用海伦公式求△ABC的最大面积．

11.（《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：

利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．

例如，ab＝1求证：＝1

证明：原式＝＝＝1

波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．

阅读材料二：

基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．

例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？

解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴

当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．

请根据阅读材料解答下列问题：

（1）已知ab＝1，求下列各式的值：

＝；

②＝．

（2）若abc＝1，解方程＝1

（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．

12.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADE+S△ABE 得：（a+b）2＝2×ab+c2，化简得：a2+b2＝c2．

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝|b|，再在斜边AB上截取BD＝，则AD的长就是该方程的一个正根（如实例二图）．请根据以上阅读材料回答下面的问题：

（1）如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是，乙图要证明的数学公式是，体现的数学思想是；

（2）如图2，若2和﹣8是关于x的方程x2+ax＝b2的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长；

（3）若x，y，z都为正数，且x2+y2＝z2，请用构造图形的方法求的最大值．

13.寒冷冬季，泡温泉成了市民热衷的娱乐方式之一，渝北统景温泉风景区新增一个圆形的儿童蘑菇池以满足人们的亲子需求，为避免儿童蘑菇池对景区现有道路带来影响，最终决定将儿童蘑菇池修建在含有直角并与林荫小道所围成的直角三角形花园中．设计时，景区负责人表示希望儿童蘑菇池尽可能容纳更多小朋友，于是设计师决定让儿童蘑菇池与直角三角形花园的三边相切，得到如下设计图，并实地确定出D点位置，测量出AD＝30米，BD＝40米．通过查阅资料得知：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线所组成的夹角．

于是，设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE＝x，根据资料知：AE＝AD＝30，BF＝BD ＝40，CF＝CE＝x

根据勾股定理，得：（x+30）2+（x+40）2＝（30+40）2

整理得：x2+70x＝1200

所以S△ABC＝AC?BC＝（x+30）（x+40）＝（x2+70x+1200）＝1200

设计师发现，1200恰好就是30×40，即Rt△ABC的面积等于AD与BD的积！这仅仅是巧合吗？请你帮他完成下面的探索．

已知△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝a，BD＝b

（1）若∠C＝90°，求证：S△ABC═ab；

（2）当AC?BC＝2ab，求证：∠C＝90°；

（3）若∠C＝60°，用a、b表示△ABC的面积．

优生培优参考答案

1.【解答】解：设甲套餐的成本之和m元，则由题意得1800﹣m＝20%m，解得m＝1500（元）．

设每个A礼盒的成本为x元，每个B礼盒的成本为y元，每个C礼盒的成本为z元，由

题意得，

同时消去字母y和z，可得x＝40

所以y+z＝90

A礼盒的利润率为25%，可得其利润＝40×25%＝10元，因此一个A礼盒的售价＝40+10

＝50元．

设一个B礼盒的售价为a元，一个C礼盒的售价为b元，则可得15×50+10a+10b＝1800，

整理得a+b＝105（元）

所以一个丁套餐的售价＝3×50+4（a+b）＝150+420＝570（元）

一个丁套餐的成本＝3×40+4（y+z）＝120+360＝480（元）

因此一个丁套餐的利润率＝

故答案为18.75%

2.【解答】解：依题意得：三种产品原利润率分别为40%，50%，60%

设三种颜色产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为

z，得：

由②得：x+y＝z③

把③代入①整理得：x＝z，y＝z

第二季度时，A产品成本为：（1+25%）a＝a，B、C产品成本仍为a

A、B产品销售量为：（1+60%）x＝x，C产品销售量为：（1+50%）z＝z

A产品利润率变为80%，B、C产品利润率不变

∴总利润为：

总成本为：

∴总利润率为：＝＝64%

故答案为：64%

3.【解答】解：依题意列三元一次方程组：

化简①得18x+6y+8z＝250 ④

化简②得4x+2y+5z＝108 ⑤

由④﹣⑤得14x+4y+3z＝142 ⑥

由④×2﹣⑥×3得﹣6x+7z＝74 ⑦

即z+6（z﹣x）＝74

由z≤20得74﹣6（z﹣x）≤20

解得z﹣x≥9

故第三组销售人员的人数比第一组销售人员的人数多9人．

4.【解答】解：由图象可知，x＝0时，y＝100，即开始时小亮在C地小明在A地，两人相距100米

∴AC＝100

当x＝25时，y最小，即小明到达C地

∴小明开始速度为：100÷25＝4（米/秒），返回速度为4×1.5＝6（米/秒）

当x＝100时，小明到达B地

∴AB＝4×100＝400（米）

∴BC＝AB﹣AC＝300（米）

当y＝480最大时，小明休息完20秒，即x＝120

此时，小亮离C地距离为480﹣300＝180（米）

∴小亮速度为：180÷120＝（米/秒）

∴两人走完全程所用时间为：300÷＝200（秒）

∴小明返回C地所用时间为：200﹣120＝80（秒）

设小明返回时在a秒时速度下降到3米/秒，列方程得：

6a+3（80﹣a）＝300

解得：a＝20

此时离C地距离为：3×（80﹣20）＝180（米）

故答案为：180

5.【解答】解：由题意：14分钟两人走了9500﹣1800＝7700米（图中两人分别到了C，D）

∴两人的速度和为550米/分钟，

提速后东东的速度为800÷2＝400米/分钟，

∴东东原来的速度＝400÷＝300米/分钟，

∴松松的速度为250米/分钟，

∴AC＝250×14＝3500米，BD＝14×300＝4200米，

设2分钟以后松松以原速向B走了3分钟到达点G，

∴修好车后东东到达A是时间为：＝8.75分钟，此时松松到达点H，

∴东东到达A地时，松松与A地的距离HG＝AC+CG﹣HG＝3500+3×250﹣（8.75﹣2﹣3）

×250×＝2750米．

故答案为2750．

6.【解答】解：由题意得：k＝12，C的横坐标为t+8，

∵救援船返程时间是前往救援时间的，

∴（2t+24）﹣（t+8）＝t，

t＝32，

∴B（32，16），

把B（32，16）代入y＝ax2+k中得：

32×32a+12＝16，

a＝，

∴y＝x2+12，

当x＝32+8＝40时，y＝，

救援船的速度是：＝

渔船救援后的速度为：＝，

∴[（2t+24）﹣（t+8）]×+，

＝90.25，

答：则当救援船返回港口时，渔船与港口的距离是90.25海里．

故答案为：90.25海里．

7.【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠EAF＝∠ECB，∠AFE＝

∠EBC，

∵EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB，

∴∠EAF＝∠EF A，

∴EA＝EF，

∴AC＝BF＝2，

∵∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝60°，∴∠ACB＝∠ECB＝30°，

∴AB＝AC?tan30°＝，

∴S平行四边形ABCD＝AB?AC ＝．（2）证明：如图2中，作GH⊥CF 于H．

∵CA＝BF，∠ACB＝∠FBC＝30°，BC＝CB，

∴△ACB≌△FBC（SAS），

∴∠BFC＝∠BAC＝90°，AB＝CF，

∵GE⊥BF，GH⊥CF，

∴∠GEF＝∠EFH＝∠GHF＝90°，

∴四边形EFHG是矩形，

∴EG＝FH，

∵GE＝GC，GH⊥CF，

∴FH＝HC，

∴CF＝2EG，

∴AB＝2EG．

8.【解答】（1）解：如图1中，延长DF交AB

于点M，延长FE交AC于点N．

∵FB＝FD，

∴∠FBD＝∠FDB＝30°，

∴∠MFB＝∠FBD+∠FDB＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠C＝60°，

∴∠MFB＝∠MBF＝60°，

∴BM＝BF，

∴△BMF是等边三角形，∵AE＝ED，

∴EF∥AB，

∴∠NFC＝∠MBF＝60°，

∴△NFC是等边三角形，

∴CF＝NF，

∵∠MFB＝∠C＝60°，

∴DF∥AN，

∴∠EDF＝∠EAN，∵AE＝ED，∠FED＝∠AEN，

∴△AEN≌△DEF（ASA），

∴EF＝EN ＝，

∴FN＝3，

∴CF＝FN＝3．

（2）证明：如图2中，延长DF 交CA的延长线于M，延长FE到K，使得EK＝EF，连接AK，CK，CF，在FM上截取FN＝DF，连接BN．

∵FB＝FD＝FN，

∴∠DBN＝90°，

∵∠DBF＝30°，

∴∠FBN＝60°，

∴△FBN是等边三角形，

∴BN＝BF，

∵∠ABC＝∠NBF＝60°，

∴∠ABN＝∠CBF，∵AB＝BC，∴△ABN≌△CBF（SAS），

∴AN＝CF，

∵FN＝DF，AE＝ED，∴EF∥AN，AN＝2EF，

∵EF＝FK，

∴AN＝FK，AN∥FK，

∴四边形ANFK是平行四边形，∴AK∥DM，AK＝FN＝BN，

∴∠CAK＝∠M，

∵∠AOM＝∠BON，∠OAM＝∠BNO＝120°，

∴∠M＝∠OBN，

∴∠ABN＝∠CAK，∵AB＝AC，∴△ABN≌△CAK（SAS），

∴AN＝CK，

∴CF＝CK＝FK，

∴△CFK是等边三角形，∠CFE ＝60°

∵EF＝FK，

∴CE⊥FK，

∵∠EFC＝60°，

∴tan∠CFE ＝＝，

∴EC ＝EF，EC⊥EF．

9.【解答】解：（1）过E作EN⊥AB于N，

∵∠ABE＝45°，

∴△BEN是等腰直角三角形，

∴BN＝EN ＝BE＝3，

∵AE ＝，

∴AN ＝＝1，

∴AB＝4，

∴△ABE 的面积＝×4×3＝6；

（2）∵∠ABE＝45°，∠ABC＝

3∠EBC，

∴∠ABC＝67.5°，

∵CA＝CB，CH⊥AB，

∴∠CAB＝∠CBA＝67.5°，∠BCH

＝∠ACH＝22.5°，

∴∠CME＝∠BMH＝∠MBH＝

45°，

∴∠CEM＝112.5°，∴CD∥AB，

∴∠FDG＝∠BAD＝112.5°，∠GFD＝∠EBA＝45°，

∴∠GFD＝∠CME，∠FDG＝∠MEC，

∵∠BCM＝∠CBM＝22.5°，∴CM＝BM，

∵∠BEA＝∠EAB＝67.5°，

∴BE＝AB，

∴BE＝CD，

在等腰直角三角形CMF中，∵∠CMF＝∠AFM＝45°，

∴CM＝CF，

∴BM＝CF，

∴EM＝DF，

在△MEC与△FDG

中，

，

∴△MEC≌△FDG（ASA），

10.【解答】（1）由题意，得a＝5，b＝7，c＝8，

∴p＝，

∴△ABC面积＝．

（2）∵s2＝）]＝

＝

＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），

∴s＝；

（3）由旋转性质得AC＝MA＝1，BC＝BN＝3﹣x，AB＝x，p＝2，

代入海伦公式，得△ABC的面积＝，

∴当x＝时，△ABC的面积最大，为．

11.【解答】解：（1）①∵ab＝1

∴a＝

∴原式＝+＝+＝1

故答案为：1

②∵ab＝1

∴a＝

原式＝+＝1

故答案为：1

（2）∵＝1，且abc＝1，

∴+

＝1

5x＝1

x＝

（3）∵正数a、b满足ab＝1

∴b＝，a＞0，b＞0，

∴a+＝（﹣）2+2≥2

∵M＝＝＝＝1﹣

∴当a+＝2时，M的值最小，

∴M最小值＝1﹣＝2﹣2

12.【解答】解：（1）如图1中，图甲大正方形的面积＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，

图乙中大正方形的面积＝a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），

即a2﹣b2＝（a﹣b）（a﹣b+2b）＝（a+b）（a﹣b）．

甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的数学公式是平方差公式，体现的

数学思想是数形结合的思想．

故答案为：完全平方公式，平方差公式，数形结合的思想．

（2）如图2中，作CH⊥AB于H．

由题意，AD＝2，BC＝BD＝3，AC＝4，

∵?AC?BC＝?AB?CH，

∴CH＝，

∴BH＝＝，

∴DH＝BD﹣BH＝，

∴CD＝＝．

（3）如图3中，用4个全等的直角三角形（直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正

方形．

当x+y是定值时，z最小的时候，定值最小，

易知当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时x＝y，z＝x，

∴最大值＝＝．

13.【解答】（1）证明：如图1中，

∵△ABC的内切圆分别与AC、BC、AB相切于点E、F、D，设CE＝x．

根据资料知：AE＝AD＝a，BF＝BD＝b，CF＝CE＝x

根据勾股定理，得：（x+a）2+（x+b）2＝（a+b）2

整理得：x2+（a+b）x＝ab，

所以S△ABC＝AC?BC＝（x+a）（x+b）＝[x2+（a+b）x+ab]＝ab．

（2）证明：如图1中，∵△ABC的内切圆分别与AC、BC、AB相切于点E、F、D，

设CE＝x．

根据资料知：AE＝AD＝a，BF＝BD＝b，CF＝CE＝x

∵（a+x）（b+x）＝2ab，

∴（a+b）x+x2＝ab，

∴（x+a）2+（x+b）2＝2x2+2（a+b）x+a2+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°

（3）如图2中，作BH⊥AC于H．

∵△ABC的内切圆分别与AC、BC、AB相切于点E、F、D，设CE＝x．根据资料知：AE＝AD＝a，BF＝BD＝b，CF＝CE＝x

∵∠C＝60°，∠BHC＝90°，

∴CH＝，BH＝（b+x），

∵BH2＝AB2﹣AH2＝BC2﹣CH2，

∴（a+b）2﹣（a+x﹣）2＝（b+x）2﹣[（b+x）2，

整理得：x2+bx+ax＝3ab，

∴S△ABC＝（a+x）?（b+x）＝（x2+ax+bx+ab）＝ab．