高考数学黄金100题系列第12题函数的周期性与对称性理
第12题 函数的周期性与对称性
I ．题源探究·黄金母题
【例1】容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质解释
上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题． 【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为
(,0)()k k z π∈，正弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 其对称轴方程纬()2
x k k Z π
π=
+∈．
对于余弦函数同样有类似的性质，因为cos A=sin(A+
2
π
) 所以对称中心为(,0)()2
k k Z π
π+∈，
余弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 X=K π(K 为整数) ．正切函数同样有类似的性质，对称中心为(k π/2，0)(K 为整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形．
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修四第46页A 组第11题
【母题评析】本题以正弦函数是奇函数
为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，
在去探索总结余弦函数、正切函数的对
称性，此题的结论也是高考常考的知识点．
【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近
几年高考试题常常采用的命题形式．
【例2】已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；
（2）画出函数y ＝f(x ＋1)的图象； （3）你能写出函数y ＝f(x)的解析式吗？
考点：函数的图象，函数解析式的求解及常用方法 【解析】（1）从图象得知，x 从0变化到1，函数经历
1
2
个周期，即12
T
=，故函数的周期T=2； （2）函数y=f （x+1）的图象可由函数y=f （x ）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f （x ）的图象过点（0，0）、点
【试题来源】人教版A 版必修四第47页B 组第3题
【母题评析】本题以y ＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）
问题，此类问题是高考常考的题型之一．
【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．
（1，1）所以y=f （x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象： （3）当-1≤x ＜0时，f （x ）=-x ， 当0≤x ＜1时，f （x ）=x ；
当2n-1≤x ＜2n 时，f （x ）=f （x-2n ）=-（x-2n ）=2n-x ， 当2n ≤x ＜2n+1时，f （x ）=f （x-2n ）=x-2n ， ∴2,212()2,221
n x n x n
f x x n n x n --≤
-≤<+?（n 为整数）
点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题．
II ．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标I 卷】已知函数
()ln ln(2)f x x x =+-，则 （ ）
A ．()f x 在（0，2）单调递增
B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．y =()f x 的图像关于直线x=1对称
D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C
【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以
()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又
112(1)
'()2(2)
x f x x x x x -=
-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．
【例2】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2)．若当[3,0]x ∈- 时，()6x
f x -=，则
【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高
考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、
奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练．
【难点中心】对于函数性质的考查，一
般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、
f(919)= ． 【答案】6
【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，()f x 是周期函数，且6T =，所以(919)(66531)(1)f f f =?+= (1)6f =-=． 【例3】【2017江苏高考14】设()f x 是定义在R 且周期为1的
函数，在区间[0,1)上，2
,,
(),,x x D f x x x D ?∈?=????
其中集合
1,*n D x x n n -??==∈????
N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是
▲ ．
【答案】8
【解析】解法一：由于()[)[)0,1,lg 0,1,f x x ∈∴∈则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈时，设
*,,,2q
x p q p p
=
∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n
x m n m m
=
∈≥N ，且,m n 互质．因此10
n m
q p =
，则10()n
m q p
= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ?．因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，
只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分，且1x =处()11
lg 1ln10ln10
x x '=
=<，
则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．
数形结合的能力．这就要求学生对函数的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用． 分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取
到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值．
解法二：D 是有理数集，∴自变量x D ∈，所对应的函数值都为有理数，且x D ∈在函数y x =上对应的空心点函数值也为有理数，令lg y x =等于这些函数值与空心点函数值所求得x 在区间[)0,1内皆为无理数，故 lg y x =不能与函数上
123
,,,234
x =
所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案
为8 个．
【例4】【2016年高考山东卷】已知函数f (x )的定义域为R ．，当x <0时，3
()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >
时，11
()()22
f x f x +=- ．则f (6)= （ ） （A ）?2 （B ）?1 （C ）0 （D ）2
【答案】D 【解析】当12x >
时，11
()()22
f x f x +=-，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数
()f x 是奇函数，所以()3
(1)(1)112f f ??=--=---=??
，故
选D ．
【例5】【2016高考新课标1卷】已知()sin()f x x+ω?=
(0),2
4
x π
π
ω?>≤
=-
， 为()f x 的零点，4
x π
=
为
()y f x =图像的对称轴，且()f x 在
5()1836
ππ，单调，则ω 的最大值为( )
（A ）11 （B ）9 （C ）
7 （D ）5 【答案】B 【解析】因为4
x π
=-
为()f x 的零点，4
x π
=
为()f x 图像的
对称轴，所以
()444T kT π
π--=+，即4124
k T π+== 4124k πω+?，所以41(*)k k N ω=+∈，又因为()f x 在5,1836ππ?? ???
单调，所以5236181222T ππππω-=≤=，即12ω≤，由此ω的最大值为9．故选B ．
【例6】【2016高考浙江卷】设函数2
()sin f x x =+
sin b x c +，则()f x 的最小正周期（ ）
A ．与b 有关，且与c 有关
B ．与b 有关，但与c 无关
C ．与b 无关，且与c 无关
D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B
【解析】2
1cos 2()sin sin 2-=++=
+x
f x x b x c
cos 21
sin sin 22
+=-
+++x b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21
()22
=-
++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．
【例7】【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周 期为2的函数，在区间[1,1)-上，
,10,
()2,01,
5x a x f x x x +-≤
=?-≤
(a ∈R)，若59()()22f f -= ，则
(5)f a 的值是 ．
【答案】2
5-
【解析】51911
()()()()22222
f f f f a -=-==?-+=
123255a -?=，因此2(5)(3)(1)(1)5
f a f f f ===-=- III ．理论基础·解题原理 考点一 函数的周期性
1．周期性：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期．
①若()()f x a f x +=，周期T a =；
②若()()f x a f x +=-（相反），周期2T a =； ③若)
(1
)(x f a x f =
+(0≠a )（互倒），周期2T a =； ④若1
()()
f x a f x +=-
(0≠a )（反倒），周期2T a =； ⑤若()()f x a f x a +=-，周期2T a =； ⑥若()()()f x f x a f x a =++-，周期6T a =． 考点二 函数的称性
1．一个函数的对称关系：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则()y f x =关于直线x a =对称，若函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =关于直线2
a b
x +=
对称． 2．两个函数的对称关系：
函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a
b x -=对称；（巧记：相等求x ） 函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2
(a
b -对称；（巧记：相等求x ） 考点三 周期与对称的关系：
1．若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||2a b -为一个周期．（告知周期T 和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴．）
2．若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||2a b -为一个周期．（告知周期T 和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心．）
3．若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，
||4a b -为一个周期．
考点四、如何计算一般形式的周期和对称：
若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则|()|||T a b a b =--=+；（巧记：消去x ）
若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2b
a x +=对称；（巧记：消去x ，相加除2） 若)()(x
b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2
(b
a +对称；（巧记：消去x ，相加除2） 若c x
b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2
,2(c
b a +对称．（巧记：消去x ，相加除2，除2）
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点．常与函数的图象及其他性质交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围．备考时应加强对这部分内容的训练．
【技能方法】
解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法．函数对称性、周期性的考察，往往以三角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解析式上设置障碍，要求先对解析式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数解析式化为单一函数．
【易错指导】
（1）如果对于函数()f x 定义域中的任意x ，满足()()f x a f x b +=+，则得函数()f x 的周期是
||b a T -=；
（2）如果对于函数()f x 定义域中的任意x ，满足()()f x a f x b +=-+，则得函数()f x 的对称轴是2
b
a x +=
． V ．举一反三·触类旁通 考向1 函数周期性
【例1】【2018届江苏常州横林高级中学月考】定义在R 上的函数()f x 满足: ()()21f x f x +?=，当
[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+，则()2017f =________．
【答案】
1
2
【例2】设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ?+=，若()12f =，则()99________f =． 【答案】1006
【例3】设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，
1,10
()=2
,011
ax x f x bx x x +-≤
+?≤≤?+?其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________． 【正解】因为f(x)的周期为2，所以331f(
)=f(-2)=f(-)222，即11
f()=f(-)22
．又因为 2
1114
2f(-)=-a+1,f()=12223
12
b
b ++=
+，所以14a+1=,23b +-．整理，得2a=-(b+1)3．① 又因为f(－1)＝f （1），所以2
-a+1=
2
b +，即b ＝－2a ． ②
将②代入①，得a ＝2，b ＝－4．所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10．
【跟踪练习】
1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数 【答案】D
【解析】由图象可知选D ．
2．设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝__________． 【答案】－1
【解析】因为T ＝2，则f (x )＝f (x ＋2)，又f (－1)＝f (－1＋2)＝f （1），因为x ∈[1，3)时，f (x )＝x －2，所以f (－1)＝f （1）＝1－2＝－1．
3．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ?-+-≤<=?≤
3
()2
f = ． 【答案】1
【解析】311
()()421224
f f =-=-?
+=． 考向2 周期性与奇偶性相结合
【例4】已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则
(2013)f 等于（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．﹣1
D ．2013 【答案】A
【例5】【2016年高考四川卷】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x
f x =，则()512f f ??
-
+ ???
= ．
【答案】2-
【解析】因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，
(1)(1)f f ∴-=，即(1)0f =，
1
25111
()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-5()(1)22
f f ∴-+=-．
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5
()2
f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可． 【跟踪练习】
已知定义在R 上的奇函数， ()f x 满足()()2f x f x +=，则()8f 的值为__________． 【答案】0
【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =
又()f x 满足()()2f x f x +=，∴()f x 的周期为2，∴()()800f f ==． 考向2 对称性与单调性相结合
【例6】【2018河北衡水模拟】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()1212
0f x f x x x -<-，
且函数()1y f x =-的图象关于（1，0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()
22
22f s s f t t -≤--，
则当14s ≤≤时，
2t s
s t
-+的取值范围是（ ） A ．13,2??--
???? B ．13,2??--???? C ．15,2??--???? D ．15,2?
?--????
【答案】D
【例7】下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(0,)+∞上单调递增的是 （ ） （A ）
1y x
=
（B ）21y x =-+ （C ）2x
y = （D ）lg |1|y x =+ 【答案】D ．
【跟踪练习】
1．【2018海南模拟】已知函数?????
>≠><-=,
0),10(log ,
0,1)2
sin()(x a a x x x x f a 且π的图像上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)55,
0( B ．)1,55( C ．)1,3
3
( D ．)33,0( 【答案】A
【解析】根据题意知，函数图像上关于y 轴对称的点至少有3对等价于函数)0(1)2
sin(
>--=x x y π
与
函数)0)(10(log >≠>=x a a x y a 且至少有3个交点．如下图：显然当1>a 时，只有一个交点；当
10<a ，解得5
5
0<