2矩阵典型习题解析汇总

2 矩阵

矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!

2.1 知识要点解析

2.1.1 矩阵的概念

1．矩阵的定义

由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表

??

??

?

?

?

??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211

称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵

（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；

（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）

三角阵；

（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；

（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设m n ij m n ij b B a A )(;

)(==

若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。

2.1.2 矩阵的运算

1．加法

（1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则m n ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律

① A+B=B+A ；

②（A+B ）+C =A +（B+C ）

③ A+O=A

④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵

2．数与矩阵的乘法

（1）定义：设,)(m n ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA ,

③ (KL ) A = K (LA )

3．矩阵的乘法

（1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则

,)(mp ij C C AB ==其中∑==

n

k kj

ik ij b a

C 1

（2）运算规律

①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂

①定义：A n ij a )(=，则K

k A A A =

②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。

①BA AB ≠

②;00,0===B A AB 或不能推出

③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置

（1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A

的转置，记为nm a A ji T )(=，

（2）运算规律

①;)(A A T T = ②T T T B A B A +=+)(； ③;)(T T KA kA =

④T T T A B AB =)(。

（3）对称矩阵与反对称矩阵

若,A A T =则称A 为对称阵；

A A T -=，则称A 为反对称阵。

5．逆矩阵

（1）定义：设A 为n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得AB=BA=E ，

则称A 为可逆阵，B 为A 的逆矩阵，记作1-=A B 。

（2）A 可逆的元素条件：

A 可逆0≠?A

（3）可逆阵的性质

①若A 可逆，则A -1也可逆，且(A -1)-1 =A ； ②若A 可逆，k ≠0，则kA 可逆，且1

11)(--=

A k

kA ； ③若A 可逆，则A T 也可逆，且T T A A )()(11--=； ④若A ，B 均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB 。 （4）伴随矩阵

①定义：T n ij A A )(*=，其中ij A 为ij a 的代数余子式， ②性质：

i ）E A A A AA ==**； ii ）1

*-=n A A ；

iii ）A A

A n 2

**)(-=；

iv ）若A 可逆，则*A 也可逆，且A A

A A 1)()(*11*==-- ③用伴随矩阵求逆矩阵公式：*

11A A

A =

- 2.1.3 方阵的行列式

1．定义：由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式（各元素的位置不变）叫

做方阵A 的行列式，记为A 或detA 。

2．性质：

（1）A A T =，

（2）A k kA n =，

（3）B A AB =， （4）A

A 11=

- 3．特殊矩阵的行列式及逆矩阵

(1) 单位阵E ：E E E ==-1;

1；

(2) 数量矩阵kE ：;n k kE =当E k

kE k 1)(,01=≠-时 (3)对角阵：

;,*

212

1n n λλλλλλ

=Λ??????

?

?

?=Λ则

若021≠n λλλ ，则???

?

?????

?

?

?=Λ-n λλλ11

12

11

4． 上（下）三角阵

设nn nn a a a A a a a A

221122

11

,*

=????

???

?

?=则 若0≠A ，则1-A 仍为上（下）三角阵

2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

1．矩阵的初等变换 （1）定义：以下三种变换

①交换两行（列）；

②某行（列）乘一个不为零的常数k ；

③某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。

2．初等矩阵

（1）定义：将n 阶单位阵E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；

交换i ,j 两行（列），记为E (i, j )；

第i 行（列）乘以不为零的常数k 记为E(i(k))；

第j 行的k 倍加到第i 行上去，记为E(j(k)i ； （2）初等矩阵的性质

初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵； 而)1())](([)

()]([11??

?

??==--k i E k i E ij E ij E

] )([)] )(([1i k j E i k j E -=-

（3）方阵A 可逆与初等阵的关系

若方阵A 可逆，则存在有限个初等阵t P P P ,,,21 ，使t P P P A 21=，

（4）初等阵的行列式

1) )((,

))((,

1)(==-=i k j E k k i E ij E

（5）初等阵的作用：

对矩阵A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A ，且

A i k j E A k A k i E A A ij E ==-=) )((,

))((,

)(

3．矩阵的等价

（1）定义：若矩阵A 经过有限次初等变换变到矩阵B ，则称A 与B 等价， （2）A 与B 等价的三种等价说法，

①A 经过一系列初等变换变到B ；

②存在一些初等阵t s F F E E ,,,,,11 ，使得B F AF E E t s = 11 ③存在可逆阵P ，Q ，使得PAQ=B

2.1.5 分块矩阵

1．分块矩阵的定义

以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2．分块矩阵的运算

（1）设A ，B 为同型矩阵，采用相同的分法有

??

?

?

?

?

?

??=??

??

?

?

?

??=st s t t st s t t B B B B B B B A A A A A A A

1

221

111

1

221

111

则

),,2,1;,,2,1()

(t j s i B A B A ij ij ==+=+

（2）),,2,1;,,2,1()

(t j s i kA kA ij ===

（3）设,)(,)(np ij m n ij b B a A ==分块成

?

????

??=?

?

?

?? ??=tr t r st s t B B B B B A A A A A 1

1111

111 其中it i i A A A ,,,21 的列数分别等于tj j j B B B ,,,21 的行数，则

sr ij c C AB )(==，其中∑====

t

k kj ik ij s i

B A

c 1

)r ,1,2,j ;,,3,2,1(

3．准对角阵 （1）定义：形如

????

??

?

?

?=s A A A A

2

1

A i 为n i 阶方阵的矩阵称为准对角阵。 （2）准对角阵的行列式及逆矩阵

设????

??

?

?

?=s A A A A

2

1

，则s A A A A 21=；若每个A i 可逆，则A 可逆，且

??

????

? ?

?=----11

2

1

11

s A A A A

（3）特殊的准对角阵

（i ）????

??=21

A A A ，若A 1, A 2可逆，则???

?

??=---12111

A A A （ii ）???? ??

=2

1A

A A ，若A 1, A 2可逆，则???

? ??=---1

1

12

1

A A A （iii ）?

??

?

??=C O D B A 是0,0,0≠=≠≠C B A C B 则

且

???

?

?

?-=-----1111

1

C DC B B A （iv ）0,0,0≠≠???

?

??=C B C D B A ，则 ???

?

??-=-----11111

0C DB C B A

2.2 经典题型解析

2.2.1 矩阵的运算

1、若112212521

21=11231c c c b

??

??

?? ?= ?

? ?--???? ?-??

则c = 解：由415a +-=得a =0, 11c =4 而-1+2b +6=-1得b =-3, 22c =-7

从而 c 45=17??

?--??

提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。

2、设A 为三阶矩阵，且4,A =则____.A =2

1（）2

解：3

22111

444A A A ??=== ???

21（）2

易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错

误就是对矩阵进行行列式计算时，把A 2

1（）2

的阶数给忘记计算。 3、设A 为3?3矩阵，B 为4?4，且12A B ==-，，则___.B A = 解：()3

218.B A B A ==-=-

易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时

()3

212B A B A ==-=-是我们常犯的错误。

4、设()()12

3111A B ==，，

则()___.k

T A B = 解：()()()()()()()k

T T T T T T T T A B A B A B A B A BA BA BA B =???=???

()1111116211

6222.3333k k --??

??

?

?

== ? ? ? ???

??

易错提示：本题关键是要求我们注意到T A B 是矩阵，但()111123T BA ??

?

? ???

==6

却是数，

倘若先计算111222333T A B ?? ?= ? ???，然后再求111222333?? ?

? ???

k

，则计算式相当繁琐的。

5、设101010001A ??

?

= ? ???

，求()n A .

解：

方法一：数学归纳法.

因为101010001A ?? ?= ? ???，2102010001A A A ??

?

== ? ???

，

32103010001A A A ?? ?

== ? ???

，

一般的，设101010001n A -??

?

= ? ???

n-1，

则1

10110110010010010001001001n n n A A A --??????

??? ?=== ??? ? ??? ???????

n .

所以，有归纳法知10010001n A ?? ?

= ? ???

n 。

方法二：因为A 是初等矩阵，A

n A E A A A =???个n ，相当于对单位矩阵

100010001E ??

?

? ???=，施行了n 次初等列变换（把第一列加到第三列），故10010001n A ?? ?= ? ???

n 。

方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。

令 1011000

010100100

00001001000A E B ?????? ? ?

?

=+=+ ? ? ? ? ? ??????

?

=， 其中0010

00000B ??

?= ? ??

?， 又因为20

010

010

000

000000

00000

000

0B ??????

??? ?

== ??? ? ??? ??

?????

，所以(2)k B O k =≥。 故有 110010001n n n E n E B E nB -?? ?

=+=+= ? ???

n A .

提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少，读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。

6、设矩阵308316205A ??

?

= ? ?-??

，求100502A A -。

解：A 的特征多项式2308

()316(1)(1)205

f E A λλλλλλλ--=-=---=-+-，

则()f λ有根1，-1（二重）。

若设100502λλλ-g()=，那么所求100502A A A -=g()， 而

49100100d d λλλλ

=-g()

， 由代数学中的整除性质，2()f a b c λλλλλλ?+++q(),st g()=q()，

(1)2(1)12,

f a b c a b c f a b c a b c d a b d λλλ?

??+++=++?-=-+-+=-+???=-=-+?

1005010050

-1=1-21=g(1)=q(1)，-1=（-1）（

-1）q(-1)，g()0=-100+100=（） 解之得：a =b=0,c=-1。

所以，()1f λλλ-g()=q()，从而100502()A A A A f A E E -=-=-g()=q()。 点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习惯。

7、设????

??

?

?

?=31

0093000020

0012

A ，求n A 。 解：由分块矩阵知????

??=C B A 00，其中???? ??=2012B ，???

?

??=3193C ∴ ???

? ??=n n

n

C B A 0

0 又 P E B +=????

??+???? ??=200102002

∴ ()P E n E P E B n n n n 1)2()2(2-+=+=

???

?

?

?=-n n n

n 20

221 而???? ??3193的秩为1，有???

? ??=???? ??-3193631931n n

从而??

??

??

?

?

?????=-----11

1116360

06963000020

0022n n n n n n n n n A

2.2.2 矩阵的逆（逆矩阵）及其运用

1、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，18A =，计算*183

A A --1（） 解：因为*11

18

A A A A --==

，所以*111311

8322643A A A A A A

----=-===-1（）。 易错提示：切记将2提出时应为k 2，其中k 为该矩阵的阶数。 2、已知矩阵A 满足关系式223A A E O +-=，求()4A E +-1

。 解：因为()()223O A A E A E A E E E =+-=+4-2+8-3

()()()2

14545

5A E E A E E A E ???+=-?+-= ???A-2E ，

()21

4.55

A E E A ?+=

--1

思路提示：遇到有关此类问题时，我们首先应想到的是把所求问题的因式给分解出来，那么问题就会变得容易多了。

3、设n 阶可逆矩阵()12,,n A ααα=???，i α为n 维列向量（i=1,2,…n ）, β为n 维非零列向量，且与121,,n ααα-???均正交， 则()121,,,n B αααβ-=???可逆。

解：要证明矩阵B 可逆，我们这里只需要证明向量组121,,,n αααβ-???线性无关

即可。

为此，我们令：

122110n n n k k k αααβ--++???++=1k ， 两边同乘以T β，即

1221

10T T

T

T n n n k k k βαβαβαββ-

-

++???++=1k ，

0T i βα=，（i=1,2,…n-1）且0T ββ≠

0T n k ββ∴=

我们可以得出0n k =，那么即得：122110T T T n n k k βαβαβα--++???+=1k ， 又A 是可逆矩阵，

∴ 121,,n ααα-???线性无关。

从而我们有2n k k ???1k ====0，即证明了121,,,n αααβ-???线性无关， 同时也就说明了矩阵()121,,,n B αααβ-=???是可逆矩阵。

思路提示：对于这某矩阵时可逆矩阵的方法也算不少，这里我们不妨预先前所熟悉的线性方程组来建立联系。这就要求我们对与矩阵与线性方程组建的关系要特别的熟悉与掌握，这对于今后解线性方程组也会只很有帮助的。事实上，对于m ?n 矩阵A ，我们可以把其每一列看作一列向量（记为12,,n ααα???），则A =（12,,n ααα???），这就很形象的转化为线性方程组问题了，而A =（12,,n ααα???）可逆?向量组12,,n ααα???线性无关。

4、设A 为n 阶实矩阵，若A +T A 为正定矩阵，则A 为可逆矩阵。 证明：用反证法

假设A 为不可逆矩阵，

则?n 维列向量00X ≠，使得00AX =，

而对于0000000000()()T T X A A X X AX X A X X AX AX X =+=+T

T T T T （+）

00000T X X +=T =，

从而我们知存在00X ≠，使得000T X A A X +=T （），

但这与A +T A 为正定矩阵相矛盾，从而假设不成立，

这也就说明了A 为可逆矩阵。

点评：对于一些证明题，当我们感觉无处下手之时，不妨尝试一下反证法，很

多时候反证法也未尝不是条光明道路。对于如何说明矩阵A 是正定矩阵，我们应掌握以下几个等价定理：

(1)定义法（最基本，也较常用，本题就是利用次方法来证明出矛盾来的的）；

(2)来说明A 的所有特征值全部都大于零；

(3)来说明A 的所有顺序主子式都大于零（这种方法再给出具体的矩阵表

达形式时较常用）;

(4)存在可逆矩阵P ，使得A =T P P ; (5)存在正交矩阵S ，使得A =2S ;

(6)存在正交矩阵Q ，使得100n A A λλ??

?

=

? ??

?

T -1Q Q Q Q=，0(1,2,)i i n λ>=???。

5、已知二次型22

23121323()43448f x x x x x x x x =-+-+123x ,x ,x ，

(1)写出该二次型的矩阵表达式；

(2)用正交矩阵的方法把该二次型化为标准性，并写出对应的正交矩阵。 解：

（1）f 的矩阵表达式为

1123022()()244243x f x x x x x x x x -??

?? ?

?= ? ? ? ?--????

23123 ,,,,；

（2）由（1）得知该二次型的矩阵为

022244243A -??

?

= ? ?--??

，

A 的特征方程为

22

244(1)66243E A λλλλλλλ--=---=--+-+()()=0， 由此可得出A 的特征值：123166λλλ===-，，，对应的特征向量为

123211051122ααα?????? ?

? ?- ? ? ? ? ? ?-??????

=，=，=。 对应的单位特征向量为：

120βββ?

??

??

? === ? ?

? ??

?3，，。

因此可得正交矩阵 (

)123,,0

Q βββ??

?

?

== ?

?

?

?

， 那么对二次型f 做正交变换X QY =，则该二次型就可以化为标准型

222

123()66f y y y =+-123x ,x ,x 。

点评：化二次行为标准形式二次型矩阵最常见的一种题型 ，在研究生入学考试中也是个重要的考察知识点，但题目一般难度不大，解答事业都有固定的模式，但它却要求我们必须仔细对待，切不可有所懈怠。 6、二次曲面S 在空间直角坐标系中的方程为 22448410y z xy xz yz ++----=2x ，

做直角坐标变换，把它化成标准方程，并且指出S 是什么样的二次曲面？ 解：首先把方程左端的二次项部分

224484x y z x y z xy xz yz

++---*2f(,,)=（）

经正交变换化成标准型。而二次型矩阵A 为

124242421A --??

?

-- ? ?--??

=，

同时，根据上题知，我们可以找到正交矩阵T

=2515313203

3?? ? ? ? ? ? ?- ? ??

?

， 使得500050004T AT ?? ?

= ? ?-??

-1。于是我们做正交变换

x u y T v z w ???? ? ?=? ? ? ? ?????

（）

则，可以把原而次型（*）化成下述的标准型：

f x y z 222

(,,)=5u +5v -4w

， 因此，这里我们只需要做直角变换（?），原二次曲面在新坐标系中的方程是

1=222

5u

+5v -4w 。 并且，由此方程我们可以看出，S 是单叶双曲面。

点评：通过正交变换把二次曲面方程化为标准方程是矩阵在几何上的一个重要的应用；除此方法之外，有时我们还可以用配方法来代替正交变换法对二次曲面方程进行化简，坐标变换，从而得到其标准方程。