反证法在不等式证明中的应用

反证法在不等式证明中的应用

反证法也叫归谬法，其证明步骤可概括为“否定――推理――否定――肯定”四个部分. 关键是第二步，即由“暂时假设”推出矛盾.那么怎样才能导出矛盾呢？通常有以下几种情形：或与公理矛盾、或与定义矛盾、或与定理矛盾、或与已知条件矛盾、或与“暂时假设”矛盾、或与显然的事实矛盾、或自相矛盾等.

一命题结论为“至多”“至少”的形式，宜用反证法

例1 实数[a，b，c，d]满足[a+b=c+d=1]，[ac+bd>1].求证：[a，b，c，d]中至少有一个是负数.

证法1 假设[a，b，c，d]都是非负数，

∵[a+b=c+d=1]，

∴[a，b，c，d]∈[0，1]，∴[ac，bd]∈[0，1].

∴[ac≤ac≤a+c2]，[bd≤bd≤b+d2].

∴[ac+bd≤a+c+b+d2]= 1，这与已知[ac+bd>1]矛盾.

∴[a，b，c，d]中至少有一个是负数.

证法2 假设[a，b，c，d]都是非负数，则[（a+b）（c+d）=][（ac+bd）+（ad+bc）≥ac+bd].

∵[a+b=c+d=1]，∴[（a+b）（c+d）=1].

∴[ac+bd≤1]，这与已知[ac+bd>1]矛盾.

∴[a，b，c，d]中至少有一个是负数.

例2 已知[f（x）=x2+ax+b]，

求证：[|f（1）|，|f（2）|，][|f（3）|]中至少有一个不小于[12].

证明假设[|f（1）|，|f（2）|，][|f（3）|]都小于[12]，

则[|f（1）|+2|f（2）|+][|f（3）|]0，b>0]，且[a+b>2]，

求证：[1+ba]与[1+ab]中至少有一个小于2.

证明设[1+ba]与[1+ab]都不小于2，即[1+ba]≥2，[1+ab]≥2，

∵[a>0，b>0]，

∴[1+b≥2a]，[1+a≥2b]，

将两式相加得[1+b+1+a≥2a+2b]，

∴[a+b≤2]，这与已知矛盾，∴假设不成立.

∴[1+ba]与[1+ab]中至少有一个小于2.

二、命题结论呈“都是”“都不是”形式，宜用反证法

例4 已知[a+b+c>0]，[ab+bc+ca>0]，[abc>0]，

求证：[a>0，b>0，c>0].

证明（1）假设[a0]知，[bc0]知，[b+c>-a>0.]

于是[ab+bc+ca=a（b+c）+bc0]矛盾.

∴[a>0]. 同理可证[b>0，c>0.]

例5 设实数a0，a1，a2，…，an-1，an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2 ≥0，a1-2a2+a3 ≥0，…，an-2-2an-1+an ≥0.

试证明：ak ≤0（k=1，2，3，…，n-1）.

证明假设ak（k=1，2，3，…，n-1）中至少存在一个正数且ai是序列a0，a1，a2，…，an-1中第一个出现的正数，则a1 ≤0，a2 ≤0，…，ai-1 ≤0，ai>0，从而ai-ai-1>0.

据题设ak+1-ak ≥ak-ak-1（k=1，2，3，…，n-1），故从k=i起有an-an-1 ≥an-1-an-2 ≥…≥ai-ai-1>0.

于是有an>an-1>…>ai+1>ai>0，这与an=0矛盾，

故ak ≤0（k=1，2，3，…，n-1）.

三、已知命题的逆命题是正确的，宜用反证法

例6 已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R.

（1）证明：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f （-b）；

（2）证明：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b ≥0.

证明（1）∵a+b≥0，∴a≥-b，b≥-a.

∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，

∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）.

∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

（2）假设a+bb>0，n∈N且n≥2.求证：[an>bn]. 证明假设[an≤bn]，由于a>b>0，

∴[an>0]，[bn]>0，则[（an）n≤（bn）n]，即a≤b.

这与已知条件a>b>0矛盾，故[an>bn]成立.

四、在证明的方法上用直接法较困难，或在证明的方向上从结论的反面着手较易的命题，宜用反证法

例8 如果正实数a，b满足ab=ba，且ab或ab时，由于1>a>b>0，可得ab>bb（幂函数的单调性），bb>ba（指数函数的单调性），

由不等式的传递性得ab>ba，这与已知ab=ba矛盾.

（2）当b>a时，由b>a>0，aaa（幂函数的单调性），aa>ab（指数函数的单调性），

所以ba>ab，与已知ab=ba矛盾.

综上可得a=b.

例9 已知f（x）=[（cosαsinβ）x+（cosβsinα）x]，且x2.

求证：[α+β>π2].

证明假设00，

01且x2矛盾，

故α+β>[π2].

利用反证法证明不等式应注意以下几点：（1）用反证法证明不等式必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的结论；（2）反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条

件，且必须根据这一条件进行推证；（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等，推导出的矛盾必须是明显的.