2018年高考模拟试卷数学卷
2018年高考模拟试卷数学卷
本试卷分为选择题和非选择题两部分。考试时间120分种。请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。
选择题部分(共40分)
一.选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. (原创)已知集合}065{2<+-=x x x A ,}044{2>+-=y y y B ,则=B A C U )(( ) A.
),3[]2,(+∞-∞ B.),3[)2,(+∞-∞ C.φ D.),3()2,(+∞-∞
(命题意图:考查集合的基本运算)
2. (原创)已知直线02:1=-+y ax l 与02)2(:2=-+-ay x a l 垂直,则=a ( ) A.1 B.0 C.1或0 D.-1或0
(命题意图:考察两直线的位置关系)
3.(原创)已知??
?
??≥≤+≥0
1x y x x
y ,则12++=y x z 的最小值为 ( )
A.
21 B.53 C.1 D.3
5 (命题意图:考察线性规划)
4.(原创)已知)(x f 的导函数)('
x f 的图像如图所示,则有( ) A.)(x f 有最小值,无最大值 B.)(x f 有1个极大值,2个极小值 C.)(x f 无极值 D.)(x f 无最值
(命题意图:考察导数与函数的关系)
5.(根据17年浙江高考第5题改编)若函数,sin cos )(2
b x a x x f ++=在区间??
?
???2,0π上的最大值为M,最小值为m,则M-m 的值( )
A.与a 有关,且与b 有关
B.与a 有关,但与b 无关
C.与a 无关,但与b 有关
D.与a 无关,且与b 无关 (命题意图:考察二次函数的最值)
6.(原创)下列命题中真命题的个数为( )
x
y
(1)若点b 为)(x f 的极值点,则必有)('
b f =0的逆命题
(2)若0122
>++ax ax 的解为R ,则10< (3)过一个平面内的任意一点作交线的垂线,则此直线必垂直于另一个平面 (4)平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (命题意图:考查命题、极值点的概念、空间直线平面的位置关系) 7.(原创))ln()(2 c bx ax x f ++=的部分图像如图所示,则 =+-c b a ( ) A.-1 B.1 C.-5 D.5 (命题意图:考察对数的运算及性质) 8.(原创)已知抛物线)0(22 >=p px y 与双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 有相同的焦点2F ,点P 是 两曲线的一个交点,且5 7 2 1= PF PF ,其中21,F F 分别为双曲线的左右焦点,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.x y 3±= B.x y 4 2 ± = C.x y 3±=或者x y 22±= D.x y 33± =或者x y 4 2±= (命题意图:考察双曲线、抛物线的定义及双曲线的渐近线方程) 9.(根据18年浙江省普通高校招生考试模拟卷五第15题改编)已知单位向量→ 1e 、→ 2e 满足2 1 21= ?→ →e e ,若→→-p e 1与→→ -p e 212的夹角为3 π ,则→p 的取值范围为( ) A. [)+∞,0 B.)13,13( +- C.[)13,0+ D.[) 13,0- (命题意图:考察平面向量的运算) 10. (根据18年浙江省普通高校招生考试模拟卷二第10题改编)如图,矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,将ADC ?沿对角线AC 翻折至C AD ' ?,使顶点'D 在平面ABC 的投影O 恰好落在边BC 上,连结'BD ,设二面角 C AB D --',B AC D --',C AD B --'的大小分别为γβα,,,则有 ( ) A.γβα=+ B.γβα>+ C.γβα<+ D.βγα<+ (命题意图:考察空间几何二面角的计算) 非选择题部分(共110分) 二、填空题(本大题共7小题,第11-14题,每小题6分,15-17题每小题4分,共36分) 11.(原创)已知复数i z i -=+3)1(,则=z ,→ z 的虚部为 (命题意图:考查复数概念及其基本运算) 12.(原创)已知某个三棱锥的三视图如右图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的表面积为 ,体积为 . (命题意图:考查三视图、几何体表面积和体积的计算) 13(原创)已知数列}{n a 是等比数列,n S 为其前n 项和,若 43=S ,126=S ,则=q ,=12S (命题意图:等比数列的性质) 14.(原创)已知32 )1()11(x x a ++ 的各项系数之和为64,则=a ,2x 的系数为 (命题意图:考查二项式定理及二项式系数的性质) 15.(原创)四个不同球放入四个不同的盒子中,每个盒子中都允许不放球.若记ξ为有球的盒子数,则=ξE . (命题意图:考查概率及期望) 16.(17年天津高考卷改编)已知)(x f 为定义在R 上的奇函数,且)(x f 在R 上单调递增, )()(x xf x g =,则不等式)43()2(2 -<-x g x x g 的解集为 (命题意图:考察求导、函数单调性、解不等式) 17.(根据自三维设计不等式中练习题改编)已知R c b a ∈,,,若1cos sin 2 ≤++c x b x a 对R x ∈恒成立,则b x a +cos 的最大值为 正视 2 俯视 (命题意图:考察绝对值不等式) 三、解答题:(本大题共5小题,共74分) 18.(原创)(本题满分 14分)已知 )sin cos ,sin 32(x x x a -=→ , )sin cos ,(cos x x x b +=→ ,→ →?=b a x f )( (1) 求()x f 的最小正周期和单调递增区间 (2) 已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,)(x f 在角 2 A 处取到最大值,其中7=a ,14 3 13sin sin = +C B ,求c b -的值 (命题意图:考查向量的坐标运算、三角函数的性质、正弦定理、余弦定理) 19. (2018年浙江教育绿色评价联盟第19题)(15分)在矩形ABCD 中,E 、F 分别为AB 、BC 边的中点,现将AED ?、BEF ?分别沿DE 、EF 折起,使A 、B 两点重合与点P ,连接PC,已知2= AB ,BC=2 (1)证:DF ⊥平面PEF (2)求直线PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值 (命题意图:考查空间几何中的线、面关系、空间角) 20.(2017·全国卷Ⅰ)(15分)已知函数f (x )=a e 2x +(a -2)e x -x . (1)讨论f (x )的单调性; (2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围. (命题意图:函数、导数、零点及分类讨论问题) 21.(2017·嘉兴模拟)(15分)设椭圆x2a2+y23=1(a >3)的右焦点为F ,右顶点为A .已知1|OF|+ 1 |OA|= 3e |FA| ,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ,且∠MOA ≤∠MAO ,求直线l 的斜率的取值范围. (命题意图:考查求椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系) 22. (2018年浙江教育绿色评价联盟第19题)(15分)已知正项等比数列{}n a 满足101< )(1 sin 1*+∈+= N n a a a n n n (1)求证:11<<+n n a a (2)设n S 是数列 {}n a 的前n 项和,求证:12- n (命题意图:考察数列不等式) 2018年高考模拟试卷 参考答案及评分标准 数学卷 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 二、填空题(本大题共7小题,第11-14题,每小题6分,15-17题每小题4分,共36分) 11. 5 ; 2 12. 74434++; 3 3 8 13. 3 12 ; 60 14. 2 ; 10 15. 64 175 16. ?? ? ? ??-4,2117 17. 2 三、解答题,本大题共5小题,共74分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18.(本题14分) (1)x x x x x f 2 2sin cos cos sin 32)(-+= x x 2cos 2sin 3+= )6 2sin(2π + =x ......................................3分 ∴)(x f 的最小正周期π=T ...................................4分 由)(22 6 222 Z k k x k ∈+≤ +≤+-ππ π ππ 知)(6 3 Z k k x k ∈+≤ ≤+- ππ ππ 所以)(x f 的单调递增区间为)(6,3Z k k k ∈?? ? ???++-ππππ.........6分 (2)2)6 sin(2)2(=+=π A A f )(2 6 Z k k A ∈+= + ∴ππ π 2 3 sin ,3 = =∴A A π ..............................8分 E C c B b A a sin sin sin = = c C b B 14 3sin ,143sin == ∴ ∴根据,14 3 13sin sin = +C B 知13=+c b ............................11分 根据2 1 22)(2cos 22222=--+=-+= bc a bc c b bc a c b A 知40=bc 94)()(22=-+=-∴bc c b c b 3±=-∴c b ...............................................................................14分 19.(本题15分) (Ⅰ) PF EP ⊥,PD EP ⊥,∴⊥EP 平面PFD ,∴FD EP ⊥. …………2分 又由题意可知:26= EF ,3=DF ,2 2 3=DE ,则FD EF ⊥. ……………4分 ∴⊥DF 平面PEF . ……………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,面⊥PEF 底面CDEF ,EF 为交线,过P 作EF PG ⊥,则⊥PG 底面CDEF , 22= PE ,1=PF ,26=EF ,∴33=PG ,66=EG ,3 3 =FG . 法一:过C 作EF CH ⊥,交EF 延长线于H , ……………8分 ⊥CH 面PEF ,则CPH ∠即为所求线面角. ……………10分 2=PD ,2=CD ,33022= +=CG PG PC ,3 3==PG CH .……………12分 sin CH PC θ∴= =……………15分 法二:过C 作PG 的平行线CZ ,则⊥CZ 底面CDEF ,以C 为原点,CD , CF ,CZ 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. ………8分 则)0,35,32( G ,)33,35,32(P ,)0,2,22(E ,)0,1,0(F ,)3 3 ,35,32(=. ……………10分 取面PEF 法向量)0,1,2(-=n . ……………12分 101033 30 | 03532| |,cos |sin =?+-=><=θ . ……15分 20.(本题15分) 解:(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=2a e 2x +(a -2)e x -1=(a e x -1)(2e x +1)...............................................2分 (ⅰ)若a ≤0,则f ′(x )<0, 所以f (x )在(-∞,+∞)上单调递减..............................................................4分 (ⅱ)若a >0,则由f ′(x )=0,得x =-ln a . 当x ∈(-∞,-ln a )时,f ′(x )<0; 当x ∈(-ln a ,+∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减,在(-ln a ,+∞)上单调递增.........7分 (2)(ⅰ)若a ≤0,由(1)知,f (x )至多有一个零点.............................................8分 (ⅱ)若a >0,由(1)知,当x =-ln a 时,f (x )取得最小值,最小值为f (-ln a )=1-1 a +ln a . ①当a =1时,由于f (-ln a )=0, 故f (x )只有一个零点; ②当a ∈(1,+∞)时,由于1-1 a +ln a >0, 即f (-ln a )>0,故f (x )没有零点; ③当a ∈(0,1)时,1-1 a +ln a <0,即f (-ln a )<0. 又f (-2)=a e - 4+(a -2)e - 2+2>-2e - 2+2>0, 故f (x )在(-∞,-ln a )有一个零点............................................................12分 设正整数n 0满足n 0>ln ? ?? ??3a -1, 则f (n 0)=e n n 0(a e n +a -2)-n 0>e n -n 0>2 n -n 0>0. 由于ln ? ?? ??3a -1>-ln a , 因此f (x )在(-ln a ,+∞)有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1)...........................................................................15分 21.(本题15分) 解:(1)设F (c,0),由 1|OF|+1|OA|=3e |FA| , 即1c +1 a =错误!,可得a 2-c 2=3c 2................................................2分 又a 2-c 2= b 2=3,所以 c 2=1.因此a 2=4. 所以椭圆的方程为x24+y2 3 =1..............................................................4分 (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0),则直线l 的方程为y =k (x -2),设B (x B ,y B ),由方程组错误!消去y ,整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x +16k 2-12=0...................................6分 解得x =2或x =8k2-6 4k2+3 由题意得x B =8k2-64k2+3,从而y B =-12k 4k2+3........................................8分 由(1)知F (1,0),设H (0,y H ), 有FH ―→=(-1,y H ),BF ―→=? ????9-4k2 4k2+3,12k 4k2+3. 由BF ⊥HF ,得BF ―→·FH ―→ =0, 所以4k2-94k2+3+12kyH 4k2+3=0,解得y H =9-4k212k . 因此直线MH 的方程为y =-1k x +9-4k212k . 设M (x M ,y M ),由方程组错误!消去y , 解得x M =错误!..........................................................12分 在△MAO 中,∠MOA ≤∠MAO ?|MA |≤|MO |, 即(x M -2)2+y 2M ≤x 2M +y 2M , 化简,得x M ≥1,即错误!≥1, 解得k ≤- 64或k ≥6 4 ....................................................15分 22.(本题15分) (1)方法一:令)0(-sin )(>=x x x x f ,0≤1-cos )(x x f =′ ,∴)(x f 在(0,+∞)单调递减, ∴x x f x f <∴ = sin -1+=+n n n n a a a a ………………2分 ∵}{n a 是正项数列,∴n n a a 1sin 1<+<+= +n n n n n a a a a a , 10∴1<<+n a . ………………4分 0-1 -1sin -∴1<+<+= +n n n n n n n n a a a a a a a a . ………………7分 ∴11<<+n n a a ,